§82. Энергия связи нуклонов в ядре

Определения и обозначения

Энергия связи ядра — энергия, необходимая, чтобы разделить ядро на свободные протоны и нейтроны. При образовании ядра энергия той же величины выделяется, поэтому речь идёт об одном энергетическом изменении, рассмотренном в противоположных направлениях. Эта величина показывает, насколько прочно нуклоны удерживаются вместе.

Дефект массы — разность между суммой масс свободных нуклонов и массой образовавшегося ядра. Нуклонами называют протоны и нейтроны, из которых состоит ядро. Дефект массы нужен, чтобы связать измеряемые массы частиц с энергией, которая выделилась при образовании ядра.

Энергия связи и дефект массы связаны формулой Eсв = Δm c², где Eсв — энергия связи, Δm — дефект массы, c — скорость света в вакууме. Если массу подставляют в килограммах, энергию получают в джоулях. Для расчётов в ядерной физике часто используют атомные единицы массы и мегаэлектронвольты: 1 u c² ≈ 931,5 МэВ.

Удельная энергия связи — энергия связи, приходящаяся на один нуклон: Eсв/A, где A — массовое число, то есть общее число протонов и нейтронов в ядре. Её измеряют, например, в МэВ/нуклон. Эта величина позволяет сопоставлять ядра разного размера не только по полной энергии связи, но и по прочности связи в расчёте на один нуклон.

Как это устроено

Масса ядра меньше суммы масс составляющих его свободных протонов и нейтронов, потому что связанное состояние обладает меньшей энергией. При образовании ядра часть энергии системы выделяется, а согласно соотношению E = mc² уменьшение энергии сопровождается уменьшением массы. Недостающая масса не исчезает: она соответствует энергии связи ядра.

Чтобы вычислить дефект массы, сначала считают число частиц каждого вида. Если в ядре Z протонов и A − Z нейтронов, то масса свободного набора равна Zmₚ + (A − Z)mₙ. Затем из этой суммы вычитают массу самого ядра: Δm = Zmₚ + (A − Z)mₙ − mя. Такой порядок даёт положительный дефект массы для связанного ядра.

Энергию связи находят, умножая дефект массы на квадрат скорости света: Eсв = Δm c². При использовании килограммов и значения c в м/с результат получается в джоулях. Если Δm дана в атомных единицах массы, удобнее умножить её на 931,5 и сразу получить энергию в МэВ; важно, что это коэффициент для произведения массы на c².

Полная энергия связи обычно растёт с числом нуклонов, поэтому сравнивать по ней ядра разных размеров не вполне удобно. Деление Eсв на массовое число A показывает среднюю энергию связи одного нуклона и позволяет оценить, насколько крепко он связан в ядре. Чем больше удельная энергия связи, тем в среднем больше энергии нужно, чтобы отделить нуклон.

У лёгких ядер удельная энергия связи быстро увеличивается при объединении нуклонов, а у тяжёлых ядер она ниже, чем в области железа. Поэтому при слиянии лёгких ядер или при разделении тяжёлого ядра на более устойчивые фрагменты удельная энергия связи продуктов может возрасти. Продукты тогда имеют меньшую суммарную массу, а разность масс превращается в выделившуюся энергию.

Энергия связи и удельная энергия связи ядер

Полная энергия связи увеличивается с размером ядра, поэтому для сравнения устойчивости разных ядер смотрите прежде всего на последний столбец. Например, у железа-56 удельная энергия связи больше, чем у урана-235. Значения округлены; дефект массы и энергия связи в таблице связаны пересчётом 1 u c² ≈ 931,5 МэВ.

Разбор задач

Задача 1. В ядре 2 протона и 2 нейтрона; масса свободного протона равна 1,0073 u, нейтрона — 1,0087 u, а масса ядра — 4,0015 u. Найдём дефект массы. Сначала важно определить суммарную массу именно свободных нуклонов, а затем сравнить её с массой связанного ядра.

1. Записываем число частиц: Z = 2, A − Z = 2.
2. Складываем массы свободных нуклонов: 2 · 1,0073 + 2 · 1,0087 = 4,0320 u.
3. Вычитаем массу ядра: Δm = 4,0320 − 4,0015 = 0,0305 u.

