§27. Энергия магнитного поля

Определения и обозначения

Энергия магнитного поля — энергия, запасённая в поле, которое создаёт электрический ток. Для катушки она выражается формулой W = LI²/2, поэтому зависит от индуктивности L и силы тока I. Эта величина помогает описать, сколько работы может совершить поле, например при уменьшении тока в цепи.

Индуктивность — характеристика катушки, связывающая магнитное потокосцепление с током; обозначается L. В системе СИ её измеряют в генри (Гн). Индуктивность показывает, насколько сильно катушка связана со своим магнитным полем и насколько заметна ЭДС самоиндукции при изменении тока.

Плотность энергии магнитного поля — энергия, приходящаяся на единицу объёма поля; её обозначают w. В СИ плотность измеряют в джоулях на кубический метр (Дж/м³). Она нужна, чтобы описывать распределение энергии в пространстве и находить энергию поля в заданном объёме.

Как это устроено

Когда ток в катушке увеличивается, вместе с ним усиливается магнитное поле и меняется магнитный поток. Из-за изменения потока возникает ЭДС самоиндукции, направленная так, чтобы препятствовать изменению тока. Поэтому источник должен совершать работу против этой ЭДС, а не просто поддерживать ток без дополнительных затрат. Совершённая работа переходит в энергию магнитного поля.

Рассмотрим малое увеличение тока на величину ΔI при постоянной индуктивности L. ЭДС самоиндукции по модулю связана со скоростью изменения тока, а при таком небольшом изменении работу источника можно записать как ΔA = LIΔI. В этой формуле I — ток в рассматриваемый момент, поэтому при росте тока работа на каждом следующем участке становится больше. Чтобы найти работу при росте тока от нуля до I, складывают вклады всех малых изменений: среднее значение тока на этом пути равно I/2. В результате W = LI²/2.

Энергия не «прячется» в проводах катушки: она запасается в созданном ими магнитном поле. Провода задают форму поля и проводят ток, но именно поле сохраняет энергию, полученную от источника. Если ток начинает уменьшаться, меняется магнитный поток и возникает ЭДС самоиндукции, поддерживающая ток. Поле при этом ослабевает и отдаёт запасённую энергию цепи.

Энергию поля можно описывать не только через параметры катушки, но и через магнитную индукцию. Для однородного поля в вакууме плотность энергии равна w = B²/(2μ₀), где B — магнитная индукция, а μ₀ — магнитная постоянная. Если во всём рассматриваемом объёме плотность одинакова, полная энергия равна W = wV, где V — объём. Следовательно, без значения объёма плотность не позволяет получить полную энергию поля.

Формула W = LI²/2 показывает, что при неизменной индуктивности энергия пропорциональна квадрату тока и самой индуктивности. Поэтому удвоение тока увеличивает энергию в четыре раза, а удвоение L при том же токе — в два раза. Плотность энергии также зависит от квадрата соответствующей характеристики поля — магнитной индукции B. Увеличение B вдвое означает увеличение w в четыре раза.

Энергия магнитного поля и связанные с ней величины

Сначала определите, какую величину требуется найти: энергию всего поля или энергию, приходящуюся на единицу объёма. Для катушки используйте параметры L и I, а для однородного поля — B и, если нужна полная энергия, ещё и объём V. Обратите внимание на единицы: они должны соответствовать СИ.

Разбор задач

Энергия катушки по индуктивности и току

Катушка индуктивностью 0,4 Гн подключена к источнику; ток достиг 2 А. Найдём энергию её магнитного поля. Даны L = 0,4 Гн и I = 2 А, требуется W. Поскольку все значения уже выражены в единицах СИ, переводить их не нужно.

1. Запишем формулу энергии катушки: W = LI²/2.
2. Подставим значения: W = 0,4 · 2²/2 = 0,4 · 4/2 = 0,8 Дж.
3. Проверим размерность: Гн · А² равны джоулю, поэтому единица результата верна.

Ответ: энергия магнитного поля катушки равна 0,8 Дж. Квадрат тока нужно вычислить до умножения на индуктивность: так меньше риск потерять множитель при подстановке.

