§ 2.2. Активное сопротивление в цепи переменного тока

Определения и обозначения

Активное сопротивление — сопротивление участка цепи, на котором электрическая энергия превращается во внутреннюю энергию; его обозначают R, а измеряют в омах (Ом). Пример такого элемента — резистор. Это понятие помогает описать, насколько сильно участок препятствует току и сколько энергии на нём переходит в теплоту.

Мгновенные значения напряжения и силы тока — значения этих величин в конкретный момент времени; их обозначают соответственно u и i. В переменной цепи они непрерывно меняются, поэтому одного числа недостаточно, чтобы описать весь процесс. Мгновенные значения нужны, когда рассматривают, как напряжение и ток связаны в каждый момент.

Действующее значение силы переменного тока — значение постоянного тока, который за то же время выделил бы в том же сопротивлении такое же количество теплоты; его обозначают I. Оно показывает тепловое действие переменного тока без необходимости отслеживать его колебания. Например, именно действующее значение обычно указывают для переменного тока в бытовых расчётах.

Действующее значение переменного напряжения — значение постоянного напряжения, которое в том же сопротивлении вызвало бы такой же тепловой эффект; его обозначают U. Оно не совпадает с наибольшим мгновенным напряжением, то есть амплитудой. Действующее значение удобно для расчёта тока, мощности и нагрева резистора.

Как это устроено

Когда к резистору подключают источник переменного напряжения, электрическое поле заставляет заряды двигаться по проводнику. Напряжение меняет направление и величину, поэтому меняется и ток. При этом сопротивление R резистора в рассматриваемой модели постоянно, так что в каждый момент связь между напряжением и током задаёт закон Ома: u = iR. Это соотношение не требует, чтобы ток был постоянным: оно применяется отдельно к значениям u и i в любой выбранный момент.

Если напряжение меняется по гармоническому закону, например u = Um sin(ωt), то по закону Ома i = u/R = (Um/R) sin(ωt). Следовательно, ток тоже меняется по синусоидальному закону, а его амплитуда Im равна Um/R. В синусоиде множитель, зависящий от времени, одинаков для напряжения и тока. Поэтому оба сигнала одновременно проходят через ноль и достигают максимумов и минимумов.

Совпадение во времени означает, что напряжение и ток на активном сопротивлении совпадают по фазе: фазовый сдвиг между ними равен нулю. Фаза показывает, на какой части колебательного цикла находится сигнал. В резисторе энергия не накапливается в электрическом или магнитном поле так, чтобы затем возвращаться источнику с задержкой. Поэтому изменение напряжения сразу сопровождается соответствующим изменением тока, в отличие от цепей с катушкой или конденсатором.

Амплитуда показывает наибольшее значение переменной величины, но для нагрева удобнее действующее значение. Тепловой эффект связан с квадратом тока, а квадрат синусоиды за полный период в среднем равен ½. Поэтому для синусоидального тока I = Im/√2; аналогично для напряжения U = Um/√2. Действующие значения позволяют сравнивать переменный ток с постоянным по выделяемой теплоте и применять привычные расчёты без подсчёта каждого мгновенного значения.

Мгновенная мощность на резисторе равна произведению напряжения на ток: p = ui = i²R. Она неотрицательна, потому что u и i одновременно имеют одинаковый знак, а квадрат тока не бывает отрицательным. За период мощность меняется, поэтому для оценки работы прибора используют среднюю мощность. Через действующие значения её записывают как P = UI = I²R = U²/R; эта мощность описывает скорость превращения электрической энергии во внутреннюю энергию.

График показывает, что нормированные напряжение и ток идут по одной синусоиде: их нули и экстремумы совпадают. Значит, между сигналами нет фазового сдвига.

Активное сопротивление в цепях постоянного и переменного тока

Сначала найди, какие именно величины даны в условии: мгновенные, амплитудные или действующие. Для расчёта тока и средней мощности переменной цепи обычно удобнее использовать действующие значения. Таблица помогает увидеть, что закон Ома сохраняется, но для переменного тока важно уточнять, о каких значениях идёт речь.

Разбор задач

Задача 1. К резистору сопротивлением 20 Ом приложено переменное напряжение с действующим значением 10 В. Найти действующее значение силы тока. В условии уже даны действующие U и сопротивление R, поэтому амплитуду искать не требуется. Используем закон Ома для действующих значений.

