"Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (углублённый уровень)", Пратусевич М.Я., Столбов К.М., Головин А.Н.
Логарифм показывает, в какую степень нужно возвести одно число, чтобы получить другое. Например, запись log₂ 8 = 3 означает, что 2³ = 8. Логарифмы помогают описывать обратную связь между основанием степени и её показателем, а затем используются при изучении логарифмической функции и решении уравнений. Для логарифма основание должно быть положительным и не равным единице, а число под знаком логарифма — строго положительным.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Логарифм числа b по основанию a — это показатель степени, в которую нужно возвести a, чтобы получить b: logₐ b = c тогда и только тогда, когда aᶜ = b. Например, log₂ 8 = 3, поскольку 2³ = 8. Такое определение позволяет заменить вопрос о значении логарифма вопросом о подходящем показателе.
Основание логарифма — число a, стоящее внизу у знака log; для него обязательно a > 0 и a ≠ 1. Положительное основание позволяет возводить его в любую действительную степень, а запрет на единицу нужен, чтобы показателю соответствовало не более одного результата. Если условие на основание нарушено, логарифм в обычном школьном смысле не определён.
Десятичный логарифм числа b — логарифм по основанию 10, его обозначают lg b. Так, lg 100 = 2, потому что 10² = 100. Краткая запись удобна, когда основание равно десяти, и помогает не перегружать формулы индексами.
Натуральный логарифм числа b — логарифм по основанию e, его обозначают ln b. Здесь e — особое положительное число, приблизительно равное 2,718. Обозначение ln используют вместо записи logₑ, особенно в формулах математического анализа.
Определение логарифма возникает из обратного вопроса к возведению в степень: известно основание и результат, а показатель неизвестен. Если спрашивают, чему равен logₐ b, нужно найти такое число c, чтобы aᶜ = b. Поэтому логарифмическая и показательная записи говорят об одной связи, только неизвестное или искомое в них выделено по-разному. Это позволяет решать задачи о показателе с помощью логарифма, а логарифмические равенства — преобразовывать в более привычные степенные.
Ограничения на основание связаны со свойствами функции y = aˣ. При a > 0 она определена для всех действительных x, а если ещё и a ≠ 1, то функция строго возрастает при a > 1 или строго убывает при 0 < a < 1. В обоих случаях каждое положительное значение достигается ровно при одном x. Поэтому для такого b можно найти единственный показатель c, а основание 1 не подходит: 1ˣ постоянно равно 1 и не позволяет восстановить показатель.
Аргумент логарифма должен быть положительным, потому что при допустимом основании a степень aˣ всегда положительна. Следовательно, равенство aˣ = b не может выполняться, если b равно нулю или отрицательно. Это не дополнительное условие, придуманное отдельно для обозначения: оно следует из того, какие значения вообще принимает показательная функция. Перед вычислениями или преобразованиями полезно сразу проверить знак аргумента.
Чтобы перейти от logₐ b = c к показательной форме, основание a возводят в значение логарифма c и приравнивают к аргументу b: aᶜ = b. При обратном переходе из aᶜ = b записывают logₐ b = c, если соблюдены условия a > 0, a ≠ 1 и b > 0. Важно не менять роли чисел: основание становится основанием степени, значение логарифма — показателем, а аргумент — результатом степени. Например, log₃ 9 = 2 соответствует равенству 3² = 9.
Обозначения lg и ln — сокращённые записи, в которых основание не пишут рядом со знаком log. Буквы lg означают, что основание равно 10, поэтому lg 100 = 2 можно прочитать как log₁₀ 100 = 2. Буквы ln указывают на основание e, так что ln e = 1, поскольку e¹ = e. При переводе в показательную форму нужно подставить именно это основание, а не считать lg и ln разными операциями.
| Логарифмическая запись | Показательная запись | Условия |
|---|---|---|
| logₐ b = c | aᶜ = b | a > 0, a ≠ 1, b > 0 |
| lg b = c | 10ᶜ = b | b > 0 |
| ln b = c | eᶜ = b | b > 0 |
Чтобы пользоваться таблицей, найдите логарифмическую запись и прочитайте её как показательную: основание остаётся основанием, значение логарифма становится показателем, аргумент — результатом. Для lg вместо основания подставьте 10, а для ln — e. Условия в последнем столбце проверяйте до записи ответа.
Нужно определить, в какую степень возвести 2, чтобы получить 8. Основание — 2, аргумент — 8, а искомое значение логарифма будет показателем степени. Проверка подходящего показателя подтверждает ответ.