Ответ: дефект массы равен 0,0305 u. Положительный результат согласуется с тем, что масса связанного ядра меньше массы свободных частиц. Значение близко к табличному для гелия-4, а небольшое расхождение возможно из-за округления исходных масс.

Задача 2. Дефект массы ядра равен 0,0500 u, а массовое число A = 10. Найдём энергию связи и энергию на один нуклон. Поскольку дефект дан в атомных единицах массы, используем коэффициент 931,5 МэВ/u, а не подставляем число прямо в формулу с c².

1. Переводим дефект массы в энергию: Eсв = 0,0500 · 931,5 ≈ 46,6 МэВ.
2. Делим полную энергию связи на число нуклонов: Eсв/A = 46,6/10 ≈ 4,66 МэВ/нуклон.

Ответ: энергия связи примерно 46,6 МэВ, удельная энергия связи — около 4,66 МэВ/нуклон. Первая величина относится ко всему ядру, вторая — к одному нуклону в среднем. Единицы показывают, что энергию связи не следует путать с массой.

Задача 3. При реакции суммарная масса исходных частиц равна 10,000 u, а масса продуктов — 9,990 u. Определим энергию реакции по изменению массы. Учитывать нужно все исходные частицы и все продукты, иначе часть массы и соответствующей энергии останется за пределами расчёта.

1. Находим уменьшение массы: Δm = 10,000 − 9,990 = 0,010 u.
2. Переводим его в энергию: E = 0,010 · 931,5 = 9,315 МэВ.
3. Проверяем знак: конечная масса меньше исходной, значит разность положительна и энергия выделяется.

Ответ: при реакции выделяется около 9,3 МэВ. Если бы масса продуктов оказалась больше исходной, получилась бы отрицательная энергия выделения: такую разность пришлось бы сообщить системе извне. Это проверка помогает не перепутать знак изменения массы.

Типичные ошибки

Иногда энергию связи считают энергией, которую нужно затратить на образование ядра. Это происходит из-за смешения прямого процесса с обратным: образование ядра сопровождается выделением энергии, а разделение требует её подвода. Проверка проста: у двух процессов одинаковая величина энергии, но противоположное направление передачи.

Дефект массы могут вычислить как массу ядра минус сумму масс свободных нуклонов. Так ошибаются, механически меняя порядок вычитания или не представляя, какая масса должна быть больше. Записывайте сначала сумму масс свободных частиц, а затем вычитайте массу ядра; для связанного ядра результат должен быть положительным.

Сравнивать полные энергии связи ядер разного размера недостаточно: у крупного ядра она может быть больше просто из-за большего числа нуклонов. Поэтому для сравнения прочности связи используют Eсв/A. Проверьте, что сравниваете одинаковые величины и указываете единицы МэВ/нуклон.

Подстановка массы в u в формулу E = Δm c² без перевода приводит к несогласованным единицам. Причина в том, что c² переводит килограммы в джоули только при использовании массы в килограммах. Перед расчётом либо переведите u в килограммы, либо используйте коэффициент 931,5 МэВ/u; затем проверьте, что итоговая единица соответствует выбранному способу.

Связь с другими темами

Для расчётов нужно знать состав ядра: зарядовое число Z задаёт число протонов, а массовое число A — общее число нуклонов; число нейтронов равно A − Z. Закон сохранения энергии помогает понять, куда переходит энергия при образовании ядра и реакции. Соотношение Эйнштейна E = mc² связывает изменение массы с энергией, а перевод u в МэВ позволяет выполнять расчёты в удобных ядерных единицах. Эти знания применяются при изучении ядерных реакций, деления тяжёлых ядер и термоядерного синтеза.

Что запомнить

• Масса связанного ядра меньше суммарной массы составляющих его свободных нуклонов.
• Дефект массы ядра равен разности между суммой масс свободных нуклонов и массой ядра.
• Энергия связи связана с дефектом массы формулой Eсв = Δm c².
• Удельная энергия связи — это энергия связи, приходящаяся на один нуклон.
• Удельная энергия связи особенно важна для сравнения устойчивости ядер разного размера.
• При ядерной реакции энергия выделяется, если масса продуктов меньше массы исходных частиц.