§ 8.3. Энергия связи нуклонов в ядре

Определения и обозначения

Энергия связи ядра — энергия, необходимая, чтобы разделить ядро на свободные нуклоны, то есть протоны и нейтроны. При образовании ядра такая же энергия выделяется. Это понятие показывает, сколько энергии удерживает частицы вместе и сколько потребуется для разрушения ядра.

Дефект массы — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра. У связанного ядра эта величина положительна. По дефекту массы можно определить энергию, выделившуюся при образовании ядра, а значит, и его энергию связи.

Массовое число обозначают A и считают по числу всех нуклонов в ядре, а зарядовое число обозначают Z и считают по числу протонов. Число нейтронов равно A − Z. Эти обозначения позволяют описать состав ядра и правильно подставить количества частиц в расчёт.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон. Её обозначают как Eсв/A, где Eсв — полная энергия связи, а A — число нуклонов. Эта величина нужна, чтобы сравнивать связанность ядер разного размера.

Как это устроено

Чтобы найти дефект массы, сравнивают массу ядра с суммой масс частиц, из которых оно состоит в свободном состоянии. Масса связанного ядра оказывается меньше этой суммы: при сближении нуклонов возникает связанная система, а её энергия становится ниже. Разность масс не означает, что часть вещества исчезла, — она соответствует изменению энергии системы.

При образовании ядра часть энергии уходит наружу, например в виде излучения или энергии движения других частиц. Согласно связи массы и энергии, уменьшение энергии системы сопровождается уменьшением её массы. Поэтому ядро легче суммы свободных нуклонов. Чтобы разрушить ядро и вернуть нуклоны на большое расстояние друг от друга, нужно сообщить системе энергию, равную энергии связи.

Дефект массы и энергию связи связывает соотношение Эйнштейна Eсв = Δm c². Здесь Eсв — энергия связи, Δm — дефект массы, а c — скорость света в вакууме. Квадрат скорости света служит коэффициентом пересчёта массы в энергию. Если Δm выражена в килограммах, результат будет в джоулях; при использовании атомных единиц массы нужно применять соответствующий перевод в энергетические единицы.

Для ядра с зарядовым числом Z есть Z протонов, а нейтронов — A − Z, поскольку A включает оба вида нуклонов. Поэтому сумму масс свободных частиц получают, умножая массу протона на Z и массу нейтрона на A − Z. Из этой суммы вычитают массу ядра: Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mя. Такой порядок вычитания даёт положительный дефект массы связанного ядра.

Полная энергия связи растёт с числом нуклонов, поэтому напрямую сравнивать по ней маленькие и большие ядра неудобно. Для этого полную энергию делят на A и получают удельную энергию связи. Она показывает средний вклад одного нуклона и позволяет оценить, насколько прочно нуклоны связаны в ядре. Большая удельная энергия означает более прочную связь в среднем, хотя не описывает свойства каждого отдельного нуклона.

Величины, характеризующие энергию связи ядра

Сначала по A и Z определяют состав ядра, затем рассчитывают дефект массы и энергию связи. Следите, чтобы массы и коэффициенты перевода были выражены в согласованных единицах. Для сравнения разных ядер используйте последнюю строку: она учитывает число нуклонов.

Разбор задач

Число протонов и нейтронов

Найти состав ядра дейтерия ²₁H. Верхний индекс задаёт массовое число A = 2, нижний — зарядовое число Z = 1. Требуется определить число протонов и нейтронов, а не массу ядра.

1. Число протонов равно зарядовому числу: Z = 1.
2. Общее число нуклонов равно A, поэтому число нейтронов N = A − Z = 2 − 1 = 1.
3. Проверяем: один протон и один нейтрон вместе дают два нуклона, как и указано массовым числом.

Ответ: в ядре дейтерия один протон и один нейтрон.

Дефект массы ядра

Найти дефект массы ядра дейтерия при mₚ = 1,007276 u, mₙ = 1,008665 u и mя = 2,013553 u. Здесь u — атомная единица массы; для дейтерия A = 2 и Z = 1. Сохраняем единицу u во всех слагаемых, чтобы результат тоже получился в u.

1. Находим число нейтронов: A − Z = 2 − 1 = 1.
2. Подставляем количества протонов и нейтронов: Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mя.
3. Получаем Δm = 1 · 1,007276 + 1 · 1,008665 − 2,013553 = 0,002388 u. Результат положителен, что согласуется с меньшей массой связанного ядра.

Ответ: дефект массы равен 0,002388 u.

Энергия связи и её удельное значение

Определить энергию связи и удельную энергию связи дейтерия, используя найденный выше дефект массы 0,002388 u. В этом примере воспользуемся переводом 1 u ≈ 931,5 МэВ/c², поэтому дефект массы в u можно умножить на 931,5 МэВ. В конце разделим полную энергию связи на A = 2.

1. Переводим дефект массы в энергию: Eсв ≈ 0,002388 · 931,5 МэВ ≈ 2,22 МэВ.
2. Рассчитываем энергию на один нуклон: Eсв/A ≈ 2,22/2 ≈ 1,11 МэВ/нуклон.
3. Проверяем смысл результата: удельная величина меньше полной, поскольку энергия распределена между двумя нуклонами.

Ответ: энергия связи дейтерия приблизительно равна 2,22 МэВ, удельная — 1,11 МэВ/нуклон.

Типичные ошибки

Неверный порядок вычитания. Если вычесть сумму масс нуклонов из массы ядра, получится отрицательный результат. Так ошибаются, потому что переставляют местами уменьшаемое и вычитаемое. Проверка простая: для связанного ядра сумма масс свободных нуклонов больше, значит Δm = сумма масс − масса ядра должна быть положительной.

Число нейтронов принимают за A. Массовое число включает и протоны, и нейтроны, а не только нейтроны. Ошибка возникает, если забыть, что зарядовое число Z уже показывает количество протонов. Вычислите N = A − Z и проверьте, что Z + N = A.

Путают полную и удельную энергию связи. Полная энергия относится ко всему ядру, а удельная — к одному нуклону. Эти величины легко смешать, потому что обе описывают связь частиц и могут выражаться в МэВ. Перед ответом уточните, требуется ли энергия всего ядра или отношение Eсв/A.

Не согласуют единицы. Например, нельзя подставить массу в u в формулу для энергии в джоулях, не выполнив перевод. Обычно это происходит, когда используют численный коэффициент, не проверив, к каким единицам он относится. Запишите единицы рядом с величинами и убедитесь, что единицы массы согласованы с выбранным способом расчёта энергии.

Связь с другими темами

Для расчётов нужны знания о составе ядра, протонах и нейтронах, а также обозначениях A и Z. Формула Eсв = Δm c² применяет изученную связь массы и энергии E = mc² к ядру. Энергия связи помогает сравнивать устойчивость ядер и объяснять выделение энергии при ядерных реакциях. В частности, она важна для понимания деления тяжёлых ядер и синтеза лёгких.

Что запомнить

• Масса связанного ядра меньше суммы масс его свободных нуклонов.
• Дефект массы ядра положителен и равен разности этих масс.
• Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δm c².
• Для ядра с числами A и Z число нейтронов равно A − Z.
• Удельная энергия связи равна полной энергии связи, делённой на число нуклонов.
• Чем больше удельная энергия связи, тем прочнее в среднем связаны нуклоны в ядре.