§ 38. Сферические зеркала. Построение изображений в сферических зеркалах

Определения и обозначения

Сферическое зеркало — часть сферической поверхности, которая отражает свет. У вогнутого зеркала отражает внутренняя сторона сферической поверхности, а у выпуклого — внешняя. Это помогает сразу определить, с какой стороны строить ход лучей.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центр сферической поверхности и середину зеркала. Центр сферы называют центром кривизны; обычно его обозначают C. Ось нужна, чтобы задавать положение предмета и проводить основные лучи при построении изображения.

Фокус сферического зеркала — точка, где после отражения собираются лучи, падавшие параллельно главной оптической оси, или точка пересечения продолжений таких лучей. Фокус вогнутого зеркала действительный, а у выпуклого — мнимый и расположен за зеркалом. Его обозначают F, чтобы отмечать на чертеже направление главных лучей.

Фокусное расстояние — расстояние от фокуса до середины зеркала. Его можно представить как отрезок от зеркала до точки F на главной оси. Эта величина показывает, насколько близко к зеркалу собираются параллельные лучи или где встречаются их продолжения.

Как это устроено

Вогнутое и выпуклое зеркала различают не по тому, как выглядит их поверхность с любой стороны, а по стороне, которая отражает свет. У вогнутого зеркала эта сторона обращена внутрь сферы: падающие параллельно оси лучи после отражения направляются к оси и сходятся перед зеркалом. У выпуклого отражающая сторона обращена наружу, поэтому лучи отклоняются друг от друга. Их продолжения за зеркалом сходятся в мнимом фокусе.

Главную ось находят, соединяя середину зеркала с центром сферы, частью которой оно является. Радиусы сферы, проведённые к поверхности, перпендикулярны ей, поэтому центр кривизны помогает понять направление отражения. Параллельные оси лучи после отражения встречаются в фокусе вогнутого зеркала; у выпуклого пересекаются не сами лучи, а их продолжения. Для сферических зеркал в школьных построениях фокус располагают примерно посередине между зеркалом и центром кривизны.

Для изображения достаточно провести от верхушки предмета два удобных главных луча. Луч, идущий параллельно оси, после отражения у вогнутого зеркала проходит через F, а у выпуклого направлен так, словно вышел из F за зеркалом. Луч, направленный через F к вогнутому зеркалу, отражается параллельно оси; это обратное применение правила о фокусе. Наконец, луч через C падает перпендикулярно поверхности и возвращается по той же прямой.

У вогнутого зеркала результат зависит от того, где предмет расположен относительно фокуса F и центра кривизны C. Если предмет дальше C, отражённые лучи встречаются между C и F; изображение действительное, перевёрнутое и уменьшенное. Если предмет между C и F, лучи пересекаются за C, а изображение получается действительным, перевёрнутым и увеличенным; при положении в C оно равное предмету. В F отражённые лучи параллельны и конечного изображения не дают, а между F и зеркалом они расходятся, поэтому пересекаются только продолжения за зеркалом.

Выпуклое зеркало рассеивает отражённые лучи, поэтому сами они перед зеркалом не встречаются. Их продолжения за зеркалом пересекаются, и наблюдателю кажется, что свет пришёл из этой точки. Так возникает мнимое изображение: оно прямое, потому что не переворачивается при отражении, и уменьшенное, поскольку точка пересечения продолжений расположена ближе к оси и зеркалу, чем предмет. Такой результат сохраняется при любом положении предмета перед выпуклым зеркалом.

Изображения в сферических зеркалах

Сначала найдите на оси F и C, затем отметьте предмет и постройте от его верхушки два главных луча. Свойства изображения определяйте по пересечению самих отражённых лучей или их продолжений: реальные лучи дают действительное изображение, продолжения — мнимое. Сравните расстояние изображения от оси с высотой предмета и проверьте, прямое оно или перевёрнутое.

Разбор задач

Задача 1. Параллельные главной оптической оси лучи после отражения сходятся перед зеркалом. Определите вид зеркала и отметьте его фокус. Здесь ключевой признак — сходятся ли сами лучи или только их продолжения. Сначала разберём направление лучей, затем обозначим нужную точку.

1. Отметьте главную оптическую ось и середину зеркала. Параллельные оси лучи после отражения действительно пересекаются перед зеркалом, а не только кажутся исходящими из общей точки.
2. Такое схождение возможно у вогнутого зеркала: его отражающая сторона обращена внутрь сферической поверхности. Выпуклое зеркало, наоборот, рассеивает отражённые лучи.
3. Поставьте F в точке, где пересеклись отражённые лучи. Эта точка и есть фокус, а расстояние до середины зеркала — фокусное расстояние.

