§ 54. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. Собирающая линза толще в середине и сводит параллельные лучи, а рассеивающая тоньше в середине и заставляет их расходиться. Это различие позволяет заранее понять характер хода лучей.

Оптический центр линзы — точка, проходя через которую луч в тонкой линзе практически не меняет направления. Такой луч удобно использовать при построении изображения, потому что его не нужно дополнительно преломлять на чертеже. Расстояния обычно отсчитывают от оптического центра.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, где после линзы собираются лучи, шедшие параллельно оси, или пересекаются их продолжения. У собирающей линзы фокус действительный, у рассеивающей — мнимый. Расстояние от центра линзы до фокуса называют фокусным расстоянием F.

Оптическая сила — величина, равная обратному фокусному расстоянию: D = 1/F. Если F выражено в метрах, D измеряется в диоптриях. Знак силы показывает тип линзы: у собирающей она положительна, у рассеивающей отрицательна.

Как это устроено

Свет преломляется на каждой границе между воздухом и материалом линзы, потому что в этих средах он распространяется с разными скоростями. Наклонные поверхности изменяют направление лучей, а сферическая форма линзы делает это изменение неодинаковым для разных участков. Поэтому лучи, первоначально параллельные главной оси, после прохождения линзы либо сближаются, либо удаляются друг от друга.

У собирающей линзы преломлённые параллельные лучи реально пересекаются за линзой, и в этой точке возникает действительный фокус. У рассеивающей линзы лучи расходятся, но их продолжения назад пересекаются перед линзой. Фокусное расстояние собирающей линзы считают положительным, а рассеивающей — отрицательным, поэтому знак сразу отражает тип преломления.

Для построения изображения достаточно использовать три главных луча. Луч, параллельный оси, после линзы проходит через фокус; луч, направленный через фокус до линзы, после неё идёт параллельно оси. Луч через оптический центр почти не отклоняется, а пересечение этих лучей или их продолжений показывает вершину изображения.

Положение изображения находят по формуле тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f. Здесь F — фокусное расстояние, d — расстояние от предмета до линзы, f — расстояние от линзы до изображения. При знаковом соглашении действительный предмет обычно имеет положительное d, действительное изображение — положительное f, а мнимое — отрицательное f.

У собирающей линзы предмет за двойным фокусом даёт действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение между F и 2F. При положении предмета между F и 2F изображение получается за 2F, действительным, перевёрнутым и увеличенным. Если предмет находится ближе фокуса, лучи после линзы не сходятся, а их продолжения дают мнимое, прямое и увеличенное изображение.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Таблица помогает быстро определить свойства линзы по её форме и знакам величин. Для решения задачи сначала выясните тип линзы, затем определите знак F и примените формулу тонкой линзы. Характер изображения проверяйте по знаку f и по увеличению.

Разбор задач

Задача 1. Оптическая сила

Собирающая линза имеет фокусное расстояние 20 см. Требуется найти её оптическую силу. Сначала нужно привести расстояние к метрам, поскольку диоптрия определяется через метры.

1. Переведём расстояние: F = 20 см = 0,20 м.
2. Используем формулу D = 1/F.
3. Получаем D = 1/0,20 = 5 дптр. Знак положительный, потому что линза собирающая.

Ответ: D = +5 дптр. Чем меньше положительное фокусное расстояние, тем сильнее собирающая линза преломляет свет.

Задача 2. Положение изображения

Предмет находится на расстоянии d = 30 см от собирающей линзы с F = 10 см. Нужно найти расстояние до изображения и установить, является ли оно действительным. Оба расстояния переведём в метры или оставим в сантиметрах, так как в одной формуле единицы могут быть одинаковыми.

1. Подставим данные: 1/10 = 1/30 + 1/f.
2. Найдём обратное расстояние: 1/f = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15.
3. Следовательно, f = 15 см. Значение положительно, поэтому изображение действительное и расположено за линзой.

Ответ: изображение находится на расстоянии 15 см от линзы. Предмет расположен дальше 2F, поэтому изображение перевёрнутое и уменьшенное.

Задача 3. Размер и характер изображения

Высота предмета h = 4 см, расстояние до собирающей линзы d = 15 см, фокусное расстояние F = 10 см. Так как предмет находится между F и 2F, можно ожидать действительное перевёрнутое увеличенное изображение. Проверим это вычислением.

1. По формуле линзы: 1/10 = 1/15 + 1/f, поэтому 1/f = 1/30 и f = 30 см.
2. Линейное увеличение Γ = −f/d = −30/15 = −2.
3. Высота изображения h′ = Γh = −2 · 4 = −8 см. Минус означает перевёрнутость, а модуль 8 см — фактическую высоту.

Ответ: изображение расположено в 30 см от линзы, его высота 8 см. Оно действительное, перевёрнутое и увеличенное в 2 раза.

Типичные ошибки

Считать, что любая линза собирает лучи. Ошибка возникает, если ориентироваться только на слово линза и не учитывать её форму. Проверьте, толще ли линза в центре: у рассеивающей параллельные лучи после преломления расходятся.

Путать мнимый фокус рассеивающей линзы с реальным пересечением лучей. Реальные лучи перед линзой не встречаются, пересечься могут лишь их мысленные продолжения. Чтобы проверить себя, мысленно продлите расходящиеся лучи назад и найдите точку их пересечения.

Подставлять сантиметры в формулу оптической силы. Так получают число, ошибочно принимаемое за диоптрии. Перед вычислением переведите F в метры и только потом применяйте D = 1/F.

Считать изображение собирающей линзы всегда действительным и перевёрнутым. Это верно только при расположении предмета дальше фокуса. Если предмет ближе F, результатом будут мнимое, прямое и увеличенное изображение; проверить это можно по отрицательному f.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны закон преломления света и правила хода лучей на границе сред. Полезно также уметь строить изображения в плоском зеркале, поскольку там применяются похожие геометрические рассуждения.

Линзы объясняют работу глаза и очков, исправляющих близорукость или дальнозоркость. Несколько линз используются в микроскопах, телескопах и фотоаппаратах для получения нужного увеличения и резкости.

Фокусное расстояние и оптическая сила нужны при расчёте сложных оптических систем. Зная силы отдельных линз и их расположение, можно определить общий результат действия системы.

Что запомнить

• Собирающая линза сводит параллельные главной оси лучи в действительном фокусе.
• У рассеивающей линзы главный фокус мнимый.
• Луч через оптический центр тонкой линзы практически не отклоняется.
• Оптическая сила равна обратному фокусному расстоянию, выраженному в метрах.
• Положение изображения находят по формуле тонкой линзы.
• У собирающей линзы предмет внутри фокусного расстояния даёт мнимое, прямое и увеличенное изображение.