§ 62. Квантовые постулаты Бора

Определения и обозначения

Стационарное состояние — состояние атома с определённой энергией, в котором атом не излучает энергию. Это не означает, что электрон неподвижен: речь идёт о допустимом состоянии атома, а не о прекращении движения. Понятие нужно, чтобы описать устойчивость атома, которую классическая модель объяснить не могла.

Энергетический уровень — возможное значение энергии атома в стационарном состоянии; энергию уровня обозначают Eₙ. Индекс указывает, к какому состоянию относится энергия. Уровни помогают сравнивать состояния атома и определять, сколько энергии получает или отдаёт он при переходе.

Квантовое число n — целое положительное число, нумерующее стационарные состояния атома. Оно принимает значения 1, 2, 3 и далее, а не любые произвольные числа. Номер состояния позволяет обозначить уровень и применить правило квантования момента импульса.

Квантовый переход — переход атома между стационарными состояниями, сопровождающийся поглощением или испусканием фотона. Фотон — квант электромагнитного излучения, то есть порция энергии света. Понятие перехода связывает изменение энергии атома с конкретной порцией излучения.

Как это устроено

В классической модели электрон движется вокруг положительно заряженного ядра и потому, как любая ускоренно движущаяся заряженная частица, должен излучать электромагнитные волны. Излучая, он терял бы энергию и постепенно приближался к ядру, так что атом не мог бы оставаться устойчивым. Кроме того, непрерывное изменение энергии привело бы к излучению широкого набора частот. Наблюдаемые атомные спектры, напротив, состоят из отдельных линий, поэтому классического описания недостаточно.

Первый постулат Бора утверждает, что атом может находиться только в определённых стационарных состояниях. Каждому из них соответствует конкретная энергия, а пока атом остаётся в таком состоянии, он не излучает. Благодаря этому в модели не происходит непрерывной потери энергии и атом может быть устойчивым. Состояния, в которых электрон мог бы иметь произвольную энергию, модель не допускает.

Для электрона на разрешённой орбите орбитальный момент импульса, то есть величина, связанная с вращательным движением, подчиняется условию Lₙ = nℏ. Здесь ℏ = h/(2π), а n — целое положительное число. Следовательно, допустимы не любые орбиты и значения момента импульса, а лишь соответствующие этому условию. Именно это ограничение называют квантованием орбитального момента импульса.

Если атом переходит между двумя стационарными состояниями, его энергия меняется не постепенно, а скачком. Разность энергии атом отдаёт или получает в виде фотона, поэтому выполняется соотношение hν = |Eₘ − Eₙ|. При уменьшении энергии атом испускает фотон, а при увеличении — поглощает его. Частота ν определяет энергию фотона, поскольку энергия света связана с частотой формулой E = hν.

Так объясняется линейчатый спектр: поскольку атом может иметь только определённые энергии, разности между ними тоже не произвольны. Значит, возможны лишь соответствующие этим разностям частоты фотонов. Каждая разрешённая пара уровней даёт свою линию в спектре излучения или поглощения. Набор линий служит характерным признаком атома и отражает его энергетические уровни.

Квантовые постулаты Бора и их следствия

В таблице удобно прослеживать цепочку от правила модели к его физическому следствию. При разборе задачи сначала определите, какие состояния сравниваются, а затем выберите соответствующее правило. Если требуется найти энергию или частоту фотона, используйте последнюю строку.

Разбор задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода переходит с уровня n = 3 на уровень n = 2. Определите, излучается или поглощается фотон. Численные значения энергий уровней не нужны: достаточно выяснить, в каком направлении изменяется энергия атома. Для этого сравним начальное и конечное состояния.

1. Начальный уровень имеет номер 3, а конечный — номер 2. Электрон переходит на уровень с меньшим номером.
2. В атоме водорода уровень с меньшим n имеет меньшую энергию. Следовательно, после перехода энергия атома уменьшается.
3. Уменьшение энергии атома означает, что разность энергий уносится фотоном. Поэтому атом испускает фотон.

Ответ: фотон испускается.

Задача 2. При переходе атома между двумя уровнями испущен фотон частотой ν. Найдите разность энергий уровней. Поскольку фотон испущен, энергия атома уменьшилась, но в вопросе требуется величина разности, поэтому знак перехода не нужен. Для фотона используем связь энергии с частотой.

1. Запишем условие для энергии фотона: Eф = hν, где h — постоянная Планка.
2. При переходе энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: Eф = |Eₘ − Eₙ|.
3. Приравняем выражения и получим |Eₘ − Eₙ| = hν. Подставьте заданную частоту и значение h, если требуется численный результат.

Ответ: разность энергий по модулю равна hν.

Задача 3. Для электрона на круговой орбите известны масса m, скорость v и радиус r. Проверьте, удовлетворяет ли орбита условию Бора, и определите квантовое число. Сначала вычисляют момент импульса электрона, а затем проверяют, можно ли представить его как целое кратное ℏ. Только положительное целое значение позволяет считать орбиту допустимой в модели.

1. Для круговой орбиты вычислите момент импульса: L = mvr. Подставьте массу, скорость и радиус в согласованных единицах.
2. Найдите отношение L/ℏ. Если оно равно целому положительному числу n, условие Бора выполняется.
3. Если отношение не является целым положительным числом, заданная орбита условию квантования не удовлетворяет. При выполнении условия квантовое число равно n = L/ℏ.

Ответ: орбита допустима, если L/ℏ — целое положительное число; тогда n = L/ℏ.

Типичные ошибки

• Считать, что электрон излучает энергию на любой орбите. Так рассуждают, перенося на атом классическую картину движения заряда; однако в модели Бора излучение происходит только при переходе между стационарными состояниями. Проверьте себя: если состояние не меняется, фотон не испускается.

• Принимать n за любое положительное число, в том числе дробное. Ошибка возникает, если забыть, что квантовое число нумерует дискретные состояния, а не измеряет произвольную величину. Убедитесь, что n — целое число больше нуля.

• Записывать условие как Lₙ = nh вместо Lₙ = nℏ. Эти выражения различаются в 2π раза, потому что ℏ = h/(2π). Перед вычислением раскройте обозначение ℏ и проверьте, что формула содержит именно постоянную Планка, делённую на 2π.

• Путать направление перехода и характер обмена энергией. Атом не поглощает фотон при переходе вниз по уровням: при меньшей конечной энергии он отдаёт энергию, а при большей получает её. Сравните энергии начального и конечного состояний, прежде чем выбирать между излучением и поглощением.

Связь с другими темами

Для понимания постулатов Бора нужны знания о строении атома, движении заряженной частицы, энергии и моменте импульса. Связь E = hν помогает перейти от частоты фотона к его энергии и обратно. Постулаты используют при изучении спектров атомов и модели атома водорода. Они также важны для понимания того, почему классическая физика не описывает микромир полностью и возникает необходимость в квантовой механике.

Что запомнить

• Атом может находиться только в определённых стационарных состояниях.
• В стационарном состоянии атом не излучает энергию.
• Орбитальный момент импульса электрона в модели Бора квантован: Lₙ = nℏ.
• Квантовое число n — целое положительное число.
• Излучение и поглощение происходят при переходах между уровнями.
• Энергия фотона равна модулю разности энергий уровней: hν = |Eₘ − Eₙ|.