§ 51. Энергия связи нуклонов в ядре

Определения и обозначения

Энергия связи Eсв — энергия, необходимая для полного разделения ядра на свободные нуклоны, то есть протоны и нейтроны. Она характеризует, насколько прочно нуклоны удерживаются вместе. Чем больше энергия, которую требуется затратить на разделение, тем труднее разрушить ядро.

Дефект массы Δm — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой связанного ядра. Эта величина положительна, потому что масса ядра меньше суммы масс тех же протонов и нейтронов по отдельности. Дефект массы позволяет найти энергию, выделившуюся при образовании ядра.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: Eсв/A, где A — массовое число, то есть общее число протонов и нейтронов. Полная энергия зависит от размера ядра, поэтому для сравнения ядер разного состава и размера удобнее использовать энергию на один нуклон.

Массовый коэффициент эквивалентности связывает массу и энергию формулой E = Δmc², где c — скорость света. Если Δm выражена в атомных единицах массы, удобно пользоваться записью E = Δm · 931,5 МэВ. Это позволяет сразу получить энергию в мегаэлектронвольтах.

Как это устроено

Когда свободные протоны и нейтроны образуют ядро, их притягивает ядерное взаимодействие. Связанное состояние имеет меньшую энергию, чем набор тех же частиц по отдельности, поэтому при объединении системы избыток энергии выделяется. Поскольку энергия и масса связаны соотношением E = mc², масса образовавшегося ядра оказывается меньше суммы масс свободных нуклонов.

Чтобы вычислить эту разность, сначала определяют состав ядра. Зарядовое число Z равно числу протонов, а число нейтронов N находят по формуле N = A − Z, где A — массовое число. Затем складывают массы свободных частиц и вычитают массу ядра: Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя. Такой порядок важен: сравниваются именно массы одинакового набора нуклонов до их объединения и масса связанного ядра.

Дефект массы связан с энергией связи, потому что уменьшение массы при образовании ядра соответствует выделению энергии. Поэтому энергия, которую нужно сообщить, чтобы разорвать связи и разделить ядро, равна Eсв = Δmc². Она положительна: для разделения связанного состояния требуется затратить энергию, а при образовании ядра энергия выделяется. Если массы подставлены в атомных единицах, можно применить пересчёт Eсв = Δm · 931,5 МэВ.

Полная энергия связи у большого ядра может быть выше, чем у малого, просто потому, что в нём больше нуклонов. Для сопоставления прочности связи используют удельную энергию — отношение Eсв к массовому числу A. Деление на число всех нуклонов показывает, сколько энергии в среднем приходится на каждый из них. Чем выше это значение, тем обычно устойчивее ядро по отношению к разделению на свободные нуклоны.

При ядерной реакции энергия может высвобождаться, если продукты оказываются связанными сильнее в расчёте на один нуклон, чем исходные ядра. Так бывает при синтезе лёгких ядер: объединение приводит к образованию более прочно связанного продукта. При делении тяжёлого ядра образуются ядра среднего размера, у которых удельная энергия связи обычно выше. Разность энергий переходит в кинетическую энергию частиц и излучение.

Величины, характеризующие энергию связи ядра

Для расчёта сначала находят дефект массы и по нему определяют полную энергию связи. Чтобы сопоставить ядра с разным массовым числом, энергию делят на A. Проверьте, что масса и энергия выражены в согласованных единицах.

Разбор задач

Дефект массы и энергия связи ядра гелия-4

Пусть заданы массы протона mₚ = 1,0073 а.е.м., нейтрона mₙ = 1,0087 а.е.м. и ядра гелия-4 mя = 4,0015 а.е.м. Нужно найти дефект массы и энергию связи. В ядре гелия-4 два протона и два нейтрона, значит, сначала сравним массу этого набора свободных частиц с массой ядра.

1. Запишем состав: Z = 2, N = 2. Масса свободных нуклонов равна 2mₚ + 2mₙ = 2 · 1,0073 + 2 · 1,0087 = 4,0320 а.е.м.
2. Вычтем массу связанного ядра: Δm = 4,0320 − 4,0015 = 0,0305 а.е.м. Положительный результат согласуется с тем, что масса ядра меньше суммы масс свободных нуклонов.
3. Переведём дефект массы в энергию: Eсв = 0,0305 · 931,5 МэВ ≈ 28,4 МэВ. Здесь использован коэффициент пересчёта для дефекта массы в а.е.м.

Ответ: дефект массы равен 0,0305 а.е.м., энергия связи ядра — примерно 28,4 МэВ. Проверка здравого смысла: энергия получилась положительной, поскольку для разделения ядра нужно затратить энергию.

