§ 7.3. Постулаты Бора

Определения и обозначения

Постулаты Бора — основные положения модели атома, объясняющие его устойчивость и происхождение линейчатого спектра. Постулатами называют исходные правила модели, которые принимают и проверяют по их следствиям. Они позволяют понять, почему атом не теряет энергию непрерывно и почему излучает свет только определённых частот.

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Слово «стационарное» здесь означает неизменность энергии атома, а не неподвижность электрона: в модели он движется по допустимой орбите. Это понятие нужно, чтобы объяснить устойчивость атома.

Условие квантования — правило, согласно которому момент импульса электрона на допустимой орбите равен целому числу квантов: mvr = nℏ. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, n — целое положительное число, а ℏ = h/(2π). Условие отбирает разрешённые орбиты и помогает определить уровни энергии.

Квантовый переход — переход электрона между стационарными состояниями с поглощением или испусканием фотона. Фотон — частица электромагнитного излучения, энергия которой равна hν. Понятие перехода нужно, чтобы описать обмен энергией атома со светом и связать его с отдельными линиями спектра.

Как это устроено

В планетарной модели Резерфорда электрон движется вокруг ядра, подобно планете вокруг Солнца. Но по классической электродинамике заряд, движущийся с ускорением, должен излучать электромагнитные волны; движение по окружности как раз является ускоренным. Теряя энергию, электрон должен был бы приближаться к ядру, и атом быстро разрушился бы. Поскольку атомы устойчивы, классического описания оказалось недостаточно, и Бор ввёл новые правила.

Первый постулат Бора утверждает, что атом может находиться в стационарных состояниях, не излучая энергию. Электрон в такой модели не может выбрать произвольную орбиту: разрешены только некоторые состояния. Поэтому энергия атома не меняется, пока электрон остаётся на одном из них. Именно это допущение устраняет предсказанное классической физикой непрерывное падение электрона на ядро.

Допустимые орбиты выделяются условием квантования mvr = nℏ. Число n принимает только значения 1, 2, 3 и так далее, поэтому радиус и энергия орбиты не меняются непрерывно, а образуют определённый набор значений. Каждому значению n соответствует свой энергетический уровень. Для атома водорода энергия уровня равна Eₙ = −13,6 эВ/n²; отрицательный знак показывает, что электрон связан с ядром, а нулевой уровень условно соответствует свободному электрону.

Второй постулат объясняет, когда атом обменивается энергией с излучением: только при переходе электрона между стационарными состояниями. Переход с уровня с большей энергией на уровень с меньшей сопровождается испусканием фотона, а обратный переход — поглощением фотона. На самих стационарных состояниях излучение или поглощение не происходит. Энергия фотона должна точно соответствовать разности энергий уровней, поэтому переход возможен лишь при выполнении этого условия.

Если начальный уровень имеет энергию Eᵢ, а конечный — Eբ, то энергия фотона равна hν = |Eᵢ − Eբ|, где h — постоянная Планка, а ν — частота. При испускании Eᵢ больше Eբ, и разность Eᵢ − Eբ положительна; при поглощении фотон приносит эту разность атому. У атома водорода уровни дискретны, поэтому набор возможных разностей тоже ограничен. Каждой такой разности соответствует определённая частота и длина волны, так что спектр атома состоит из отдельных линий, а не из непрерывной полосы.

Стационарные состояния и квантовые переходы в модели Бора

Сначала определите, описывает условие пребывание электрона на уровне или переход между уровнями. Затем сравните энергии начального и конечного состояний: это сразу показывает, испускается фотон или поглощается. Для вычисления энергии фотона используйте модуль разности, а направление перехода учитывайте отдельно.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Определите, излучается или поглощается фотон, и запишите связь между его энергией и энергиями уровней.

1. Уровень n = 3 расположен выше уровня n = 2, то есть начальная энергия атома больше конечной.
2. При переходе вниз атом отдаёт избыток энергии, поэтому испускается фотон.
3. Энергия фотона равна разности энергий: hν = E₃ − E₂. Она положительна, поскольку E₃ > E₂.

Ответ: фотон испускается; hν = E₃ − E₂.

Задача 2. Электрон переходит с уровня с энергией −1,51 эВ на уровень с энергией −3,40 эВ. Найдите энергию испущенного фотона и его частоту.

