"Физика", Андрюшечкин С.М.
При движении по окружности тело всё время меняет направление, даже если движется с постоянной скоростью по модулю. Чтобы описать такое движение, используют радиус траектории, период одного оборота и частоту вращения. По радиусу и периоду можно найти линейную скорость, а по скорости и радиусу — центростремительное ускорение, направленное к центру. Эти величины помогают объяснять повороты автомобилей, вращение колёс и движение спутников.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Равномерное движение по окружности — движение, при котором тело за равные промежутки времени проходит равные дуги окружности. Дуга — часть линии окружности между двумя точками. Это определение помогает отличить постоянство скорости по модулю от постоянства её направления: последнее при движении по окружности невозможно.
Период обращения — время одного полного оборота тела по окружности; его обозначают T. Если тело совершило несколько оборотов за время t, период можно найти, разделив всё время на число оборотов: T = t/N. Период нужен, чтобы описать, насколько быстро повторяется движение.
Частота обращения — число полных оборотов за единицу времени; обозначение — ν (ню). Её можно вычислить как ν = N/t, а единица СИ — герц: один герц означает один оборот в секунду. Частота удобна, когда известно, сколько раз движение повторяется за заданное время.
Центростремительное ускорение — ускорение, направленное к центру окружности и изменяющее направление скорости тела. Его обозначают aцс, а измеряют в м/с². Оно показывает, как быстро меняется направление движения, даже если числовое значение скорости не меняется.
Скорость тела — вектор, то есть величина, у которой есть не только числовое значение, но и направление. На окружности в каждой точке направление скорости совпадает с касательной к траектории, а касательные в разных точках направлены по-разному. Поэтому при равномерном движении по окружности модуль скорости может оставаться постоянным, но сам вектор скорости изменяется. Изменение скорости означает наличие ускорения.
За один полный оборот тело проходит длину окружности 2πR, где R — радиус, а π ≈ 3,14. Если оборот занимает время T, то скорость равна пути, делённому на время: v = 2πR/T. Чем больше радиус при том же периоде, тем длиннее путь за оборот и тем выше скорость. Чем больше период при том же радиусе, тем медленнее тело проходит этот путь.
Период и частота описывают одно и то же повторяющееся движение с разных сторон. Если за время t совершается N оборотов, то частота равна ν = N/t, а длительность одного оборота — T = t/N. Перемножив эти выражения или подставив одно в другое, получаем ν = 1/T и T = 1/ν. Поэтому большой период соответствует маленькой частоте, и наоборот.
Ускорение возникает потому, что вектор скорости за небольшое время меняет направление. За этот промежуток тело перемещается по дуге, а направления скорости в начале и конце близки к касательным; изменение вектора скорости связано с направлением к центру окружности. Когда промежуток времени становится очень малым, ускорение оказывается направлено по радиусу внутрь. По этой причине его называют центростремительным: «центро» указывает на центр, а «стремительное» — на направленность к нему.
Модуль центростремительного ускорения выражается формулой aцс = v²/R. Квадрат скорости показывает, что при неизменном радиусе удвоение скорости увеличивает ускорение в четыре раза. Радиус находится в знаменателе: при той же скорости на более крутой, то есть меньшей по радиусу, траектории ускорение больше. Увеличение радиуса в два раза при неизменной скорости, напротив, уменьшает ускорение в два раза.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица СИ | Направление или смысл |
|---|---|---|---|---|
| Радиус окружности | R | R = d/2 | м | Расстояние от центра до траектории |
| Период обращения | T | T = t/N = 1/ν | с | Время одного оборота |
| Частота обращения | ν | ν = N/t = 1/T | Гц (с⁻¹) | Число оборотов за секунду |
| Линейная скорость | v | v = 2πR/T | м/с | Направлена по касательной |
| Центростремительное ускорение | aцс | aцс = v²/R | м/с² | Направлено к центру окружности |
Сначала определите, какие величины даны в условии и какую нужно найти, затем выберите строку с подходящей формулой. Если в задаче дан диаметр d, сначала найдите радиус: R = d/2. Перед вычислениями переведите величины в единицы СИ.
