§ 39. Движение заряженной частицы в магнитном поле

Определения и обозначения

Заряженная частица — частица, у которой есть электрический заряд. Заряд обозначают q, а скорость движения — v. Знак q показывает, положительный заряд или отрицательный, и понадобится, чтобы правильно определить направление силы.

Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле; её обозначают B. Направление вектора B задаёт направление поля в данной точке. Чем больше модуль магнитной индукции, тем сильнее поле действует на движущийся заряд.

Сила Лоренца — сила, с которой магнитное поле действует на движущуюся заряженную частицу. Она зависит от заряда частицы, её скорости и магнитного поля; при угле α между скоростью и полем её модуль равен F = |q|vB sin α. Эта формула помогает определить, будет ли сила заметной и как она изменит движение.

Правило левой руки — способ найти направление силы, действующей на положительно заряженную частицу. Левую ладонь располагают так, чтобы линии поля входили в неё, пальцы направляют по скорости, а отставленный большой палец показывает силу. Для отрицательного заряда найденное направление нужно обратить на противоположное.

Как это устроено

Магнитное поле действует силой Лоренца только на движущийся заряд. Это видно и из формулы: при скорости v = 0 модуль силы равен нулю. Поэтому само наличие заряда в поле ещё не означает, что частица начнёт двигаться или отклонится.

Направление силы Лоренца определяется взаимным расположением скорости и магнитного поля. Сила перпендикулярна обоим векторам, потому что магнитное действие не тянет частицу вдоль её движения или вдоль поля. Правило левой руки позволяет установить направление для положительного заряда, а смена знака заряда меняет силу на противоположную.

Если скорость направлена перпендикулярно полю, сила Лоренца тоже перпендикулярна скорости. Такая сила не увеличивает и не уменьшает скорость по модулю, а только поворачивает её в сторону. Поскольку поворот происходит непрерывно, частица движется по окружности, а сила всё время направлена к центру этой окружности.

При круговом движении роль центростремительной силы выполняет сила Лоренца. Центростремительная сила равна mv²/r, а при перпендикулярных скорости и полю сила Лоренца равна |q|vB. Приравняв их, получаем радиус r = mv/(|q|B): он тем больше, чем больше масса и скорость, и тем меньше, чем больше заряд по модулю и магнитная индукция.

Если скорость направлена под углом к полю, её можно разделить на две составляющие. Составляющая вдоль поля не испытывает магнитной силы, поэтому сохраняется, а перпендикулярная составляющая вызывает вращение частицы вокруг направления поля. Одновременное движение вдоль поля и по окружности образует винтовую траекторию.

Движение заряженной частицы в магнитном поле

Сравните скорость с направлением магнитного поля и найдите соответствующую строку таблицы. Если скорость образует угол, отличающийся от 0° и 90°, учитывайте оба компонента движения: параллельный и перпендикулярный полю. Направление самой силы в каждом случае можно определить по правилу левой руки с поправкой на знак заряда.

Разбор задач

Задача 1. Положительно заряженная частица движется слева направо в магнитном поле, направленном в плоскость листа. Определите направление силы Лоренца. Нужно сопоставить направления скорости и поля, а затем применить правило левой руки для положительного заряда.

1. Представьте ладонь так, чтобы поле, направленное в плоскость листа, входило в неё. Пальцы направьте слева направо, по скорости частицы.
2. Отставленный большой палец показывает силу Лоренца. При указанном расположении он направлен вверх, перпендикулярно плоскости листа.

Ответ: сила Лоренца направлена вверх, к верхнему краю листа.

Задача 2. Частица движется перпендикулярно однородному магнитному полю. Объясните, почему её траектория искривляется, но скорость по модулю не меняется. Здесь важно выяснить не только направление силы, но и то, может ли она увеличить кинетическую энергию частицы.

1. При скорости, перпендикулярной полю, сила Лоренца направлена перпендикулярно скорости. Значит, она каждый миг поворачивает вектор скорости.
2. Сила, перпендикулярная перемещению, не совершает работу. Кинетическая энергия и модуль скорости остаются прежними, хотя направление движения меняется.
3. Непрерывное изменение направления скорости приводит к искривлению траектории. В однородном поле при такой ориентации скорости траектория является окружностью.

Ответ: сила Лоренца искривляет путь, но не меняет модуль скорости, потому что перпендикулярна ей и не совершает работу.

Задача 3. Частица с известными массой m, модулем заряда |q| и скоростью v движется перпендикулярно магнитному полю с индукцией B. Найдите радиус траектории. Числа не заданы, поэтому результат нужно выразить через эти величины.

1. При движении по окружности сила Лоренца играет роль центростремительной силы. Запишем их модули: |q|vB = mv²/r.
2. Умножим равенство на r и разделим обе части на |q|B. Получим r = mv²/(|q|vB).
3. Сократим один множитель v. Итоговая формула для радиуса: r = mv/(|q|B).

Ответ: радиус траектории равен r = mv/(|q|B). Подставьте значения в единицах СИ, чтобы получить радиус в метрах.

Типичные ошибки

Ошибка: считать силу Лоренца направленной вдоль скорости или поля. Её часто путают с силой, которая толкает тело вперёд, но в магнитном поле сила перпендикулярна и скорости, и полю. Проверьте себя: направьте силу по правилу левой руки — она не должна совпасть ни с одним из этих векторов.

Ошибка: для отрицательного заряда использовать направление, полученное для положительного. Правило руки обычно сначала применяют к положительному заряду, поэтому легко забыть о знаке q. После определения направления обязательно проверьте знак частицы: для отрицательной силы нужно поменять направление на противоположное.

Ошибка: утверждать, что магнитное поле разгоняет или замедляет частицу. Поскольку сила перпендикулярна скорости, она поворачивает вектор скорости, но не меняет его длину. Проверить рассуждение можно по работе силы: при перпендикулярных силе и движению работа равна нулю.

Ошибка: считать траекторию круговой при любой ориентации скорости. Окружность получается, когда скорость перпендикулярна полю; параллельная составляющая скорости сохраняется и уносит частицу вдоль поля. Разложите скорость на две составляющие: если продольная не равна нулю, траектория будет винтовой.

Связь с другими темами

Для изучения движения заряда нужно знать, что такое магнитное поле и магнитная индукция, а также уметь пользоваться правилом левой руки для проводника с током. Понимание равномерного движения по окружности помогает увидеть, почему сила Лоренца действует как центростремительная сила и как получить формулу радиуса. Эти знания применяют при изучении ускорителей частиц и устройств, которые управляют пучками заряженных частиц.

Что запомнить

• Магнитное поле действует силой на движущуюся заряженную частицу.
• Сила Лоренца перпендикулярна скорости частицы и магнитному полю.
• Направление силы определяют правилом левой руки с учётом знака заряда.
• При движении перпендикулярно полю частица движется по окружности.
• Сила Лоренца меняет направление скорости, но не её модуль.
• При наклонном движении частицы относительно поля траектория винтовая.