"Физика (Базовый и углубленный уровни)", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
При гармонических колебаниях энергия тела постоянно переходит из потенциальной в кинетическую и обратно. На примере пружинного маятника легко увидеть: в крайних положениях тело неподвижно, зато энергия пружины максимальна, а при прохождении равновесия скорость и кинетическая энергия достигают наибольшего значения. В идеальной системе полная механическая энергия сохраняется, а трение постепенно уменьшает амплитуду.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Кинетическая энергия колеблющегося тела — энергия его движения: Eₖ = mv²/2, где m — масса тела, а v — его скорость. Во время колебаний скорость меняется от нуля до максимального значения, поэтому меняется и Eₖ. Эта формула позволяет определить энергию тела в любой момент, если известна его скорость.
Потенциальная энергия пружины связана с её деформацией: Eₚ = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — отклонение тела от положения равновесия. Чем дальше тело от равновесия, тем сильнее растянута или сжата пружина и тем больше её энергия. Квадрат отклонения показывает, что одинаковые по модулю отклонения в разные стороны дают одинаковую потенциальную энергию.
Полная механическая энергия системы — сумма кинетической и потенциальной энергий: E = Eₖ + Eₚ. Для идеального пружинного маятника без трения она постоянна, хотя отдельные слагаемые непрерывно изменяются. Это соотношение помогает находить неизвестную скорость, отклонение или энергию без подробного описания движения во времени.
Когда тело отклоняют от положения равновесия, пружина растягивается или сжимается сильнее. Сила упругости стремится вернуть тело назад, а деформация увеличивается по модулю. Поэтому потенциальная энергия Eₚ = kx²/2 растёт: в ней накапливается энергия, затраченная на отклонение тела.
Двигаясь к равновесию, тело уменьшает деформацию пружины. Сила упругости разгоняет его, поэтому потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая увеличивается. В равновесии деформация минимальна, зато скорость и кинетическая энергия достигают максимума.
В крайнем положении тело на мгновение останавливается перед движением в обратную сторону. Его скорость равна нулю, поэтому Eₖ = 0. Вся энергия идеального маятника в этот момент представлена потенциальной энергией пружины, и она максимальна.
В идеальной системе уменьшение одного вида энергии точно компенсируется увеличением другого. Поэтому Eₖ + Eₚ остаётся постоянной, хотя тело всё время обменивается энергией с пружиной. Если амплитуда равна A, полная энергия определяется в крайнем положении: E = kA²/2.
При трении и сопротивлении часть механической энергии передаётся окружающей среде и превращается во внутреннюю энергию. На каждом последующем цикле тело возвращается не на такую большую высоту или деформацию, как раньше. Поэтому амплитуда и механическая энергия постепенно убывают, а колебания затухают.
В таблице отклонение x сравнивается с амплитудой A, а энергии — с полной энергией системы. Используйте её, чтобы быстро определить, какая энергия преобладает в выбранном положении. Для промежуточной точки удобно применять равенства Eₚ/E = x²/A² и Eₖ/E = 1 − x²/A².
| Положение тела | Отклонение от равновесия | Скорость | Кинетическая энергия | Потенциальная энергия пружины | Полная механическая энергия |
|---|---|---|---|---|---|
| Положение равновесия | x = 0 | Максимальная | Максимальная | Минимальная | Постоянна и максимальна по сравнению с отдельными видами энергии |
| Крайнее положение | x = ±A | Нулевая | Нулевая | Максимальная | Постоянна |
| Промежуточное положение | 0 < |x| < A | Между нулевой и максимальной | Между нулевой и максимальной | Между минимальной и максимальной | Постоянна |
Тело массой 0,20 кг колеблется на пружине жёсткостью 50 Н/м. Амплитуда колебаний равна 0,10 м. Требуется найти полную механическую энергию.
Ответ: полная механическая энергия равна 0,25 Дж. Масса в этой задаче не понадобилась, потому что энергию нашли в крайнем положении через жёсткость и амплитуду.
Амплитуда пружинного маятника равна 0,08 м, а полная энергия — 0,16 Дж. Найдём кинетическую и потенциальную энергии при отклонении x = 0,04 м.
Ответ: потенциальная энергия равна 0,04 Дж, а кинетическая — 0,12 Дж. В этой точке тело ещё ближе к равновесию, чем к крайнему положению, поэтому кинетическая энергия больше потенциальной.
Тело массой 0,50 кг колеблется на пружине жёсткостью 200 Н/м. Амплитуда равна 0,10 м, а отклонение от равновесия — 0,06 м. Нужно определить скорость тела.
Ответ: скорость тела примерно равна 2,26 м/с. При уменьшении отклонения до нуля эта скорость стала бы максимальной.
Ошибка: считать потенциальную энергию пропорциональной x, а не x². Так происходит из-за привычки видеть линейную зависимость силы упругости от деформации. Проверка проста: используйте формулу Eₚ = kx²/2 и помните, что при смене знака x энергия не меняется.
Ошибка: считать полную энергию в равновесии нулевой. В этой точке равна нулю только потенциальная энергия относительно выбранного нуля, а кинетическая максимальна. Проверьте себя сложением Eₖ и Eₚ, а не значением одного из слагаемых.
Ошибка: помещать максимумы кинетической и потенциальной энергий в одну и ту же точку. Потенциальная энергия максимальна на крайних отклонениях, а кинетическая — в равновесии. Сначала определите скорость и деформацию пружины в рассматриваемом положении.
Ошибка: применять сохранение механической энергии при заметном трении без поправки. В таком случае часть энергии превращается во внутреннюю, поэтому механическая сумма уменьшается. Если амплитуда падает от цикла к циклу, систему нельзя считать идеальной.
До изучения превращений энергии нужны формулы кинетической энергии тела и потенциальной энергии деформированной пружины. Без них невозможно выразить энергию через массу, скорость, жёсткость и отклонение. Эти формулы также помогают проверять единицы измерения и результаты вычислений.
Тема опирается на понятия гармонических колебаний, амплитуды и положения равновесия. Нужно понимать, что координата и скорость меняются со временем и достигают максимумов в разных фазах движения. Тогда энергетическую картину можно связать с графиком колебаний.
Переходы энергии между формами встречаются при изучении механических волн. Похожая идея действует и в электрических цепях, где энергия переходит между электрическим и магнитным полями. Поэтому пружинный маятник служит удобной моделью для многих колебательных систем.
Почему в положении равновесия потенциальная энергия пружины не максимальна?
В положении равновесия пружина деформирована минимально, поэтому её потенциальная энергия также минимальна. При этом тело движется с наибольшей скоростью, и большая часть энергии находится в кинетической форме.
Где кинетическая энергия колеблющегося тела достигает наибольшего значения?
Кинетическая энергия максимальна при прохождении телом положения равновесия. В этот момент скорость тела наибольшая.
Почему полная энергия остаётся постоянной, если кинетическая и потенциальная энергии меняются?
Энергия не исчезает, а переходит из одного вида в другой. Уменьшение потенциальной энергии пружины сопровождается таким же увеличением кинетической энергии, поэтому их сумма остаётся неизменной.
Как найти скорость тела по его отклонению от положения равновесия?
Сначала используют сохранение энергии: ½kA² = ½mv² + ½kx². После преобразования получают v = √[k(A² − x²) / m], где A — амплитуда, а x — текущее отклонение.
Что происходит с энергией колебаний при наличии трения?
Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тела и окружающей среды. Поэтому полная механическая энергия и амплитуда колебаний постепенно уменьшаются.
3. Превращения энергии при гармонических колебаниях