Тело движется по окружности радиусом 2 м и совершает один оборот за 4 с. Нужно найти частоту обращения и скорость тела. Даны R = 2 м и T = 4 с, число оборотов за один период равно одному. Частота показывает число оборотов за секунду, а скорость — длину пути за секунду.
Ответ: ν = 0,25 Гц; v ≈ 3,14 м/с.
Автомобиль движется по закруглению дороги радиусом 50 м со скоростью 10 м/с. Требуется определить центростремительное ускорение. В условии уже дана линейная скорость, поэтому период или длину окружности находить не требуется. Подойдёт формула, связывающая ускорение, скорость и радиус.
Ответ: центростремительное ускорение автомобиля равно 2 м/с².
Нужно выяснить, во сколько раз изменится центростремительное ускорение, если скорость увеличить в два раза, а радиус траектории уменьшить в два раза. Конкретные значения скорости и радиуса не нужны: достаточно сравнить начальную и конечную формулы. Ускорение зависит от квадрата скорости и обратно пропорционально радиусу.
Ответ: ускорение увеличится в 8 раз: скорость даёт множитель 4, а уменьшение радиуса — ещё множитель 2.
Считать движение равноускоренным только потому, что модуль скорости постоянен. Так делают, смешивая числовое значение скорости с вектором скорости; его направление меняется, поэтому ускорение не равно нулю. Проверка: сравните направления скорости в двух разных точках окружности.
Направлять центростремительное ускорение по касательной. Ошибка возникает, если ускорение путают со скоростью: скорость действительно направлена по касательной, но ускорение при движении по окружности направлено к центру. Проверьте схему: радиус к телу, ускорение к центру, скорость перпендикулярна радиусу.
Путать период и частоту и записывать ν = T. Период измеряется в секундах, а частота — в обратных секундах, поэтому такие величины не могут быть равны численно как физические величины. Проверьте формулу по смыслу: если оборот длится дольше, оборотов за секунду меньше, значит ν = 1/T.
Подставлять диаметр вместо радиуса или неверно считать длину окружности. Это часто происходит, когда в условии дан диаметр и его не делят на два; тогда ошибка переносится в ответ. Для проверки используйте d = 2R и длину окружности 2πR, а не πR и не 2πd.
Для изучения движения по окружности нужны знания о длине окружности, равномерном движении, скорости, векторе скорости и единицах измерения. Эти понятия позволяют перейти от пройденного пути к описанию изменения направления движения. Далее они пригодятся при изучении сил, движения искусственных спутников, вращения колёс и движения заряженных частиц в магнитном поле. Законы Ньютона объясняют, какая сила сообщает телу центростремительное ускорение: равнодействующая сил должна быть направлена к центру.
Почему при постоянной скорости тело всё равно движется с ускорением?
Скорость — векторная величина: у неё есть и модуль, и направление. На окружности направление скорости непрерывно меняется, поэтому меняется и сам вектор скорости, а значит, тело имеет ускорение.
Куда направлены скорость и центростремительное ускорение?
Мгновенная скорость направлена по касательной к окружности. Центростремительное ускорение направлено от тела к центру окружности, поэтому эти направления перпендикулярны.
Чем период отличается от частоты обращения?
Период T — время, за которое совершается один полный оборот. Частота ν показывает, сколько оборотов происходит за единицу времени; величины связаны равенством ν = 1/T.
Как изменится ускорение при увеличении скорости тела?
При неизменном радиусе центростремительное ускорение пропорционально квадрату скорости: aцс = v²/R. Например, если скорость увеличить в два раза, ускорение вырастет в четыре раза.
Какая сила заставляет тело двигаться по окружности?
Для движения по окружности нужна сила, направленная к центру и сообщающая телу центростремительное ускорение. Ею может быть, например, сила трения для автомобиля на повороте или сила притяжения для спутника.
§ 4. Движение по окружности