По определению log₂ 8 = c равносильно 2ᶜ = 8. Так запись логарифма переводится в показательную форму.
Сравним 8 со степенями числа 2: 2³ = 8. Значит, показателем, который требуется найти, является 3.
Ответ: log₂ 8 = 3, а показательная запись — 2³ = 8.
Неизвестное x стоит на месте аргумента, поэтому сначала применим определение логарифма. После перехода получим обычное равенство степеней, из которого можно выразить x. Затем проверим, положителен ли найденный аргумент.
Запишем уравнение в показательной форме: log₃ x = 2 равносильно 3² = x. Основание 3 положительно и не равно единице.
Вычислим степень: 3² = 9, следовательно, x = 9. Это число положительно, как и требуется для аргумента логарифма.
Ответ: x = 9. Проверка в исходной записи даёт log₃ 9 = 2.
Здесь неизвестное x — основание, а не аргумент, поэтому после перехода в показательную форму оно окажется основанием степени. Решение степенного уравнения может дать несколько кандидатов. Каждый из них нужно отдельно проверить по условиям на основание логарифма.
Переведём запись по определению: logₓ 16 = 2 равносильно x² = 16. В исходном логарифме аргумент 16 положителен.
Решим уравнение: x² = 16 даёт кандидаты x = 4 и x = −4. Проверим оба значения, не ограничиваясь решением степенного уравнения.
Число 4 положительно и не равно 1, поэтому может быть основанием. Число −4 отрицательно, значит, основанием быть не может.
Ответ: x = 4.
Иногда путают основание и аргумент: в logₐ b основание — a, а аргумент — b. Тогда при переходе к степени числа занимают неверные места, и равенство получается другим. Чтобы проверить себя, сопоставьте запись с правилом aᶜ = b: основание сохраняется, показатель равен значению логарифма, а справа стоит аргумент.
Другая ошибка — считать, что логарифм существует при любом аргументе, в том числе нулевом или отрицательном. Такое заблуждение возникает, если помнить только о поиске показателя и забывать, что степени положительного основания дают положительный результат. Перед вычислением проверяйте b > 0; если аргумент не положителен, логарифм в действительных числах не определён.
Также забывают проверить основание и допускают a = 0, a = 1 или отрицательное число. Особенно легко пропустить это ограничение, когда основание появляется как корень уравнения. Подставьте найденное значение в условия a > 0 и a ≠ 1: оба должны выполняться одновременно.
При решении logₓ b = c нередко оставляют все корни уравнения, полученного после перехода к степени. Но оно могло дать кандидаты, которые не являются допустимыми основаниями. Проверяйте каждый корень отдельно: он должен быть положительным и отличаться от единицы; кроме того, исходный аргумент b должен быть положительным.
Для понимания логарифма нужно знать определение степени с действительным показателем и свойства показательной функции. Именно из равенства aˣ = b возникает определение логарифма, а поведение функции y = aˣ объясняет, почему допустимы только положительные основания, отличные от единицы. Если уверенно переводить степень в логарифм и обратно, новое обозначение становится понятнее.
Логарифмы понадобятся при изучении логарифмической функции, преобразовании выражений и решении логарифмических уравнений и неравенств. Во всех этих темах важно правильно определять основание и аргумент и учитывать условия допустимости. Навык перехода между двумя формами записи помогает сводить многие задания к знакомым действиям со степенями.
Что показывает логарифм числа?
Логарифм показывает показатель степени, в которую нужно возвести основание, чтобы получить заданное число. Например, log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8.
Почему основание логарифма не может быть равно единице?
При основании 1 любая степень равна 1: 1ˣ = 1. Поэтому по значению 1 нельзя определить единственный показатель, а для других положительных чисел такого показателя вообще нет.
Может ли аргумент логарифма быть отрицательным?
Нет, аргумент должен быть строго положительным. При допустимом положительном основании a значение aˣ положительно для любого действительного x, поэтому отрицательное число получить нельзя.
Чем отличаются lg и ln?
Это обозначения логарифмов с разными основаниями: lg b — логарифм по основанию 10, а ln b — по основанию e. Число e — особая математическая постоянная, приблизительно равная 2,718.
Как проверить, подходит ли найденное число на роль основания логарифма?
Проверьте два условия: основание должно быть больше нуля и не должно равняться единице. Если хотя бы одно условие нарушено, число не подходит, даже если оно удовлетворяет уравнению после преобразования.
§ 31. Логарифм