Ответ: зеркало вогнутое, фокус находится перед ним в точке пересечения отражённых параллельных лучей.

Задача 2. Предмет расположен за центром кривизны вогнутого зеркала. Постройте изображение и укажите его положение, направление и размер. Чтобы построение было проще, используйте два главных луча от верхушки предмета. Их пересечение покажет изображение верхушки, а основание предмета лежит на оси.

1. Проведите главную ось, отметьте C и F, а предмет поставьте дальше C от зеркала. Из его верхушки направьте один луч параллельно оси, второй — через C.
2. Первый луч после отражения пройдёт через F. Второй вернётся по той же прямой, потому что направлен к центру кривизны и падает перпендикулярно поверхности.
3. Пересечение отражённых лучей будет между C и F. Оно находится ниже оси, тогда как верхушка предмета была выше неё, значит изображение перевёрнутое.
4. Изображение окажется ближе к оси, чем верхушка предмета: оно меньше предмета. Поскольку встретились сами отражённые лучи, а не продолжения, изображение действительное.

Ответ: изображение расположено между C и F, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 3. Предмет находится между фокусом и вогнутым зеркалом. Постройте изображение, используя отражённые лучи и их продолжения. В этом случае нельзя ожидать, что отражённые лучи соберутся перед зеркалом: после отражения они расходятся. Поэтому для нахождения изображения понадобятся продолжения лучей.

1. Отметьте F и направьте от верхушки предмета луч параллельно главной оси. После отражения он пойдёт так, что его продолжение за зеркалом пересечёт ось в F.
2. Проведите второй луч от верхушки через F к зеркалу. После отражения он станет параллельным оси. Отражённые лучи расходятся, поэтому продлите их назад за зеркало пунктиром на чертеже.
3. Пересечение продолжений задаёт положение верхушки мнимого изображения. Оно находится за зеркалом, выше оси, то есть изображение прямое.
4. Точка пересечения продолжений расположена так, что изображение получается больше предмета. Самих лучей в этой точке нет, поэтому изображение мнимое.

Ответ: за зеркалом образуется мнимое, прямое и увеличенное изображение.

Типичные ошибки

Вогнутое и выпуклое зеркала иногда путают по внешнему виду поверхности, не учитывая, какая сторона отражает свет. Это происходит, если смотреть на форму зеркала, а не на сторону, обращённую к предмету. Проверьте себя: у вогнутого отражающая сторона обращена внутрь сферы, у выпуклого — наружу.

Некоторые думают, что луч, который до отражения идёт через фокус, и после отражения обязан снова пройти через фокус. Так получается, если правило о параллельном луче применяют в обратном направлении, но не меняют его смысл. У вогнутого зеркала луч, направленный через фокус к зеркалу, отражается параллельно оси; нарисуйте оба направления и сверьте с этим правилом.

При мнимом изображении пересечение продолжений принимают за место встречи самих лучей. Причина ошибки — на чертеже продолжения и лучи могут выглядеть как одна линия. Обозначайте продолжения отдельно и проверяйте, пересекаются ли в этой точке реальные отражённые лучи; если нет, изображение мнимое.

Свойства изображения нельзя определять только по его расстоянию от зеркала. Можно найти положение изображения и при этом не заметить, что оно перевёрнуто или меньше предмета. После построения отдельно сравните, по какую сторону оси лежит изображение, и сопоставьте высоты изображения и предмета.

Связь с другими темами

Для построения изображения в сферическом зеркале нужно знать закон отражения света: угол падения равен углу отражения. Умение проводить отражённый луч по этому закону помогает понять, почему луч через центр кривизны возвращается по той же прямой, а остальные лучи меняют направление. Позже похожие построения используют при изучении линз и оптических приборов. В обоих случаях изображение находят по пересечению лучей или их продолжений.

Что запомнить

• У вогнутого зеркала отражающая сторона обращена внутрь сферической поверхности.
• У выпуклого зеркала отражающая сторона обращена наружу.
• Луч, параллельный главной оптической оси, после отражения проходит через фокус вогнутого зеркала; у выпуклого через фокус проходит его продолжение.
• Луч через центр кривизны падает на зеркало перпендикулярно поверхности и отражается по той же прямой.
• Изображение в вогнутом зеркале зависит от положения предмета относительно фокуса и центра кривизны.
• Выпуклое зеркало даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.