§ 42. Предел монотонной последовательности. Число е. Комбинированные методы нахождения пределов

Определения и обозначения

Монотонная последовательность — последовательность, члены которой изменяются в одном направлении. Если aₙ₊₁ ≥ aₙ для всех n, последовательность называют возрастающей; если aₙ₊₁ ≤ aₙ — убывающей. Сравнение соседних членов позволяет описать поведение всей последовательности и проверить, можно ли применить теорему о её пределе.

Предел монотонной последовательности определяется теоремой: всякая ограниченная монотонная последовательность сходится. Для возрастающей последовательности предел равен её точной верхней грани — наименьшей из верхних границ; для убывающей он равен точной нижней грани — наибольшей из нижних границ. Эта связь позволяет находить предел, даже если нельзя сразу вычислить его по формуле.

Число e — постоянное число, определяемое равенством e = limₙ→∞(1 + 1/n)ⁿ. Его приближённое значение — 2,71828. Определение служит основой для вычисления пределов выражений, в которых основание близко к единице.

Комбинированный метод нахождения предела — последовательное применение нескольких преобразований и известных пределов. Выражение сначала приводят к стандартной форме, а потом используют свойства пределов для оставшихся частей. Метод нужен, когда ни одно отдельное преобразование не решает задачу полностью.

Как это устроено

Пусть последовательность возрастает и ограничена сверху, а её точная верхняя грань равна A. Число A не меньше ни одного члена, а числа меньше A не могут служить верхними границами. Поэтому члены последовательности могут приближаться к A сколь угодно близко: иначе нашлась бы меньшая верхняя граница. Для убывающей последовательности рассуждение такое же, но вместо верхней грани берут точную нижнюю.

Чтобы проверить монотонность, сравните aₙ₊₁ и aₙ: найдите разность или исследуйте отношение соседних членов, учитывая знаки. Ограниченность проверяют отдельно — например, устанавливают, что aₙ ≤ M или aₙ ≥ m для всех допустимых n. Только после обеих проверок выбирают подходящую часть теоремы: возрастающей последовательности требуется верхняя граница, убывающей — нижняя.

В выражении (1 + 1/n)ⁿ основание стремится к 1, но показатель одновременно растёт; поэтому нельзя просто подставить предел основания. Именно совместное изменение основания и показателя приводит к числу e. Если заменить 1/n на a/n, получается стандартное обобщение (1 + a/n)ⁿ → eᵃ: коэффициент a отражается в показателе числа e.

При сложном пределе полезно сначала выделить часть, предел которой уже известен, а не пытаться подставить бесконечность во всё выражение. После преобразования применяют арифметические свойства пределов: предел произведения равен произведению пределов, а предел степени — соответствующей степени предела, если нужные пределы существуют. Так задача распадается на знакомую стандартную форму и более простые множители.

Порядок действий такой: найдите в основании выражение, стремящиеся к единице, и представьте его как 1 + uₙ, где uₙ → 0. Затем согласуйте uₙ с показателем, чтобы выделить форму (1 + a/m)ᵐ, и вычислите предел оставшейся части. Проверьте, что замена переменной допустима, знаменатели не обращаются в ноль, а дополнительный множитель действительно стремится к конечному значению.

Теорема о пределе монотонной последовательности и стандартные формы с числом e

Первые две строки подсказывают, какую ограниченность нужно искать после проверки монотонности. Последние две помогают распознать предел с числом e. При использовании стандартной формы проверьте, что коэффициент в основании и показатель согласованы.

Разбор задач

Задача 1. Доказать сходимость последовательности aₙ = 1 − 1/(n + 1) и найти предел. Сначала исследуем изменение членов, а затем найдём общую верхнюю границу. Так мы проверим условия теоремы и определим значение предела.

1. Для n ≥ 1 имеем aₙ₊₁ − aₙ = 1/((n + 1)(n + 2)) > 0, значит, последовательность возрастает.
2. Так как 1/(n + 1) > 0, каждый член меньше 1; следовательно, последовательность ограничена сверху числом 1.
3. По теореме последовательность сходится. Её члены приближаются к 1, поскольку 1/(n + 1) → 0.

Ответ: последовательность сходится, её предел равен 1.

Задача 2. Найти limₙ→∞(1 + 3/n)ⁿ. Основание уже имеет вид 1 + a/n, где a = 3, и показатель равен n. Значит, дополнительных преобразований для согласования стандартной формы не требуется.

1. Сопоставим выражение с пределом (1 + a/n)ⁿ → eᵃ.
2. Подставим коэффициент a = 3: предел равен e³.

Ответ: e³.

Задача 3. Найти limₙ→∞((n + 2)/(n − 1))²ⁿ. Здесь основание не записано как 1 + дробь, поэтому сначала преобразуем его, а затем согласуем показатель с новым знаменателем.

1. Разделив числитель на n − 1, получим (n + 2)/(n − 1) = 1 + 3/(n − 1).
2. Обозначим m = n − 1. Тогда 2n = 2m + 2, а выражение равно (1 + 3/m)²ᵐ · (1 + 3/m)².
3. Первый множитель стремится к e⁶ по стандартной форме, второй — к 1. Предел произведения равен e⁶ · 1.

Ответ: e⁶.

Типичные ошибки

Применять теорему, проверив только монотонность, — значит пропустить обязательное условие ограниченности. Так поступают, когда принимают направленное изменение членов за гарантию приближения к числу. Проверьте, можно ли указать верхнюю или нижнюю границу; например, последовательность aₙ = n возрастает, но не имеет конечного предела.

Для возрастающей последовательности нужна ограниченность сверху, а не снизу; для убывающей — снизу, а не сверху. Путаница возникает из-за того, что слово «ограничена» воспринимают без указания направления. Перед применением теоремы запишите неравенство aₙ ≤ M для возрастающей или aₙ ≥ m для убывающей последовательности.

Нельзя считать, что любая монотонная последовательность сходится к конечному числу. Монотонность допускает неограниченный рост или убывание, как у последовательностей n и −n. Проверьте ограниченность именно с нужной стороны; если такой границы нет, теорема о конечном пределе неприменима.

В пределе с числом e опасно просто подставить коэффициент в формулу, не согласовав основание и показатель. Например, форма (1 + a/m)ᵐ связана с eᵃ, но при другом показателе степень результата меняется. Выразите основание через один и тот же параметр m, разложите показатель на нужную часть и оставшийся множитель, затем проверьте предел каждого.

Связь с другими темами

Для этой темы нужны понятия последовательности, её ограниченности, возрастания и убывания, а также точной верхней и нижней грани. Без них нельзя проверить условия теоремы и понять, к какому числу приближаются члены. Для комбинированных вычислений понадобятся арифметические свойства пределов и уже известные стандартные пределы.

Число e и пределы с ним станут основой для изучения экспоненциальной функции и непрерывности. Тот же способ преобразования пригодится при решении более сложных задач на пределы. Умение выделять стандартную форму помогает увидеть структуру выражения, а не вычислять его отдельные части без учёта их связи.

Что запомнить

• Ограниченная монотонная последовательность сходится.
• Для возрастающей последовательности требуется ограниченность сверху.
• Для убывающей последовательности требуется ограниченность снизу.
• Предел возрастающей ограниченной последовательности — её точная верхняя грань.
• Предел убывающей ограниченной последовательности — её точная нижняя грань.
• Число e определяется пределом (1 + 1/n)ⁿ.
• В сложном пределе сначала выделяют стандартную форму, затем применяют известные пределы.