§ 2.1. Переменный ток

Определения и обозначения

Переменный ток — электрический ток, сила и направление которого периодически изменяются. В отличие от постоянного тока, он не течёт всё время в одном направлении. Это понятие нужно, чтобы описывать токи, возникающие, например, в генераторах и бытовых электросетях.

Синусоидальный ток — переменный ток, сила которого меняется по закону синуса: i = Iₘ sin(ωt + φ₀). Здесь i — значение силы тока в выбранный момент, а φ₀ задаёт начальную фазу, то есть состояние колебания при t = 0. Такая запись позволяет вычислить ток в любой момент времени.

Амплитуда силы тока Iₘ — наибольшее по модулю значение мгновенной силы тока. Она показывает максимальное отклонение тока от нуля, но не является ни средним, ни действующим значением. Амплитуда нужна, чтобы указать размах изменения тока.

Период T — время одного полного повторения изменения тока, а частота ν — число таких повторений за секунду. Их связь выражается формулой ν = 1/T. По периоду можно узнать длительность цикла, а по частоте — насколько часто циклы повторяются.

Как это устроено

В генераторе рамка вращается в магнитном поле, и угол между рамкой и полем меняется. Поэтому меняется магнитный поток через рамку — величина, характеризующая магнитное поле, проходящее через её поверхность. По закону электромагнитной индукции изменение потока вызывает ЭДС, то есть причину возникновения тока в замкнутой цепи.

При равномерном вращении магнитный поток меняется по закону косинуса угла поворота. ЭДС индукции связана не просто со значением потока, а со скоростью его изменения, поэтому её зависимость от времени сдвинута по фазе и имеет синусоидальный вид. Если цепь замкнута и её свойства постоянны, ток в простейшем случае также изменяется синусоидально.

Синус меняет знак через половину своего полного цикла. Поэтому за время T/2 ток меняет направление, а ещё через T/2 возвращается к прежнему направлению; полный цикл занимает T. Значения тока повторяются через каждый период, хотя между повторениями ток проходит и положительные, и отрицательные значения.

Период T измеряют в секундах, а частоту ν — в герцах: 1 Гц означает один период за секунду. Эти величины обратно пропорциональны: ν = 1/T. Циклическая частота ω показывает, как быстро изменяется фаза, измеряется в радианах в секунду и связана с частотой формулой ω = 2πν; за один период фаза проходит 2π радиан.

На графике i(t) амплитуду находят по наибольшему расстоянию кривой от нулевой линии. Период определяют как промежуток времени между соседними максимумами или другими одинаковыми точками цикла. Направление меняется при пересечении графиком нуля: там ток меняет знак, а соседние пересечения для синусоиды разделены половиной периода.

На графике ниже по вертикали показана доля амплитуды i/Iₘ, а по горизонтали — фаза ωt. Один полный цикл соответствует изменению фазы на 2π, поэтому на графике от 0 до 4π помещаются два периода. Положительная часть кривой соответствует одному направлению тока, отрицательная — противоположному.

Основные характеристики синусоидального переменного тока

Сначала определите, какую характеристику нужно найти, а затем выберите её обозначение и формулу из таблицы. Для перехода между периодом и частотой используйте ν = 1/T, а для подстановки в закон тока — ω = 2πν. Не подменяйте мгновенное значение амплитудой: первое зависит от времени, второе остаётся постоянной характеристикой колебания.

Разбор задач

Амплитуда и период по графику

Условие. По графику силы переменного тока определить амплитуду и период колебаний. Числовые значения считывают по осям: вертикальная ось показывает силу тока, горизонтальная — время. При чтении важно найти именно повторяющиеся точки, а не просто любое расстояние между двумя отметками.

1. Найдите нулевой уровень и наибольшее отклонение кривой от него. Это отклонение и есть Iₘ.
2. Выберите два соседних одинаковых фазовых положения, например два максимума. Разность соответствующих значений времени равна T.
3. Запишите результат с единицами: амплитуду — в амперах, период — в секундах.

Ответ. Амплитуда равна максимальному по модулю значению тока на графике, период — временному расстоянию между соседними максимумами. Если график задан только как зависимость от фазы ωt, по нему видны форма и амплитуда, но для периода в секундах дополнительно нужна ω или ν.

Частота 50 Гц

Условие. Частота тока равна 50 Гц. Найти период и циклическую частоту. Герц означает один полный период в секунду, поэтому исходная величина уже дана в единицах, подходящих для расчёта.

1. Используйте обратную зависимость периода и частоты: T = 1/ν.
2. Подставьте ν = 50 с⁻¹: T = 1/50 с = 0,02 с.
3. Для циклической частоты примените ω = 2πν: ω = 2π · 50 = 100π рад/с.

Ответ. T = 0,02 с, ω = 100π рад/с (приблизительно 314 рад/с). Проверка: за 0,02 с происходит один период, то есть 50 периодов укладываются в одну секунду.

Ток по заданному закону

Условие. Сила тока задана законом i = 4 sin(100πt). Определить амплитуду, частоту и значение тока через 0,005 с. Сравните выражение с общей формой i = Iₘ sin(ωt + φ₀), чтобы не перепутать частоту и циклическую частоту.

1. Коэффициент перед синусом — амплитуда: Iₘ = 4 А.
2. Из аргумента следует ω = 100π рад/с. Тогда ν = ω/(2π) = 100π/(2π) = 50 Гц.
3. Подставьте t = 0,005 с: i = 4 sin(100π · 0,005) = 4 sin(π/2) = 4 А.

Ответ. Амплитуда равна 4 А, частота — 50 Гц, а через 0,005 с ток равен 4 А. В этот момент синус достигает максимума, поэтому мгновенное значение совпало с амплитудой.

Типичные ошибки

Амплитуду иногда принимают за среднее или действующее значение тока, потому что все эти величины характеризуют переменный ток. Но амплитуда — именно максимальное мгновенное значение по модулю: для синусоиды это высота вершины графика над нулём. Проверьте себя: если значение не равно наибольшему отклонению кривой, это не амплитуда.

Период и частоту путают из-за того, что оба понятия описывают повторяемость колебаний. Период — время одного цикла в секундах, а частота — число циклов за секунду в герцах; они обратно пропорциональны. Для проверки используйте νT = 1: если частота растёт, период должен уменьшаться.

Можно решить, что переменный ток всё время течёт в одну сторону, потому что на графике есть участки выше нуля. Однако ниже нуля синус имеет противоположный знак, а знак силы тока соответствует направлению. Найдите пересечения графика с нулём: между соседними пересечениями проходит половина периода, после которой направление меняется.

В формулу тока иногда подставляют частоту ν вместо циклической частоты ω. Это происходит потому, что обе величины связаны с быстротой повторения, но в аргументе синуса стоит ωt, причём ω = 2πν. Проверьте единицы и коэффициенты: если известна частота, перед использованием закона тока сначала найдите ω.

Связь с другими темами

Для понимания темы нужны представления об электрическом токе и силе тока, а также закон электромагнитной индукции. Периодические функции помогают прочитать синусоидальный закон и соотнести его с графиком. Без этих знаний сложнее объяснить, почему ток меняется и как вычислить его значение в конкретный момент.

Период и частота понадобятся при изучении переменного напряжения и электрических цепей переменного тока. Они также важны для понимания работы трансформаторов, в которых используется переменное электромагнитное воздействие. Это позволяет связывать параметры колебаний с работой реальных устройств.

Изменение магнитного потока вызывает ЭДС индукции — этот принцип лежит в основе объяснения работы генераторов. Вращение рамки превращает механическое движение в периодическое изменение электрического тока. Поэтому связь магнитного потока, ЭДС и тока соединяет тему переменного тока с электромагнитной индукцией.

Что запомнить

• Переменный ток периодически меняет величину и направление.
• В простейшем генераторе ток изменяется по синусоидальному закону.
• Iₘ — амплитуда, то есть максимальное значение силы тока.
• Период T — время одного полного повторения.
• Частота ν показывает число периодов за секунду.
• ν = 1/T, а ω = 2πν.
• За каждый полупериод направление синусоидального тока меняется.