§ 43. Подпоследовательности. Теорема Больцано — Вейерштрасса

Определения и обозначения

Подпоследовательность — последовательность вида (a_nₖ), полученная из (a_n) выбором членов с индексами n₁ < n₂ < … . Индексы должны строго возрастать: каждый следующий член берётся правее предыдущего. Это позволяет изучать отдельные участки поведения исходной последовательности, не меняя порядок её членов.

Сходящаяся подпоследовательность — подпоследовательность, члены которой при k → ∞ стремятся к некоторому числу. Её предел может отличаться от предела исходной последовательности, если исходная последовательность вообще не сходится. Такое различие помогает обнаруживать колебания и разные предельные значения.

Ограниченная последовательность — последовательность, для которой существует число M такое, что |a_n| ≤ M для всех n. Значит, все её члены находятся внутри отрезка [−M; M]. Ограниченность нужна, чтобы применять теорему Больцано — Вейерштрасса.

Теорема Больцано — Вейерштрасса утверждает: всякая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность. Теорема гарантирует существование хотя бы одного удачного выбора членов. Она не обещает, что вся исходная последовательность сходится или что такой выбор единственный.

Как это устроено

При построении подпоследовательности порядок членов сохраняется, потому что n₁ < n₂ < … . При этом можно пропускать сколько угодно элементов: например, выбор nₖ = 2k даёт чётные члены a₂, a₄, a₆ и так далее. Такой выбор не меняет правило нумерации, а только оставляет нужную часть исходной последовательности.

Если a_n → a, то для любого ε > 0 все члены с достаточно большими индексами попадают в интервал (a − ε; a + ε). Индексы подпоследовательности nₖ неограниченно возрастают, поэтому начиная с некоторого k её члены тоже находятся в этом интервале. Значит, подпоследовательность стремится к тому же числу a.

Ограниченность означает, что все члены можно заключить в один отрезок [−M; M]. Этот отрезок удобно делить пополам: хотя бы одна из двух половин содержит бесконечно много членов последовательности. Именно бесконечное количество элементов позволяет продолжать выбор на каждом следующем шаге.

На первом шаге выбирают половину исходного отрезка с бесконечным числом членов, затем делят её и снова оставляют бесконечную половину. Получается цепочка вложенных отрезков, причём длина каждого следующего в два раза меньше предыдущей и стремится к нулю. Такие отрезки задают единственную общую точку — число, к которому будут приближаться выбранные члены.

Чтобы получить подпоследовательность, из первого отрезка берут член с индексом n₁, из второго — член с индексом n₂ > n₁ и так далее. Это возможно, поскольку в каждом отрезке остаётся бесконечно много членов, а значит, можно выбрать индекс больше любого заданного. Выбранные члены лежат во всё более коротких отрезках и поэтому стремятся к их общей точке.

Условия и выводы для последовательности и её подпоследовательности

Таблица помогает различать условия и выводы: сначала проверяйте, что известно о последовательности, а затем выбирайте подходящее утверждение. Особенно полезно помнить направление теоремы: ограниченность ведёт к существованию сходящейся подпоследовательности, но не наоборот в виде сходимости всей последовательности.

Если нужно доказать сходимость конкретной подпоследовательности, достаточно исследовать её общий член. Если требуется только доказать существование некоторой сходящейся подпоследовательности, можно проверить ограниченность и применить теорему.

Разбор задач

1. Чётные индексы

Пусть a_n = 1/n. Требуется оставить члены с чётными индексами. Для этого нужно задать возрастающую последовательность индексов и подставить её в формулу общего члена.

1. Чётные индексы имеют вид nₖ = 2k, где k = 1, 2, 3, … .
2. Подставим nₖ в формулу: a_nₖ = 1/(2k).
3. Получаем члены 1/2, 1/4, 1/6, … , которые идут в том же порядке, что и исходные.

Ответ: подпоследовательность имеет вид a_2k = 1/(2k), или 1/2, 1/4, 1/6, … .

2. Две подпоследовательности с разными пределами

Рассмотрим a_n = (−1)ⁿ. Общая последовательность чередуется между 1 и −1, поэтому разумно разделить индексы на чётные и нечётные. Каждый такой выбор задаёт возрастающую последовательность индексов.

1. Для чётных индексов nₖ = 2k: a_2k = (−1)^2k = 1.
2. Для нечётных индексов nₖ = 2k − 1: a_2k−1 = (−1)^2k−1 = −1.
3. Постоянная последовательность из единиц имеет предел 1, а постоянная последовательность из минус единиц — предел −1.

Ответ: a_2k → 1 и a_2k−1 → −1. У исходной последовательности есть две сходящиеся подпоследовательности с разными пределами.

3. Применение теоремы

Рассмотрим a_n = (−1)ⁿ + 1/n. Нужно обосновать существование сходящейся подпоследовательности. Сначала проверим условие теоремы — ограниченность, а затем при желании построим подпоследовательности явно.

1. Так как |(−1)ⁿ| = 1 и 0 < 1/n ≤ 1, имеем |a_n| ≤ 2. Следовательно, последовательность ограничена.
2. По теореме Больцано — Вейерштрасса у неё существует сходящаяся подпоследовательность.
3. При чётных индексах a_2k = 1 + 1/(2k) → 1, а при нечётных a_2k−1 = −1 + 1/(2k−1) → −1.

Ответ: существование следует из теоремы; например, подпоследовательность a_2k сходится к 1.

Типичные ошибки

Не возрастающие индексы. Если записать индексы 2, 5, 3, порядок исходных членов нарушится, поэтому это не подпоследовательность в принятом смысле. Ошибку проверяют простой записью: каждый индекс должен быть больше предыдущего.

Любая подпоследовательность ограниченной последовательности сходится. Ограниченность лишь не даёт членам удаляться в бесконечность, но они могут колебаться. Нужно различать слова «любая» и «существует хотя бы одна».

Другой предел у подпоследовательности сходящейся последовательности. Такое невозможно, поскольку достаточно большие индексы исходной последовательности уже близки к её пределу, а индексы подпоследовательности тоже становятся большими. Для проверки примените определение предела к индексам nₖ.

Применение теоремы к неограниченной последовательности. Перед использованием теоремы необходимо доказать существование числа M, для которого |a_n| ≤ M. Если члены не помещаются ни в один общий отрезок, условие теоремы не выполнено.

Связь с другими темами

До изучения подпоследовательностей нужны понятия последовательности, ограниченности и предела. Без них невозможно понять, что именно выбирается, в каком смысле происходит приближение и почему условие |a_n| ≤ M важно.

Теорема Больцано — Вейерштрасса используется при исследовании предельных точек и свойств последовательностей. Позже идея существования сходящейся подпоследовательности связывается с компактностью и применяется в математическом анализе.

Что запомнить

• Индексы подпоследовательности строго возрастают.
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу.
• Подпоследовательность ограниченной последовательности также ограничена.
• Из ограниченности последовательности не следует её сходимость.
• Всякая ограниченная последовательность действительных чисел имеет сходящуюся подпоследовательность.
• Теорема гарантирует существование такой подпоследовательности, но не обязательно единственность.