Ток по энергии и индуктивности

Энергия поля катушки равна 0,9 Дж, индуктивность — 0,2 Гн. Требуется определить силу тока. Здесь известны W и L, поэтому преобразуем формулу энергии относительно I. Значение тока физически берём неотрицательным.

1. Начнём с W = LI²/2 и выразим квадрат тока: I² = 2W/L.
2. Подставим данные: I² = 2 · 0,9/0,2 = 9 А².
3. Извлечём квадратный корень: I = √9 = 3 А.

Ответ: сила тока равна 3 А. При извлечении корня математически возможны два знака, но модуль силы тока указывают положительным; направление тока эта задача не определяет.

Энергия однородного поля

В однородном магнитном поле с индукцией 0,8 Тл находится объём 0,03 м³. Найдём сначала плотность энергии, а затем энергию в данном объёме. Для вакуума используем μ₀ = 4π · 10⁻⁷ Гн/м ≈ 1,26 · 10⁻⁶ Гн/м. Подстановка приближённого значения позволяет получить численный результат.

1. Вычислим плотность: w = B²/(2μ₀) = 0,8²/(2 · 1,26 · 10⁻⁶) ≈ 2,54 · 10⁵ Дж/м³.
2. Умножим плотность на объём: W = wV ≈ 2,54 · 10⁵ · 0,03 ≈ 7,62 · 10³ Дж.
3. Проверим смысл результата: полная энергия получилась больше плотности, умноженной на один кубический метр здесь не обязана быть; она определяется фактическим объёмом поля.

Ответ: плотность энергии примерно равна 2,54 · 10⁵ Дж/м³, энергия поля в указанном объёме — примерно 7,62 · 10³ Дж. Округление связано с приближённым значением магнитной постоянной.

Типичные ошибки

Забывают коэффициент 1/2 и записывают W = LI². Такое происходит, если подставить конечный ток сразу, не учитывая, что при создании поля ток возрастает от нуля. Работа складывается из вкладов при разных значениях тока, поэтому среднее значение на пути роста равно половине конечного. Проверка: при выводе или подстановке используйте именно W = LI²/2.

Считают энергию пропорциональной току. Иногда зависимость принимают за линейную, потому что ток стоит в формуле рядом с индуктивностью. Но ток возведён в квадрат, поэтому при постоянной L удвоение тока увеличивает энергию в четыре раза. Проверить себя можно, сравнив W при I и 2I по формуле.

Путают энергию и плотность энергии. Обозначения W и w похожи, но первая величина относится ко всему полю, а вторая — к единице объёма. Поэтому у них разные единицы: Дж и Дж/м³. Проверка проста: если требуется энергия в заданном объёме, умножьте плотность на объём.

Подставляют не те величины или забывают объём. В формуле энергии катушки нужны индуктивность и ток, а магнитная индукция входит в формулу плотности энергии. Для полной энергии однородного поля после нахождения w нужно применить W = wV. Перед вычислением выпишите искомую величину и проверьте, что формула содержит подходящие данные.

Связь с другими темами

Чтобы разбираться в энергии магнитного поля, нужно знать работу электрического тока, ЭДС самоиндукции, магнитный поток и индуктивность катушки. Эти понятия объясняют, почему источник тратит энергию при нарастании тока и куда она переходит. Особенно полезно понимать направление ЭДС самоиндукции: она препятствует изменению тока.

Тема связана с законом электромагнитной индукции и законом сохранения энергии: энергия поля не возникает из ничего, а передаётся от источника и может вернуться в цепь. Эти представления пригодятся при изучении колебательного контура, где энергия переходит между электрическим и магнитным полями, и электромагнитных волн.

Что запомнить

• Энергия магнитного поля катушки равна W = LI²/2.
• Индуктивность измеряется в генри.
• При постоянной индуктивности энергия пропорциональна квадрату силы тока.
• Поле катушки запасает энергию при увеличении тока и отдаёт её при уменьшении.
• Плотность энергии магнитного поля в вакууме равна w = B²/(2μ₀).
• Для однородного поля полная энергия равна произведению плотности энергии на объём: W = wV.