Сравнение железа-56 и урана-238

Пусть энергии связи ядер равны соответственно 492 МэВ и 1800 МэВ. Требуется выяснить, какое ядро устойчивее по удельной энергии связи. Сравнивать только полные энергии нельзя: у урана намного больше нуклонов, поэтому его полная энергия связи закономерно может быть выше.

1. Для железа-56 массовое число A = 56. Находим Eсв/A = 492/56 ≈ 8,79 МэВ на нуклон.
2. Для урана-238 A = 238. Получаем Eсв/A = 1800/238 ≈ 7,56 МэВ на нуклон.
3. Сравниваем значения: удельная энергия связи железа-56 больше. Следовательно, по этому показателю железо-56 устойчивее урана-238.

Ответ: удельные энергии связи составляют примерно 8,79 МэВ/нуклон для железа-56 и 7,56 МэВ/нуклон для урана-238. При сравнении мы учли размер ядер, разделив полную энергию на число нуклонов.

Синтез дейтерия и трития

В реакции дейтерия с тритием образуются ядро гелия-4 и нейтрон. Пусть массы частиц заданы так: mD = 2,0141 а.е.м., mT = 3,0160 а.е.м., mHe = 4,0026 а.е.м., mn = 1,0087 а.е.м. Нужно определить выделившуюся энергию. Она связана с уменьшением суммарной массы при переходе от исходных частиц к продуктам реакции.

1. Запишем реакцию: D + T → He-4 + n. Сложим массы исходных частиц: mдо = 2,0141 + 3,0160 = 5,0301 а.е.м.
2. Найдём суммарную массу продуктов: mпосле = 4,0026 + 1,0087 = 5,0113 а.е.м. Дефект массы реакции равен Δm = mдо − mпосле = 0,0188 а.е.м.
3. Переведём его в энергию: E = 0,0188 · 931,5 МэВ ≈ 17,5 МэВ. Положительное значение означает, что продукты имеют меньшую массу и энергия высвобождается.

Ответ: в реакции выделяется примерно 17,5 МэВ энергии. В отличие от расчёта для одного ядра здесь сравнивают суммарные массы всех исходных частиц и всех продуктов.

Типичные ошибки

Дефект массы иногда принимают за массу, потерянную ядром при распаде. Но это не масса отдельной частицы: так называют разность между суммой масс свободных нуклонов и массой связанного ядра. Чтобы проверить расчёт, выпишите обе сравниваемые массы и убедитесь, что речь идёт об одном и том же составе протонов и нейтронов.

При расчёте удельной энергии некоторые делят на число протонов, потому что оно непосредственно задаёт заряд ядра. Однако удельная энергия приходится на каждый нуклон, поэтому делить нужно на массовое число A = Z + N. Самопроверка проста: в знаменателе должно стоять общее число протонов и нейтронов.

Большую полную энергию связи не всегда верно считать доказательством большей устойчивости. Крупное ядро может иметь большую энергию лишь из-за большего числа нуклонов, поэтому сравнивают Eсв/A. Если в условии даны ядра разного размера, рассчитайте удельные значения до вывода об устойчивости.

Ещё одна ошибка — записать дефект массы как mя минус сумму масс нуклонов. Тогда получается отрицательная энергия связи, хотя на разделение ядра требуется затратить энергию. Проверьте знак: Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя должно быть положительно для связанного ядра.

Связь с другими темами

Для изучения энергии связи понадобятся знания о составе ядра, массовом числе, зарядовом числе, массах протона и нейтрона. Также нужно понимать формулу Эйнштейна E = mc², связывающую массу с энергией. Эти понятия позволяют вычислять дефект массы и переводить его в энергию.

Энергия связи помогает объяснить устойчивость ядер и радиоактивность, а также понять, почему ядерные реакции могут сопровождаться выделением энергии. Те же закономерности лежат в основе объяснения деления тяжёлых ядер и термоядерного синтеза лёгких.

Что запомнить

• Энергия связи — энергия полного разделения ядра на свободные нуклоны.
• Масса связанного ядра меньше суммы масс составляющих его свободных нуклонов.
• Дефект массы определяется формулой Δm = Zmₚ + Nmₙ − mя.
• Энергия связи равна Eсв = Δmc².
• Удельная энергия связи равна энергии связи, делённой на число нуклонов A.
• Чем больше удельная энергия связи, тем устойчивее ядро.
• Выделение энергии при ядерной реакции связано с увеличением удельной энергии связи продуктов.