§ 7.4. Боровская теория водородоподобиого атома

Определения и обозначения

Водородоподобный атом — атом или ион с одним электроном и ядром, заряд которого равен +Ze. К таким системам относятся атом водорода H, He⁺ и Li²⁺. Обозначение Z показывает заряд ядра в единицах элементарного заряда и позволяет учитывать различие между этими системами.

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором электрон не излучает энергию. Поэтому электрон может находиться на такой орбите длительное время. Это понятие нужно, чтобы отделить разрешённые состояния от переходов между ними.

Квантование орбит — условие Бора mvr = nℏ, где m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус орбиты, а n = 1, 2, 3, … . Значит, момент импульса электрона принимает не любые, а только кратные ℏ значения. Именно это условие отбирает разрешённые орбиты.

Энергетический уровень — одно из дискретных значений энергии электрона в атоме. Уровни обозначают главным квантовым числом n: первому уровню соответствует n = 1, второму — n = 2 и так далее. Чем больше n, тем выше энергия электрона и тем дальше в среднем он находится от ядра.

Как это устроено

В модели Бора электрон движется вокруг ядра по круговой орбите. Ядро и электрон притягиваются кулоновской силой, а она играет роль центростремительной силы: Fк = mv²/r. Поэтому при увеличении скорости или уменьшении радиуса меняется требуемая сила, а движение возможно только при выполнении этого условия.

Классическая механика сама по себе допускает любое значение радиуса: для каждой орбиты можно подобрать скорость, при которой кулоновская сила обеспечивает движение по окружности. Постулат Бора добавляет ограничение mvr = nℏ. Если объединить его с условием движения, получают rₙ = a₀n²/Z, поэтому вместо бесконечного набора произвольных орбит остаются отдельные разрешённые радиусы.

Радиус орбиты связан с энергией электрона суммой кинетической и потенциальной энергий. Для связанного электрона эта сумма отрицательна: нулевой уровень энергии выбирают для свободного электрона, находящегося бесконечно далеко от ядра. Подстановка разрешённого радиуса даёт Eₙ = −13,6Z²/n² эВ: при большем n энергия ближе к нулю, а при большем Z связь электрона с ядром сильнее.

Электрон может перейти с одного стационарного уровня на другой, если изменится его энергия. Разность энергий не исчезает бесследно: при переходе вниз испускается фотон, а при переходе вверх фотон поглощается. Его энергия равна Eф = |Eᵢ − E𝒇| = hν, поэтому частота излучения определяется именно разностью уровней, а не энергией одного уровня.

Для разных пар уровней возможны разные переходы, а значит, разные частоты и длины волн. Поэтому атом излучает не непрерывный набор цветов, а отдельные спектральные линии. Найдя разность энергий, частоту вычисляют по ν = Eф/h, а длину волны — по λ = c/ν = hc/Eф.

Разрешённые орбиты и энергетические уровни водородоподобного атома

Таблицу удобно использовать в два этапа: сначала определить Z и номер уровня, затем выбрать формулу для радиуса или энергии. Для фотона нужны энергии начального и конечного состояний, а затем их модульная разность. Чем больше энергия фотона, тем выше его частота и меньше длина волны.

Разбор задач

1. Радиус второй орбиты He⁺

Условие: однократно ионизованный гелий He⁺ имеет Z = 2, электрон находится на уровне n = 2. Требуется найти радиус орбиты. Используем a₀ = 5,29 · 10⁻¹¹ м.

1. Записываем формулу: rₙ = a₀n²/Z.
2. Подставляем значения: r₂ = 5,29 · 10⁻¹¹ · 2²/2 = 2a₀.
3. Вычисляем: r₂ = 1,058 · 10⁻¹⁰ м.

Ответ: радиус второй орбиты He⁺ равен примерно 1,06 · 10⁻¹⁰ м. Здесь квадрат n увеличивает радиус в четыре раза относительно первой орбиты, а заряд Z = 2 уменьшает его вдвое.

2. Энергия третьего уровня Li²⁺

Условие: у иона Li²⁺ один электрон, поэтому это водородоподобная система с Z = 3. Нужно определить энергию при n = 3. Энергия связанного состояния должна получиться отрицательной.

1. Применяем формулу Eₙ = −13,6Z²/n² эВ.
2. Подставляем данные: E₃ = −13,6 · 3²/3² эВ.
3. Сокращаем одинаковые множители: E₃ = −13,6 эВ.

Ответ: энергия электрона равна −13,6 эВ. Отрицательный знак показывает, что электрон связан с ядром, а не является свободным.

3. Переход He⁺ с третьего уровня на второй

Условие: для He⁺ Z = 2, электрон переходит с nᵢ = 3 на n𝒇 = 2. Нужно найти энергию испущенного фотона и его длину волны. Переход на меньший уровень сопровождается излучением.

1. Находим уровни: E₃ = −13,6 · 4/9 = −6,04 эВ, E₂ = −13,6 · 4/4 = −13,6 эВ.
2. Вычисляем энергию фотона: Eф = |E₃ − E₂| = |−6,04 + 13,6| ≈ 7,56 эВ.
3. Используем λ ≈ 1240/Eф: λ ≈ 1240/7,56 ≈ 164 нм.

Ответ: фотон имеет энергию примерно 7,56 эВ и длину волны около 164 нм. Это ультрафиолетовое излучение, поэтому его нельзя увидеть глазом.

Типичные ошибки

Излучение на стационарной орбите. Ошибка возникает из-за переноса классического представления об ускоряющемся заряде в модель Бора. В ней электрон не излучает на разрешённой орбите, а излучение появляется только при переходе. Проверьте, указаны ли начальный и конечный уровни.

Забытый заряд ядра Z. Формулы водорода нельзя без изменений применять к He⁺ или Li²⁺. Обычно забывают, что радиус содержит деление на Z, а энергия — множитель Z². Перед вычислениями отдельно запишите заряд ядра.

Потерянный квадрат. Неверно писать rₙ = a₀n/Z или Eₙ = −13,6Z/n². Сверка с формулами должна показать: радиус пропорционален n²/Z, а энергия — −Z²/n². Полезно сначала подставить n и Z в скобках и только потом считать.

Неправильный знак энергии фотона. Энергия уровня отрицательна, потому что электрон связан с ядром, но энергия фотона положительна. Для фотона используют модуль разности |Eᵢ − E𝒇|. Если при излучении получился отрицательный результат, знак потерян на последнем шаге.

Связь с другими темами

Для вывода радиусов нужны закон Кулона, движение по окружности и формула центростремительного ускорения. При расчёте фотонов используются энергия, импульс, частота, длина волны и соотношение E = hν. Модель Бора связывает классическую механику с квантовыми представлениями и подготавливает изучение спектров, квантовой механики и энергетических уровней атомов.

Что запомнить

• Водородоподобный атом содержит один электрон и ядро с зарядом +Ze.
• Разрешённые орбиты удовлетворяют условию mvr = nℏ.
• Радиус орбиты равен rₙ = a₀n²/Z.
• Энергия уровня равна Eₙ = −13,6Z²/n² эВ.
• Электрон не излучает энергию, пока находится в стационарном состоянии.
• При переходе между уровнями атом испускает или поглощает фотон.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий начального и конечного уровней.