"Физика (базовый и профильный уровни)", Тихомирова С.А., Яворский Б.М.
Магнитное поле проводника с током способно запасать энергию — подобно тому, как конденсатор запасает энергию электрического поля. Для катушки эта энергия определяется её индуктивностью и силой тока: Wм = LI²/2. Формула показывает, почему даже небольшое увеличение тока может заметно увеличить запас энергии. Знание этой зависимости помогает объяснять самоиндукцию, работу электромагнитов и поведение цепей при включении и выключении тока.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Энергия магнитного поля — энергия, запасённая магнитным полем проводника с током; её обозначают Wм и измеряют в джоулях (Дж). Это не энергия движения заряженных частиц сама по себе, а запас, связанный с созданным током полем. Понятие позволяет учитывать, куда передаётся работа источника при изменении тока.
Индуктивность — физическая величина, характеризующая способность проводника или катушки запасать энергию магнитного поля; обозначается L и измеряется в генри (Гн). Чем больше L, тем больше энергия при одном и том же токе. Индуктивность зависит от устройства катушки и свойств среды внутри неё.
Поток магнитной индукции — величина, связывающая магнитное поле с площадью контура. Для катушки поток связан с её индуктивностью и изменением магнитного поля, а его изменение вызывает ЭДС самоиндукции. Поэтому поток помогает описывать как связь тока с полем, так и противодействие катушки изменениям тока.
Плотность энергии магнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля; обозначается wм и измеряется в Дж/м³. Она показывает, насколько много энергии сосредоточено в выбранной области пространства. Если плотность одинакова по всему объёму, полную энергию находят умножением wм на объём.
Когда ток в катушке увеличивается, растёт и создаваемое им магнитное поле. Изменение поля вызывает ЭДС самоиндукции, направленную против увеличения тока, поэтому источник должен совершать дополнительную работу. Эта работа не исчезает: она запасается в магнитном поле катушки. Если ток постоянен, поле и запасённая энергия также остаются постоянными, пока не меняются условия.
Чтобы связать запас энергии с током, используют индуктивность. Для катушки магнитный поток пропорционален току, а ЭДС самоиндукции возникает при изменении этого потока. По мере нарастания тока источник преодолевает всё более сильное противодействие катушки. Суммарная работа такого источника приводит к формуле Wм = LI²/2: энергия растёт с индуктивностью и квадратом силы тока.
Квадрат тока появляется потому, что при его увеличении одновременно растут и ток, который переносит заряд, и магнитное поле, противодействующее изменению. Поэтому зависимость энергии от тока не линейная. Например, если ток увеличить в два раза, при неизменной индуктивности энергия станет в четыре раза больше; увеличение тока в пять раз даст рост энергии в двадцать пять раз. Это важно учитывать при расчёте мощных катушек и электромагнитов.
Для длинной катушки с однородным полем можно сравнить формулу Wм = LI²/2 с объёмом области, где сосредоточено поле. Энергия, приходящаяся на единицу объёма, называется плотностью энергии. Для линейной среды она выражается формулой wм = BH/2, где B — магнитная индукция, а H — напряжённость магнитного поля. В вакууме B = μ₀H, поэтому получается wм = B²/(2μ₀).
Если ток уменьшается, магнитное поле слабеет, а запасённая в нём энергия передаётся обратно электрической цепи. Изменяющийся поток порождает ЭДС самоиндукции, которая стремится сохранить прежнее направление тока. При медленном выключении энергия может рассеяться в сопротивлении цепи. При резком размыкании ток пытается продолжаться, и на контактах может возникнуть высокое напряжение или искра.
| Величина | Обозначение и формула | Единица СИ | От чего зависит |
|---|---|---|---|
| Энергия магнитного поля катушки | Wм = LI²/2 | Дж | От индуктивности L и квадрата тока I² |
| Индуктивность катушки | L = 2Wм/I² | Гн | От устройства катушки, её размеров, числа витков и среды |
| Плотность энергии магнитного поля | wм = BH/2 | Дж/м³ | От магнитной индукции B и напряжённости H |
| Энергия поля через магнитную индукцию | Wм = wмV = B²V/(2μ₀), в вакууме | Дж | От B и объёма V в вакууме |
| Энергия длинной катушки через параметры катушки | Wм = LI²/2; L ≈ μ₀n²V | Дж | От L, I, числа витков на единицу длины n и объёма V |
Выбирайте строку по тем величинам, которые даны в условии. Если известны L и I, используйте формулу энергии катушки; если заданы B и объём поля в вакууме, удобнее сначала найти плотность энергии. Следите за единицами СИ и не смешивайте полную энергию с плотностью: Дж и Дж/м³ — разные величины.
Катушка индуктивностью 0,20 Гн подключена к источнику, и по ней течёт ток 3,0 А. Найдём энергию её магнитного поля. Даны L = 0,20 Гн и I = 3,0 А; требуется Wм. Поскольку известны индуктивность и ток, подходит формула энергии катушки.
Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 0,90 Дж. Проверка размерности подтверждает, что получена энергия, а не мощность. При неизменном токе катушка с большей индуктивностью запасла бы больше энергии.
Энергия магнитного поля катушки равна 4,0 Дж при токе 2,0 А. Определим индуктивность, а затем энергию при токе 5,0 А. Во всех вычислениях считаем, что речь идёт о той же катушке и её индуктивность не меняется. Сначала найдём L из формулы Wм = LI²/2.
Ответ: индуктивность катушки равна 2,0 Гн, энергия при токе 5,0 А — 25 Дж. При переходе от одного тока к другому не нужно заново определять индуктивность. Квадрат отношения токов служит быстрой проверкой результата.
В длинном соленоиде объёмом 1,5·10⁻³ м³ создано однородное магнитное поле с индукцией 0,80 Тл. Найдём плотность энергии и полную энергию поля в вакууме. Используем μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м ≈ 1,26·10⁻⁶ Гн/м. Сначала рассчитаем энергию единицы объёма, затем учтём весь объём соленоида.
Ответ: плотность энергии приблизительно равна 2,5·10⁵ Дж/м³, полная энергия — 3,8·10² Дж, или около 380 Дж. Округление связано с приближённым значением магнитной постоянной. Расчёт предполагает, что поле однородно и область поля заполнена вакуумом.
В формуле энергии иногда записывают Wм = LI², забывая деление на два. Обычно так происходит, когда формулу связывают только с произведением индуктивности и квадрата тока, не учитывая постепенное нарастание тока. Проверяйте результат по выводу или по таблице: правильная формула содержит множитель 1/2.
Энергию магнитного поля могут путать с мощностью. Энергия показывает, сколько работы накоплено или передано, и измеряется в джоулях; мощность показывает скорость передачи энергии и измеряется в ваттах. Перед вычислением определите, что именно спрашивают, и проверьте единицу в ответе.
Подстановка тока в миллиамперах или индуктивности в миллигенри без перевода в СИ приводит к ошибке в масштабе. В формулу нужно подставлять амперы и генри: например, 20 мА = 0,020 А, а 5 мГн = 0,005 Гн. Перед расчётом перепишите все данные в единицах СИ и проверьте степени десяти.
Формулу wм = B²/(2μ₀) применяют для вакуума, а не автоматически для любой среды. В веществе магнитные свойства материала меняют связь B и H, поэтому нужно учитывать магнитную проницаемость среды и пользоваться подходящей формулой, например wм = BH/2 для линейной среды. Проверьте, где создано поле, и не подменяйте μ среды магнитной постоянной μ₀ без основания.
Для понимания темы нужны знания о работе и мощности электрического тока, законе электромагнитной индукции, ЭДС самоиндукции и индуктивности. Энергия магнитного поля катушки дополняет знакомую модель энергии электрического поля конденсатора. Вместе эти представления помогают объяснить обмен энергией в колебательном контуре. Они также применяются при изучении трансформаторов, электромагнитов, дросселей и переходных процессов в цепях.
Почему энергия магнитного поля зависит от квадрата тока?
При увеличении тока растёт и магнитный поток, а значит, для дальнейшего увеличения тока требуется всё большая работа против ЭДС самоиндукции. В результате энергия оказывается пропорциональна I²: если ток увеличить в три раза, энергия возрастёт в девять раз при неизменной индуктивности.
Куда девается энергия магнитного поля при выключении тока?
При уменьшении тока магнитное поле ослабевает, и возникающая ЭДС самоиндукции стремится поддержать ток. Запасённая энергия передаётся внешней цепи, где может превратиться в тепло, свет или другие виды энергии. Если цепь разомкнуть резко, напряжение иногда становится очень большим.
Чем энергия магнитного поля отличается от энергии электрического поля?
Это энергия, запасённая в разных полях: магнитном, создаваемом током, и электрическом, например между обкладками заряженного конденсатора. Для катушки Wм = LI²/2, а энергия конденсатора равна Wэ = CU²/2. Обе величины измеряются в джоулях.
Почему в формуле энергии появляется коэффициент 1/2?
Ток в катушке нарастает постепенно, поэтому ЭДС самоиндукции меняется вместе с ним. Работа источника определяется не максимальным противодействием на всём пути, а его средним значением при росте тока. Это и даёт множитель 1/2 в выражении для энергии.
Как найти энергию магнитного поля, если известны индукция и объём области поля?
Сначала вычислите плотность энергии: в вакууме wм = B²/(2μ₀), где μ₀ — магнитная постоянная. Затем умножьте её на объём области: Wм = wмV. Если поле неоднородное, плотность энергии может различаться в разных местах, и простой расчёт по одному значению B неприменим.
§ 12. Энергия магнитного поля
