2. Движение заряженной частицы в магнитном и электрическом полях

Определения и обозначения

Напряжённость электрического поля — векторная величина, определяющая силу, действующую на единичный положительный заряд. Она обозначается E, а сила для заряда q записывается как Fэ = qE. По напряжённости можно найти не только величину силы, но и её направление.

Магнитная индукция — векторная величина, характеризующая магнитное поле и его действие на движущийся заряд. Она обозначается B и входит в формулу магнитной силы. Направление B используют вместе с направлением скорости, чтобы определить направление силы.

Сила Лоренца — сила, действующая на заряженную частицу в электрическом и магнитном полях: F = q(E + v × B). Её электрическая составляющая Fэ = qE действует независимо от скорости, а магнитная Fм = q(v × B) появляется только при движении заряда. Разделение на составляющие помогает понять, меняется ли энергия частицы.

Циклотронная частота — частота обращения заряженной частицы в однородном магнитном поле. При движении перпендикулярно линиям индукции она равна f = |q|B/(2πm). Эта частота не зависит от скорости частицы в нерелятивистском приближении.

Как это устроено

Электрическое поле действует на заряд даже в покое, потому что его сила определяется самим наличием заряда: Fэ = qE. Скорость в эту формулу не входит, поэтому поле может начать разгонять неподвижную частицу. Направление силы совпадает с E для положительного заряда и противоположно ему для отрицательного.

Магнитное поле действует иначе: его сила возникает из-за движения заряда относительно поля и пропорциональна скорости. По модулю Fм = |q|vB sin α, где α — угол между v и B. Если частица покоится или движется вдоль линий индукции, синус равен нулю и магнитная сила отсутствует.

Направление магнитной силы перпендикулярно одновременно скорости и магнитной индукции. Для положительного заряда его определяют правилом левой руки, а для отрицательного получают противоположное направление. Поэтому изменение знака заряда меняет сторону изгиба траектории, хотя величина силы остаётся такой же при одинаковом |q|.

Перпендикулярность силы скорости объясняет отсутствие работы магнитного поля: A = Fs cos 90° = 0. Кинетическая энергия и модуль скорости сохраняются, но направление скорости непрерывно меняется. Так магнитная сила может выполнять роль центростремительной, не разгоняя частицу.

При v ⟂ B магнитная сила равна центростремительной: |q|vB = mv²/r. Отсюда r = mv/(|q|B), а период обращения T = 2πr/v = 2πm/(|q|B); циклотронная частота f = 1/T = |q|B/(2πm). Если скорость имеет составляющую вдоль B, она сохраняется и добавляет равномерное движение вдоль поля, поэтому траектория становится спиралью.

В электрическом поле сила может совершать работу, поэтому скорость частицы по модулю изменяется. В совместном поле результирующая сила равна сумме электрической и магнитной составляющих. При взаимно перпендикулярных E, B и v частица не отклоняется, если |q|E = |q|vB и силы направлены противоположно, то есть v = E/B.

Действие электрического и магнитного полей на заряженную частицу

Сначала определите, какое поле действует на частицу и под каким углом направлены скорость и магнитная индукция. Затем выберите формулу из соответствующего столбца. Для совместного действия полей нужно сложить силы с учётом их направлений, а не только их модули.

Разбор задач

Задача 1. Разгон в электрическом поле

Частица с массой m и зарядом q начинает двигаться из покоя в однородном поле напряжённости E. Найдём скорость и перемещение за время t, считая поле постоянным и пренебрегая другими силами.

1. Сила поля по модулю равна Fэ = |q|E. Второй закон Ньютона даёт ускорение a = |q|E/m.
2. Так как начальная скорость равна нулю, скорость по модулю v = at = |q|Et/m.
3. Перемещение вдоль направления ускорения равно s = at²/2 = |q|Et²/(2m). Направление движения определяется знаком q относительно вектора E.

Ответ: v = |q|Et/m, s = |q|Et²/(2m); частица движется в сторону силы электрического поля.

Задача 2. Влёт в магнитное поле

Частица массой m, зарядом q и скоростью v влетает перпендикулярно линиям магнитной индукции B. Требуется определить радиус окружности и период обращения.

1. При α = 90° магнитная сила максимальна: Fм = |q|vB.
2. Она направлена к центру окружности, поэтому приравниваем её к центростремительной силе: |q|vB = mv²/r. Отсюда r = mv/(|q|B).
3. Период — время одного оборота: T = 2πr/v. После подстановки радиуса получаем T = 2πm/(|q|B). Скорость не меняется по модулю, потому что магнитное поле не совершает работы.

Ответ: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B).

Задача 3. Скрещенные поля

Электрон движется в электрическом поле E и магнитном поле B, причём поля и скорость взаимно перпендикулярны. Электрон проходит без отклонения. Найдём связь между скоростью, E и B.

1. Для отсутствия отклонения результирующая сила должна быть нулевой, поэтому электрическая и магнитная силы равны по модулю: |q|E = |q|vB.
2. Сокращаем одинаковый множитель |q| и получаем E = vB.
3. Выражаем скорость: v = E/B. Знак заряда влияет на направления обеих сил, но не на это условие по модулям.

Ответ: v = E/B, если силы направлены противоположно.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Считать, что магнитное поле действует на неподвижный заряд. Так происходит из-за смешения электрической и магнитной частей силы Лоренца; проверка проста: в формуле Fм = |q|vB sin α при v = 0 получается ноль.

Ошибка 2. Направлять магнитную силу вдоль скорости. Её находят по правилу левой руки, и результат всегда перпендикулярен v и B; если сила направлена вдоль движения, правило применено неверно.

Ошибка 3. Утверждать, что магнитное поле разгоняет частицу. Оно меняет направление скорости, но не совершает работы, поэтому нужно проверить, перпендикулярна ли сила скорости.

Ошибка 4. Забывать знак заряда. Для отрицательной частицы направление силы противоположно результату, полученному для положительного заряда; в расчёте радиуса при этом используют именно |q|.

Связь с другими темами

Для решения задач нужны второй закон Ньютона, формулы центростремительного ускорения и понятие работы силы. Направления векторов определяют с помощью правила левой руки и свойств векторного произведения.

Тема применяется при изучении ускорителей, циклотронов, масс-спектрометров и электронных приборов. По искривлению траектории можно определять массу, заряд или скорость частицы.

Что запомнить

• Электрическая сила действует на заряд независимо от его скорости.
• Магнитная сила действует только на движущийся заряд.
• Магнитная сила перпендикулярна скорости и не изменяет кинетическую энергию частицы.
• При перпендикулярном влёте в однородное магнитное поле частица движется по окружности.
• Радиус окружности увеличивается с ростом массы и скорости и уменьшается с ростом модуля заряда и магнитной индукции.
• В скрещенных полях частица не отклоняется, если электрическая и магнитная силы равны по модулю и противоположны по направлению.
• Направление движения зависит от знака заряда частицы.