§ 55. Построение изображений, создаваемых тонкими линзами

Определения и обозначения

Тонкая линза — линза, толщиной которой в задачах пренебрегают по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей. Поэтому её условно изображают отрезком или плоскостью, не показывая реальную толщину. Такая модель упрощает построение, но сохраняет главное действие линзы на лучи.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны обеих поверхностей линзы. На ней отмечают оптический центр и фокусы, поэтому она служит основной линией построения. По отношению к этой оси определяют параллельность лучей и положение предмета.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически не преломляясь. На чертеже такой луч проводят одной прямой до и после линзы. Он помогает быстро связать точку предмета с соответствующей точкой изображения.

Фокус — точка, в которой после линзы сходятся лучи, шедшие параллельно главной оптической оси, или их продолжения. Расстояние от оптического центра до фокуса называют фокусным расстоянием. Фокусы располагаются по обе стороны линзы и нужны для построения направления главных лучей.

Как это устроено

Параллельный главной оси пучок после собирающей линзы сходится в точке на противоположной стороне, поэтому такую линзу называют собирающей. После рассеивающей линзы лучи расходятся, но их продолжения назад пересекаются в мнимом фокусе со стороны источника. Фокусы собирающей линзы обычно отмечают как реальные точки схождения, а фокусы рассеивающей — как точки пересечения продолжений.

Для построения используют три главных луча: параллельный оси, луч через оптический центр и луч, связанный с фокусом. Параллельный луч после собирающей линзы идёт через дальний фокус, а после рассеивающей выглядит так, будто вышел из ближнего фокуса. Луч, направленный через ближний фокус собирающей линзы, выходит параллельно оси; у рассеивающей линзы параллельный выход получают для луча, направленного к дальнему фокусу.

Достаточно двух лучей, потому что изображение каждой точки предмета определяется единственной точкой пересечения соответствующих лучей. Третий главный луч не добавляет нового положения, а подтверждает правильность чертежа. Обычно выбирают луч через оптический центр и луч, параллельный оси или проходящий через фокус.

Чтобы найти изображение точки, из неё проводят выбранные главные лучи с учётом направления распространения света. Затем находят пересечение преломлённых лучей или их продолжений. Если предмет имеет несколько точек, например вершину и основание стрелки, такую процедуру выполняют для вершины, а положение основания находят на главной оси.

Пересечение самих лучей означает действительное изображение: в этой точке действительно сходится световой поток, и его можно получить на экране. Если сходятся только продолжения лучей, изображение мнимое и на экране его получить нельзя. Ориентацию определяют сравнением изображения с предметом: противоположное направление означает перевёрнутое изображение, а одинаковое — прямое.

Построение и свойства изображений в тонких линзах

Таблица показывает результат построения для разных положений предмета. Обозначение F означает фокусное расстояние, а 2F — двойное фокусное расстояние от оптического центра. Для рассеивающей линзы свойства указаны для обычного действительного предмета.

Разбор задач

Задача 1. Предмет дальше двойного фокусного расстояния

Нужно построить изображение предмета перед собирающей линзой, если расстояние до него больше 2F. Пусть предмет изображён стрелкой, стоящей перпендикулярно главной оси. Числовые данные не нужны, поскольку требуется определить положение и свойства изображения.

1. Из вершины стрелки проведём луч параллельно главной оси; после линзы он пойдёт через дальний фокус.
2. Второй луч направим через оптический центр; он не изменит направления.
3. Пересечение этих лучей окажется между F и 2F за линзой; через точку пересечения проводим изображение основания и вершины.

Луч от вершины пересекается с другим лучом после линзы, поэтому изображение действительное. Оно расположено между F и 2F, перевёрнуто относительно предмета и уменьшено. Третий луч, направленный через ближний фокус, должен выйти параллельно оси и подтвердить результат.

Задача 2. Предмет между F и 2F

Предмет находится между фокусом и двойным фокусным расстоянием собирающей линзы. Требуется сравнить полученное изображение с предметом. Здесь особенно важно не перепутать направление: чем ближе предмет к фокусу, тем дальше от линзы окажется изображение.

1. Проводим из вершины луч, параллельный оси; после линзы он проходит через дальний фокус.
2. Проводим луч через оптический центр без отклонения.
3. Луч пересечётся с первым дальше точки 2F; полученная вершина изображения будет ниже оси, если вершина предмета была выше неё.

Изображение находится за линзой дальше 2F и является действительным, потому что пересекаются сами преломлённые лучи. Оно перевёрнуто и увеличено по сравнению с предметом. Размер можно оценить непосредственно по чертежу: высота изображения больше высоты стрелки.

Задача 3. Предмет перед рассеивающей линзой

Рассеивающая линза расположена между предметом и областью наблюдения, а предмет является действительным. Параллельный оси луч после линзы расходится так, будто вышел из ближнего фокуса. Поэтому пересечение нужно искать не впереди лучей, а на их мысленных продолжениях назад.

1. Из вершины предмета проводим луч параллельно оси и после линзы изображаем его расходящимся.
2. Проводим луч через оптический центр; в модели тонкой линзы он идёт прямо.
3. Продлеваем преломлённый луч назад до пересечения с лучом через центр; там располагается вершина изображения.

Изображение находится между линзой и её фокусом со стороны предмета. Оно мнимое, поскольку пересекаются продолжения, прямое и уменьшенное. Такой результат не зависит от того, насколько далеко перед линзой расположен действительный предмет.

Типичные ошибки

Ошибка возникает, когда луч через фокус после линзы сразу проводят параллельно оси без учёта направления света. Для собирающей линзы луч должен идти к ближнему фокусу до линзы, а для рассеивающей — быть направлен к дальнему фокусу. Проверка проста: сначала определите, где находится предмет и куда распространяется свет.

Некоторые считают, что линза обязательно отклоняет любой луч. Но луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, в принятой модели идёт практически прямо. Если после построения этот луч имеет излом в центре, чертёж нужно исправить.

Нельзя называть действительным изображение, найденное по пересечению продолжений лучей. Действительное изображение создают сами лучи, а мнимое существует только как результат мысленного продолжения назад. Проверьте, пересекаются ли линии после линзы физически или лишь их штриховые продолжения.

Неверно считать, что любое изображение обязательно перевёрнутое или увеличенное. Свойства зависят от типа линзы и положения предмета относительно F и 2F. Сверяйте результат с ходом лучей и таблицей, а не с одним запомнившимся случаем.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о распространении света в однородной среде, отражении и преломлении. Именно изменение направления луча на границе сред объясняет действие линзы. Без понимания направления света трудно правильно выбрать фокусный луч.

Построения подготавливают к применению формулы тонкой линзы и формулы увеличения. Те же правила помогают понять работу глаза, фотоаппарата, проектора и других оптических приборов. Положение изображения определяет, где должен находиться экран или сетчатка глаза.

Что запомнить

• Для построения изображения используют главные лучи тонкой линзы.
• Луч через оптический центр считают не преломляющимся.
• Действительное изображение образуется в точке пересечения лучей.
• Мнимое изображение находят в точке пересечения продолжений лучей.
• Собирающая линза может давать действительное или мнимое изображение.
• Рассеивающая линза для действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.