"Физика", Б.Кронгарт, Ш.Насохова, С.Туякбаев, В.Кем, В.Загайнова
Движение нельзя описать, не выбрав систему отсчёта: один наблюдатель видит тело в покое, другой — движущимся. Принцип относительности Галилея утверждает, что механические явления подчиняются одинаковым законам во всех инерциальных системах, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Координаты и скорости при переходе между системами меняются, а время и ускорение в классической механике остаются прежними. Это позволяет сравнивать описания движения и правильно складывать скорости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Инерциальная система отсчёта — система, в которой свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Такое поведение служит признаком того, что система не ускоряется и не вращается относительно инерциальной системы. Если другая система движется относительно неё с постоянной скоростью по прямой, она также инерциальна: переход к ней не меняет ускорение свободного тела.
Принцип относительности Галилея утверждает, что механические явления протекают одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Иначе говоря, законы механики не указывают, какая из таких систем «на самом деле» покоится. Этот принцип позволяет применять одни и те же уравнения движения к разным наблюдателям.
Преобразования Галилея — соотношения, связывающие координаты и время одного события в двух системах, которые движутся друг относительно друга равномерно и прямолинейно. Они нужны, чтобы пересчитать описание события при смене наблюдателя. Для осей, направленных одинаково, и движения K′ вдоль x со скоростью v получаем x′ = x − vt.
Относительность движения означает, что координаты и скорость тела зависят от выбранной системы отсчёта, тогда как законы механики сохраняют вид. Поэтому тело может покоиться относительно вагона и одновременно перемещаться относительно Земли. Это понятие помогает не смешивать сам факт движения с его описанием конкретным наблюдателем.
Чтобы сообщить, где находится тело и как оно движется, недостаточно назвать его координату: нужно указать начало отсчёта и способ измерения времени. Разные наблюдатели могут выбрать разные начала, поэтому одному и тому же событию они приписывают разные координаты. Если сами наблюдатели движутся друг относительно друга, различаются и измеренные ими скорости. Это не противоречие, а разные описания одного движения.
Рассмотрим систему K′, которая движется вдоль оси x системы K с постоянной скоростью v; в начальный момент начала координат совпадают. За время t начало K′ сместится на расстояние vt, поэтому координата события в K′ меньше координаты в K на эту величину: x′ = x − vt. Обратная запись имеет вид x = x′ + vt. Для поперечных координат, если оси параллельны, получаем y′ = y и z′ = z; в классической механике часы показывают одинаковое время, t′ = t.
Чтобы найти скорость в K′, нужно посмотреть, как меняется координата x′ за тот же промежуток времени. Из x′ = x − vt следует u′ = u − v, где u — скорость тела в K, а u′ — его скорость в K′. Следовательно, u = u′ + v: скорость тела относительно Земли складывается со скоростью движущейся системы, если направления совпадают. При противоположных направлениях скорости учитывают со знаками, заданными выбранной осью.
Скорость системы K′ постоянна, поэтому при переходе между системами из скорости тела вычитается постоянная величина. При вычислении ускорения эта добавка исчезает, и a′ = a. Именно поэтому уравнения механики, в которых учитываются ускорения и силы, сохраняют вид в любой инерциальной системе. Смысл принципа относительности в том, что механический опыт внутри такой системы не позволяет отличить её покой от равномерного прямолинейного движения.
| Величина или свойство | Система K | Система K′ |
|---|---|---|
| Положение систем | Начало K принято за x = 0 | Движется со скоростью v вдоль оси x |
| Координата события вдоль направления движения | x | x′ = x − vt |
| Время события | t | t′ = t |
| Скорость тела вдоль направления движения | u | u′ = u − v |
| Ускорение тела | a | a′ = a |
| Вид законов механики | Законы Ньютона | Тот же вид законов Ньютона |
В таблице K′ движется в положительном направлении оси x со скоростью v, а начала систем совпали при t = 0. Чтобы пересчитать координату, вычтите путь, пройденный началом K′; для скорости используйте то же правило с учётом знаков. Ускорение и вид законов механики при таком переходе не меняются.
Поезд движется равномерно со скоростью 20 м/с, пассажир идёт вперёд по вагону со скоростью 1 м/с относительно вагона. Нужно найти скорость пассажира относительно земли. Зададим положительное направление вперёд поезда: обе скорости направлены одинаково, поэтому складываем их.
Обозначим скорость поезда относительно земли v = 20 м/с, а скорость пассажира относительно вагона u′ = 1 м/с. Скорость пассажира относительно вагона задана именно в системе поезда, поэтому её нельзя сразу считать скоростью относительно земли. Используем классическое сложение скоростей.
Запишем u = v + u′. Подставим значения: u = 20 м/с + 1 м/с = 21 м/с. Знак плюс выбран потому, что пассажир идёт вперёд, в том же направлении, куда движется поезд.
Ответ: 21 м/с относительно земли.
Система K′ движется вдоль оси x системы K со скоростью 5 м/с, а координата тела в K равна 30 м при t = 4 с. Начала систем совпали при t = 0. Чтобы перейти к координате K′, нужно учесть, что её начало за это время переместилось вперёд.
Используем преобразование Галилея x′ = x − vt. Здесь x = 30 м, v = 5 м/с, t = 4 с; скорость K′ направлена вдоль положительного направления оси x. Время между системами не меняется.
Подставим числа: x′ = 30 м − (5 м/с · 4 с) = 30 м − 20 м = 10 м. Получившаяся координата меньше, потому что начало K′ приблизилось к телу на 20 м.
Ответ: x′ = 10 м.
В системе K тело движется по закону x = 2 + 3t + 2t², а система K′ движется в том же направлении со скоростью 3 м/с. Требуется выразить координату тела через время в K′ и найти ускорение. Начала систем считаем совпавшими при t = 0, а время в классической механике одинаково.
Подставим закон движения в преобразование x′ = x − vt, где v = 3 м/с. Получаем x′ = 2 + 3t + 2t² − 3t. Линейные слагаемые сокращаются, поэтому x′ = 2 + 2t².
Сравним полученный закон с формулой равноускоренного движения x′ = x₀′ + u₀′t + at²/2. Коэффициент при t² равен 2, значит a/2 = 2 и a = 4 м/с². В системе K исходный коэффициент при t² также равен 2, следовательно, ускорение там такое же.
Ответ: x′ = 2 + 2t²; a′ = 4 м/с².
Считать, что координата тела одинакова во всех системах, — ошибка: положение начала и движение системы меняют результат измерения. Обычно координату принимают за свойство самого тела, забывая, что это расстояние от выбранного начала. Проверка простая: укажите, от какого начала отсчитывается координата, и примените x′ = x − vt. Если начала различаются, численные координаты могут не совпасть.
Складывать или вычитать скорости без указания системы отсчёта и направления тоже неверно. Так ошибаются, когда видят два числа и сразу выбирают действие, не уточнив, относительно чего измерена каждая скорость. Сначала подпишите скорости словами и задайте положительное направление оси, затем используйте u′ = u − v. Проверка: при встречном движении одна из скоростей должна иметь противоположный знак.
Представление, что при преобразованиях Галилея меняется время, переносит в классическую механику свойства других теорий. В формулах движения встречается t, поэтому кажется, что для каждого наблюдателя оно должно быть своим. Но в классической модели t′ = t: часы двух инерциальных систем отсчитывают одинаковое время. Подставляя данные, не вводите дополнительную поправку к времени.
Принцип относительности не означает совпадения всех измерений: одинаковыми остаются законы механики, а не координаты и скорости. Путаница возникает из-за слова «одинаково», которое принимают за требование одинаковых численных результатов. Сверьте, что именно сравнивается: координата может измениться по формуле Галилея, а уравнение движения сохранить вид. Это и есть проверка правильного понимания принципа.
Для изучения темы нужны понятия системы отсчёта, координаты, скорости и ускорения, а также описание равномерного движения. Без них нельзя задать положение тела и сравнить его движение для разных наблюдателей. Начните с того, чтобы различать скорость тела и скорость системы отсчёта.
Инерциальные системы связаны с первым законом Ньютона: именно в них свободное тело сохраняет покой или равномерное прямолинейное движение. Преобразования Галилея опираются на представление классической механики об одинаковом времени. Позже их можно сравнить с преобразованиями специальной теории относительности, которые применяют при скоростях, близких к скорости света.
Как понять, является ли система отсчёта инерциальной?
Проверьте, выполняется ли в ней первый закон Ньютона: свободное тело покоится или движется равномерно и прямолинейно. Если система движется равномерно и прямолинейно относительно уже известной инерциальной системы, она также инерциальна.
Почему пассажир и наблюдатель на земле по-разному описывают движение одного тела?
Они измеряют положение и скорость относительно разных начал отсчёта. Например, пассажир может идти вперёд относительно вагона, а наблюдатель на земле видит, что к этой скорости добавляется скорость поезда.
Как выбрать знак скорости при преобразованиях Галилея?
Сначала задайте положительное направление оси и направление движения системы K′ относительно K. В формуле x′ = x − vt величина v положительна, если K′ движется в положительном направлении оси x; если движение противоположное, v берут со знаком минус.
Почему время считается одинаковым в разных инерциальных системах?
В классической механике предполагается, что время течёт одинаково для всех наблюдателей, а события одновременны во всех таких системах. Поэтому в преобразованиях Галилея t′ = t; это классическое приближение, которое не применяется к очень большим скоростям, близким к скорости света.
Можно ли механическим опытом определить, движется ли система равномерно?
Нет, если система движется равномерно и прямолинейно относительно инерциальной системы, механические опыты внутри неё не отличат её движение от покоя. Определить можно движение относительно другого тела или системы, но не абсолютное равномерное движение.
§ 5.1. Принцип относительности в механике