1. Конечная энергия более отрицательна, значит она ниже начальной и электрон переходит вниз. Фотон испускается.
2. Найдём энергию фотона: ΔE = (−1,51) − (−3,40) = 1,89 эВ. Переведём её в джоули: ΔE = 1,89 × 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж ≈ 3,03 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. Используем формулу ν = ΔE/h, где h ≈ 6,63 × 10⁻³⁴ Дж·с. Получаем ν ≈ 3,03 × 10⁻¹⁹ / 6,63 × 10⁻³⁴ ≈ 4,57 × 10¹⁴ Гц.

Ответ: испускается фотон энергией 1,89 эВ, или примерно 3,03 × 10⁻¹⁹ Дж; его частота около 4,57 × 10¹⁴ Гц.

Задача 3. Определите длину волны фотона при переходе атома водорода с уровня n = 4 на уровень n = 2. Используйте формулу энергии уровней атома водорода.

1. Сначала найдём энергии уровней по формуле Eₙ = −13,6 эВ/n². Для n = 4 получаем E₄ = −0,85 эВ, для n = 2 — E₂ = −3,40 эВ. Переход направлен вниз, значит атом испускает фотон.
2. Энергия фотона равна E₄ − E₂ = 2,55 эВ. В джоулях это 2,55 × 1,602 × 10⁻¹⁹ Дж ≈ 4,09 × 10⁻¹⁹ Дж.
3. Используем λ = hc/ΔE, где c ≈ 3,00 × 10⁸ м/с. Тогда λ ≈ (6,63 × 10⁻³⁴ × 3,00 × 10⁸)/(4,09 × 10⁻¹⁹) ≈ 4,86 × 10⁻⁷ м.

Ответ: длина волны испущенного фотона примерно 4,86 × 10⁻⁷ м, или 486 нм.

Типичные ошибки

Считать, что электрон излучает энергию на любой орбите, как предсказывает классическая электродинамика, — значит смешивать две модели. В модели Бора стационарная орбита не сопровождается излучением, а энергия меняется при переходе. Ошибку допускают, перенося классическое правило на атом без учёта постулата Бора. Проверьте себя: если электрон остаётся на том же уровне, фотон в модели не испускается.

Переход на более высокий уровень нельзя называть испусканием: для него атому нужно получить энергию, поэтому фотон поглощается. Путаница возникает, если ориентироваться на число n, не вспоминая, как меняется энергия. В атоме водорода при увеличении n энергия становится менее отрицательной и возрастает. Проверка проста: сравните энергии уровней, а не только их номера.

Если при вычислении разности энергий получается отрицательная энергия фотона, знак использован неверно. Причина обычно в перестановке начального и конечного уровней или в механическом применении ΔE = Eᵢ − Eբ без учёта направления перехода. Энергия фотона всегда положительна, поэтому используйте hν = |Eᵢ − Eբ|. Затем отдельно установите, было излучение или поглощение.

Квантовое число n нельзя считать непрерывной величиной, например равной 2,5: в модели оно принимает только целые положительные значения. Ошибка возникает из-за привычки подставлять в формулу любые числа. При проверке выпишите допустимые значения n: 1, 2, 3 и так далее. Если по условию требуется найти уровень, результат должен соответствовать целому положительному n.

Связь с другими темами

Для понимания модели Бора нужны знания о строении атома и планетарной модели Резерфорда, а также о энергии, частоте и длине волны электромагнитного излучения. Формула hν = ΔE связывает переходы атома с идеей Планка о порциях энергии. Благодаря этому становится понятным спектральный анализ: по линиям излучения можно судить об энергетических уровнях атомов. Постулаты Бора подготавливают изучение спектров, энергетических уровней и более полной квантовой модели атома.

Что запомнить

• Электрон в атоме может находиться только в стационарных состояниях.
• В стационарном состоянии атом не излучает энергию.
• Момент импульса электрона квантуется: mvr = nℏ.
• Излучение и поглощение происходят только при переходах между уровнями.
• Энергия фотона равна разности энергий уровней: hν = |Eᵢ − Eբ|.
• Переход вниз сопровождается излучением, переход вверх — поглощением фотона.
• Линейчатый спектр возникает потому, что атом имеет дискретные энергетические уровни.