"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Корень n-й степени — число, которое при возведении в степень n даёт подкоренное выражение. Этот способ записи помогает решать уравнения xⁿ = a и преобразовывать выражения со степенями. При нечётном показателе корень существует для любого действительного числа, а при чётном — только для неотрицательного. Арифметический корень чётной степени всегда выбирают неотрицательным, поэтому при работе с корнями важно учитывать область допустимых значений и знак числа.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Корень n-й степени из числа a — число, n-я степень которого равна a; его записывают √[n]{a}. Иными словами, нужно найти такое x, что xⁿ = a. Это обозначение позволяет выразить решение уравнения через действие извлечения корня.
Показатель корня — натуральное число n, которое записывают слева над знаком радикала. Оно указывает, какую степень нужно обратить: для √[3]{a} ищут число, куб которого равен a, а для √[5]{a} — число, пятая степень которого равна a. Если показатель не написан, подразумевается 2.
Подкоренное выражение — число или выражение a, расположенное под знаком корня. При чётном показателе оно должно быть неотрицательным, если мы работаем с действительными числами. Проверка этого условия нужна, чтобы не выполнять действие над выражением, для которого действительного корня нет.
Арифметический корень n-й степени из неотрицательного числа a — неотрицательное число, n-я степень которого равна a. Например, арифметический четвёртый корень из 16 равен 2, а не −2. Такое соглашение однозначно определяет значение радикала при чётном показателе.
Определение корня напрямую связано с уравнением xⁿ = a: корнем называют значение x, которое делает равенство верным. Чтобы проверить ответ, достаточно возвести найденное число в степень n и сравнить результат с a. Если таких значений несколько, знак арифметического корня при чётном n указывает только на неотрицательное из них.
При нечётном n возведение в степень сохраняет знак числа: отрицательное число даёт отрицательную степень, а положительное — положительную. Кроме того, функция xⁿ при нечётном n возрастает, поэтому одно значение a не может получиться от двух разных x; корень существует и единственен при любом действительном a. При чётном n степень любого действительного числа неотрицательна, поэтому для a < 0 решений нет.
Если n чётное и a > 0, уравнение xⁿ = a имеет два решения: положительное и противоположное ему отрицательное, ведь их чётные степени совпадают. Однако запись √[n]{a} обозначает арифметический корень — неотрицательное значение. Это соглашение необходимо, чтобы знак радикала задавал одно число, а не пару решений.
Корень связывают со степенью с дробным показателем: √[n]{a} = a^(1/n), если корень определён в действительных числах. Такая запись позволяет применять правила степеней и сопоставлять корни с уже известными степенями. Для чётного n в этой формуле требуется a ≥ 0; для нечётного n допустимо любое действительное a.
Свойства корней следуют из свойств степеней. При допустимых значениях √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab}, а √[n]{a} / √[n]{b} = √[n]{a/b}, причём знаменатель не должен быть нулём. Также (√[n]{a})ᵐ = √[n]{aᵐ}; при извлечении корня из степени получаем √[n]{aⁿ} = a для нечётного n и |a| для чётного n, поскольку арифметический корень неотрицателен.
| Свойство | Нечётный показатель n | Чётный показатель n |
|---|---|---|
| Допустимые значения подкоренного выражения | Любое действительное число | a ≥ 0 |
| Количество действительных корней уравнения xⁿ = a | Один при любом a | Два при a > 0, один при a = 0, ни одного при a < 0 |
| Знак арифметического корня | Может быть любым | Неотрицательный |
| Связь корня и степени | √[n]{aⁿ} = a | √[n]{aⁿ} = |a| |
| Свойство произведения корней | √[n]{a} · √[n]{b} = √[n]{ab} | То же, если a ≥ 0 и b ≥ 0 |
| Свойство частного корней | √[n]{a} / √[n]{b} = √[n]{a/b}, b ≠ 0 | То же при a ≥ 0 и b > 0 |
| Извлечение корня из степени | √[n]{aⁿ} = a | √[n]{aⁿ} = |a| |
| Возведение корня в степень | (√[n]{a})ᵐ = √[n]{aᵐ} | То же при a ≥ 0 |
| Переход к дробному показателю | √[n]{a} = a^(1/n) | √[n]{a} = a^(1/n), a ≥ 0 |
Сначала определите, чётный показатель у корня или нечётный, и проверьте допустимость подкоренных выражений. Затем выберите нужное свойство и отдельно проверьте, не обращается ли знаменатель в ноль. Строки об уравнении и арифметическом корне не следует смешивать: у уравнения решений может быть два, а радикал задаёт одно значение.
