"Физика (Базовый и углубленный уровни)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Электрическое и магнитное поля действуют на заряженные частицы и меняют их движение по-разному. Электрическая сила может изменять скорость и энергию частицы, а магнитная — только направление скорости. Эти различия позволяют объяснить круговую и винтовую траектории, работу селектора скоростей и устройств для управления пучками частиц. Главные ориентиры при решении задач — направление поля, знак заряда и составляющие скорости.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Магнитная индукция B — векторная характеристика магнитного поля, показывающая его действие на движущийся заряд. Её единица измерения — тесла (Тл), а направление в каждой точке совпадает с направлением магнитных линий. По B и скорости частицы можно определить направление и величину магнитной силы.
Сила Лоренца — сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях. В векторной форме F = qE + q(v × B), где q — заряд, E — напряжённость электрического поля, v — скорость; знак заряда учитывается автоматически. Формула позволяет складывать вклады обоих полей и находить результирующую силу.
Циклотронная частота — частота обращения заряженной частицы по окружности в однородном магнитном поле при скорости, перпендикулярной полю. Она равна f = |q|B/(2πm), где m — масса частицы. При нерелятивистском движении частота не зависит от скорости, поэтому помогает сравнивать частицы и настраивать ускорители.
Удельный заряд — отношение заряда частицы к её массе, q/m. Именно это отношение входит в формулы радиуса и частоты обращения в магнитном поле. Поэтому по траектории частицы можно судить о её удельном заряде, а значит, различать частицы с разными зарядами и массами.
В электрическом поле на заряд действует сила qE, а в магнитном — сила q(v × B); их векторная сумма и есть сила Лоренца. Электрическая сила направлена вдоль поля для положительного заряда и против поля для отрицательного. Магнитную составляющую находят по правилу левой руки для положительного заряда, а для отрицательного направление меняют на противоположное. Поэтому сначала учитывают геометрию полей и скорости, а затем складывают силы с их направлениями.
Модуль магнитной составляющей равен Fм = |q|vB sin α, где α — угол между скоростью и магнитной индукцией. Векторное произведение v × B перпендикулярно и скорости, и полю, поэтому магнитная сила всегда перпендикулярна мгновенному перемещению. Работа силы равна нулю: A = Fs cos 90° = 0. Следовательно, магнитное поле меняет направление скорости, но не её модуль и не кинетическую энергию.
В однородном поле скорость вдоль B не создаёт магнитной силы: при α = 0 величина sin α равна нулю, и частица движется прямолинейно. Если скорость перпендикулярна полю, сила всё время направлена к центру траектории и служит центростремительной силой, поэтому путь становится окружностью. Когда у скорости есть обе составляющие, поперечная вызывает круговое движение, а продольная не меняется. Одновременное сочетание этих движений образует винтовую линию вокруг силовой линии поля.
Для движения по окружности приравнивают магнитную силу центростремительной: |q|vB = mv²/R. Отсюда R = mv/(|q|B): при большей скорости радиус больше, а при большем B или заряде — меньше. Период T = 2πR/v = 2πm/(|q|B), а частота f = 1/T = |q|B/(2πm). Период и частота при неизменных m, q и B не зависят от скорости, в отличие от радиуса.
В однородном электрическом поле сила qE постоянна, поэтому ускорение a = qE/m направлено вдоль поля для положительного заряда и против него для отрицательного. Поле совершает работу, и кинетическая энергия меняется: ΔEк = A; скорость может как увеличиваться, так и уменьшаться в зависимости от направления движения. Если начальная скорость перпендикулярна полю, движение вдоль неё равномерное, а вдоль поля равноускоренное. Сочетание этих движений даёт параболическую траекторию, как у тела, брошенного горизонтально в поле тяжести.
Сравнивайте сначала силу и её направление, затем работу и изменение энергии; по этим признакам проще понять форму траектории. В последнем столбце указано, что меняется при одновременном действии полей: нужно складывать силы, а не рассматривать каждую отдельно.
| Характеристика | Однородное электрическое поле | Однородное магнитное поле | Одновременное действие полей |
|---|---|---|---|
| Действующая сила | F = qE | Fм = q(v × B) | F = qE + q(v × B) |
| Направление силы относительно скорости | Зависит от направления E и знака q | Перпендикулярно скорости и B | Определяется векторной суммой составляющих |
| Работа силы | Может быть ненулевой | Равна нулю | Определяется работой обеих составляющих |
| Изменение скорости и кинетической энергии | Могут изменяться | Меняется направление скорости, энергия постоянна | Зависят от результирующей силы и её работы |
| Вид траектории | Прямая или парабола при поперечной начальной скорости | Прямая, окружность или винтовая линия | Зависит от взаимной ориентации полей и скорости |
| Основные формулы движения | a = qE/m; ΔEк = A | R = mv⊥/(|q|B); T = 2πm/(|q|B) | При равных противоположных силах v = E/B |
| Практическое применение | Ускорение и отклонение зарядов | Циклотрон, масс-спектрограф | Селектор скоростей, управление пучком |
Заряд движется со скоростью v под углом α к линиям магнитной индукции B. Нужно найти модуль магнитной силы Лоренца. В поле действует магнитная составляющая, поэтому для вычисления важна не вся скорость, а её часть поперёк поля. Эту часть можно найти через синус угла.