1. Записываем формулу: I = U/R.
2. Подставляем данные: I = 10 В / 20 Ом.
3. Вычисляем: I = 0,5 А.

Ответ: действующее значение силы тока равно 0,5 А. Проверка размерности даёт вольт, делённый на ом, то есть ампер. Полученное значение меньше напряжения численно, но сравнивать эти величины напрямую не нужно: у них разные единицы.

Задача 2. Напряжение задано законом u = 120 sin(100πt) В, сопротивление равно 30 Ом. Найти амплитуду и действующее значение тока. Коэффициент перед синусом задаёт амплитуду напряжения: Um = 120 В. Сначала применим закон Ома к амплитудам, а затем перейдём к действующему значению синусоидального тока.

1. Из u = iR следует Im = Um/R.
2. Подставляем: Im = 120 В / 30 Ом = 4 А.
3. Действующее значение: I = Im/√2 = 4/√2 А ≈ 2,8 А.

Ответ: амплитуда тока равна 4 А, действующее значение — примерно 2,8 А. Здесь нельзя считать 4 А действующим током: это наибольшее значение за период. Частота изменения, заданная множителем 100π в аргументе синуса, для поиска амплитуды и действующего значения не нужна.

Задача 3. Резистор сопротивлением 40 Ом подключён к источнику с действующим напряжением 120 В. Найти среднюю мощность и количество теплоты за 5 минут. Поскольку даны действующие U и R, мощность можно сразу найти по формуле P = U²/R. Затем используем связь энергии, мощности и времени Q = Pt.

1. Вычисляем мощность: P = (120 В)² / 40 Ом = 360 Вт.
2. Переводим время: 5 мин = 300 с.
3. Находим теплоту: Q = 360 Вт · 300 с = 108 000 Дж = 108 кДж.

Ответ: средняя мощность равна 360 Вт, за 5 минут выделится 108 кДж теплоты. Секунды необходимы, чтобы джоули получились из ватт, умноженных на секунды. Если бы время оставили в минутах, результат без дополнительного перевода единиц был бы неверным.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять амплитудное напряжение вместо действующего в формулах средней мощности. Её допускают, если не проверяют, какое именно значение указано в условии: при U = Um формула U²/R завысит мощность в два раза. Перед вычислениями подпиши данную величину как U или Um. Проверка: для синусоидального напряжения сначала переведи амплитуду в действующее значение делением на √2.

Вторая ошибка — считать, что закон Ома не действует при переменном токе. Путают изменяющиеся во времени значения с нарушением самой связи между током и напряжением. Для резистора закон Ома выполняется мгновенно: u = iR, а также для действующих значений: U = IR. Проверь решение, подставив выбранные значения одного типа в соответствующую формулу.

Третья ошибка — приписывать напряжению и току на резисторе ненулевой фазовый сдвиг. Обычно это происходит из-за смешения свойств резистора со свойствами катушки или конденсатора. На чисто активном сопротивлении отношение u к i задаётся постоянным R, поэтому оба сигнала достигают нуля и экстремумов одновременно. Проверить себя можно по формулам u = Um sin(ωt) и i = Im sin(ωt): аргументы синуса одинаковы.

Четвёртая ошибка — считать среднюю мощность за период нулевой, потому что ток меняет направление. Направление тока меняется, но вместе с ним знак напряжения на резисторе тоже меняется, поэтому произведение ui остаётся неотрицательным. Кроме того, p = i²R, а квадрат не может быть отрицательным. Проверь вывод через формулу средней мощности P = I²R: при ненулевых токе и сопротивлении мощность положительна.

Связь с другими темами

Для работы с переменным током нужны закон Ома и представление о гармонических колебаниях. Амплитуда, период и фаза помогают читать уравнения и графики синусоидального напряжения и тока. Понимание активного сопротивления становится опорой для изучения цепей с катушкой индуктивности и конденсатором, где могут возникать фазовые сдвиги. Действующие значения и формула мощности также применяются при расчёте потребления энергии и работы бытовых электроприборов.

Что запомнить

• На активном сопротивлении действует закон Ома.
• В чисто активной цепи ток и напряжение совпадают по фазе.
• Действующее значение синусоидальной величины равно амплитуде, делённой на √2.
• Для резистора P = UI = I²R = U²/R, если U и I — действующие значения.
• Электрическая энергия в резисторе превращается преимущественно во внутреннюю энергию.