Задача 1. Вычислить √[5]{−32}, √[6]{64} и определить, имеет ли смысл √[4]{−16} в действительных числах. Сначала различим нечётный и чётные показатели. Для первых двух выражений проверим числа, пятая и шестая степени которых дают подкоренные значения. В последнем случае проверим, может ли четвёртая степень действительного числа быть отрицательной.
Ответ: −2; 2; √[4]{−16} не имеет смысла в действительных числах.
Задача 2. Упростить √[3]{54} / √[3]{2} и √[4]{16x⁴} при допустимых значениях x. В первом выражении показатели одинаковы, поэтому можно объединить корни частного и сократить подкоренные числа. Во втором сначала извлечём четвёртый корень из числовой части, а затем учтём, что арифметический корень должен быть неотрицательным. Область допустимых значений второго выражения — все действительные x, поскольку x⁴ ≥ 0.
Ответ: 3 и 2|x| соответственно, при любом действительном x.
Задача 3. Решить уравнения √[4]{x − 1} = 3 и √[3]{2x + 1} = −2. Радикал можно возвести в степень, равную его показателю, но сначала нужно учесть допустимые значения. Для первого уравнения требуется x − 1 ≥ 0, а для второго ограничений на подкоренное выражение нет. После возведения в степень проверим, что полученные значения подходят исходным равенствам.
Ответ: x = 82; x = −9/2.
Ошибка — считать, что √[n]{a} при чётном n может быть отрицательным. Её часто допускают, перенося на арифметический корень два решения уравнения xⁿ = a. Проверка простая: результат радикала с чётным показателем неотрицателен, поэтому √[4]{16} = 2.
Запись √[4]{−16} как действительного числа неверна, потому что четвёртая степень любого действительного числа неотрицательна. Ошибка возникает, если не проверить подкоренное выражение до вычислений. Перед извлечением корня чётной степени убедитесь, что оно не меньше нуля.
Нельзя утверждать, что √[n]{aⁿ} = a при любом a: при чётном n правильно √[n]{aⁿ} = |a|. Часто забывают о модуле, поскольку сокращение степени и корня кажется взаимно обратным действием. Проверьте формулу на отрицательном числе: √[4]{(−3)⁴} = 3, а не −3.
Свойства корней нельзя применять без проверки допустимых значений и знаменателя. Например, при чётном показателе нельзя извлечь действительный корень из отрицательного выражения, а делить на нулевой корень нельзя. Перед преобразованием запишите условия на подкоренные выражения и проверьте, что знаменатель отличен от нуля.
Для работы с корнями нужны свойства степеней с натуральными показателями, решение уравнений вида xⁿ = a и правила работы с модулем. Связь корня с дробным показателем помогает перейти к изучению степеней с рациональными показателями и преобразованию иррациональных выражений. Корни произвольной степени также используют при решении иррациональных уравнений и неравенств, где проверка области допустимых значений особенно важна.
Почему √[4]{16} равно 2, а не −2?
Арифметический корень по определению неотрицателен. Числа 2 и −2 при возведении в четвёртую степень дают 16, но знак радикала √[4]{16} обозначает именно неотрицательное значение 2.
Можно ли извлечь действительный корень чётной степени из отрицательного числа?
Нет, в действительных числах такого корня нет: чётная степень любого действительного числа неотрицательна. Например, √[4]{−16} не является действительным числом.
Чем корень n-й степени отличается от решения уравнения x^n = a?
Корень n-й степени — это число, удовлетворяющее уравнению xⁿ = a, но знак радикала при чётном n обозначает только неотрицательное решение. Само уравнение при a > 0 и чётном n имеет два решения: противоположные числа.
Почему √[4]{x^4} равно |x|, а не x?
Четвёртый корень по определению неотрицателен, а x может быть отрицательным. Поэтому √[4]{x⁴} равно модулю x: при x ≥ 0 это x, а при x < 0 — −x.
Всегда ли можно перемножать или делить корни с одинаковым показателем?
Для произведения корней одинакового показателя нужно, чтобы подкоренные выражения были допустимы; при чётном показателе оба должны быть неотрицательными. При делении дополнительно требуется, чтобы знаменатель не был равен нулю.
§ 29. Корень произвольной натуральной степени