Ответ: Fм = |q|vB sin α. При движении вдоль поля α = 0 и сила равна нулю, а при движении поперёк поля α = 90° и сила максимальна.
Известны модуль заряда электрона |q|, его масса m, скорость v и индукция B; требуется определить радиус, период и частоту обращения. Поскольку скорость перпендикулярна полю, траектория круговая. Для радиуса используем равенство магнитной и центростремительной сил, а период и частоту найдём из формул кругового движения.
Ответ: R = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B), f = |q|B/(2πm). Числовые значения получают после подстановки данных задачи.
Электрическое и магнитное поля направлены так, что их силы на летящую частицу противоположны; частица проходит без отклонения. Требуется найти скорость и понять принцип селектора скоростей. Отсутствие отклонения означает, что результирующая поперечная сила равна нулю. Следовательно, модули сил должны быть равны.
Ответ: не отклоняются частицы со скоростью v = E/B. В селекторе частицы с другой скоростью испытывают неуравновешенную силу, отклоняются и не проходят по прямому пути.
Считать, что магнитная сила действует на неподвижный заряд, — значит забыть множитель скорости в формуле. Магнитная составляющая возникает только при движении: при v = 0 она равна нулю. Проверяйте ответ по частному случаю неподвижного заряда.
Подставлять всю скорость вместо перпендикулярной — значит не учесть угол между v и B. Из-за этого можно получить ненулевую силу даже при движении вдоль поля. Проверка: используйте Fм = |q|vB sin α; при α = 0 сила должна исчезнуть.
Утверждение, что магнитное поле разгоняет частицу, смешивает изменение направления с изменением модуля скорости. Такую ошибку допускают, когда видят искривлённую траекторию и принимают её за ускорение вдоль движения. Проверьте работу силы: поскольку Fм перпендикулярна v, A = 0 и кинетическая энергия постоянна.
Применять правило левой руки без учёта знака заряда — значит неверно указать направление силы для электрона. Правило напрямую задаёт направление для положительного заряда, а отрицательный заряд испытывает силу в противоположную сторону. Для проверки сначала найдите направление силы для положительного заряда, затем поменяйте его на обратное.
Для разбора движения нужны второй закон Ньютона и формулы движения по окружности: именно они связывают магнитную силу с радиусом траектории. Работа и кинетическая энергия помогают объяснить, почему электрическое поле может менять скорость, а магнитное — нет. Векторное произведение и правило левой руки используются для определения направления магнитной силы. Понимание этой темы пригодится при изучении электромагнитной индукции, ускорителей частиц и электронных приборов, а также масс-спектрографов, циклонов и селекторов скоростей.
Почему магнитное поле не изменяет скорость частицы по модулю?
Магнитная сила направлена перпендикулярно скорости, поэтому её работа равна нулю. Она изменяет направление движения, но не модуль скорости и, следовательно, кинетическую энергию.
Что произойдёт с частицей, если она влетит в магнитное поле вдоль линий индукции?
Сила магнитного поля равна нулю, потому что скорость параллельна магнитной индукции. Частица продолжит двигаться прямолинейно и равномерно, если на неё не действуют другие силы.
Почему траектория частицы в магнитном поле может быть винтовой?
Скорость можно разложить на составляющие вдоль и поперёк магнитного поля. Поперечная составляющая вызывает движение по окружности, а продольная остаётся неизменной; вместе они дают винтовую траекторию.
Как определить направление силы Лоренца для электрона?
Сначала определяют направление силы для положительного заряда по правилу левой руки или векторному произведению скорости и магнитной индукции. Для электрона, имеющего отрицательный заряд, направление будет противоположным.
Как работает селектор скоростей в скрещенных электрическом и магнитном полях?
В селекторе электрическое и магнитное поля расположены так, что действующие на частицу силы могут быть направлены противоположно. Не отклоняются частицы, для которых qE = |q|vB, то есть v = E/B; остальные отклоняются и не проходят по заданной траектории.
2. Движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях
