§ 19. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями или одной сферической и одной плоской. Она преломляет свет и изменяет направление лучей так, чтобы получать изображения предметов. На схемах тонкую линзу изображают отрезком с короткими стрелками на концах: стрелки направлены внутрь для собирающей линзы и наружу для рассеивающей. Условное обозначение помогает строить ход лучей без изображения формы стекла.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы; для симметричной линзы она проходит через её середину. Оптический центр — точка, через которую луч в тонкой линзе проходит практически без отклонения. Ось задаёт направление, относительно которого отмечают фокусы и проводят параллельные лучи. Оптический центр служит удобной точкой для одного из главных лучей при построении изображения.

Главный фокус — точка на главной оптической оси, в которой после линзы собираются лучи, падавшие параллельно оси. У рассеивающей линзы в фокусе пересекаются не сами лучи, а их продолжения назад. Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до главного фокуса. Оно показывает, насколько сильно линза собирает или рассеивает свет, и входит в расчёт изображения.

Оптическая сила D характеризует преломляющее действие линзы и определяется формулой D = 1/F, если F выражено в метрах. Её единица измерения — диоптрия: 1 дптр = 1 м⁻¹. У собирающей линзы F и D положительны, у рассеивающей — отрицательны. Знак позволяет учитывать тип линзы в формулах, а величина D — сравнивать линзы по силе действия.

Как это устроено

Свет меняет направление при переходе из воздуха в материал линзы и обратно: это происходит из-за различия показателей преломления сред. Поверхности линзы наклонены относительно друг друга, поэтому лучи после двух преломлений могут изменить взаимное направление. Если лучи направляются к общей точке, пучок собирается; если угол между ними увеличивается, пучок становится расходящимся. Именно сочетание двух поверхностей определяет итоговое действие линзы.

Собирающие линзы обычно толще в середине, чем у краёв, а рассеивающие — тоньше в середине. Для параллельного главной оси пучка собирающая линза направляет лучи к точке за линзой, а рассеивающая заставляет их расходиться так, будто они выходят из точки перед линзой. Первый фокус действительный, второй — мнимый: в нём встречаются только продолжения лучей назад. Толщина помогает распознать тип обычной линзы, но окончательный критерий — её действие на пучок.

У тонкой линзы расстояние между преломляющими поверхностями мало по сравнению с расстояниями до предмета и изображения. Поэтому при построении можно не учитывать, что луч преломляется сначала на одной поверхности, а затем на другой. Считают, что оба преломления происходят в одной плоскости, проходящей через оптический центр. Это упрощение и позволяет изображать линзу условным отрезком.

Для геометрического построения используют три главных луча. Луч, идущий параллельно главной оси, после собирающей линзы проходит через фокус; луч, направленный до линзы через фокус, после неё идёт параллельно оси. Луч через оптический центр в приближении тонкой линзы не меняет направления. У рассеивающей линзы параллельный луч выходит так, будто идёт из переднего фокуса, а луч, направленный к заднему фокусу, выходит параллельно оси. Достаточно провести любые два подходящих луча: их пересечение задаёт изображение.

У собирающей линзы положение предмета относительно фокуса меняет ход лучей и свойства изображения. Если предмет дальше фокуса, реальные лучи сходятся по другую сторону линзы, давая действительное перевёрнутое изображение; при положении дальше 2F оно уменьшенное, между F и 2F — увеличенное. Если предмет находится между линзой и фокусом, после линзы лучи расходятся, а их продолжения пересекаются со стороны предмета: изображение мнимое, прямое и увеличенное. Рассеивающая линза заставляет лучи расходиться при любом положении действительного предмета, поэтому их продолжения дают мнимое, прямое и уменьшенное изображение.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сначала определите действие линзы на параллельный пучок: это надёжнее, чем судить только по её форме. Затем проверьте знак F и D, прежде чем подставлять значения в формулу. Обозначения d и f относятся соответственно к расстояниям до предмета и изображения.

Разбор задач

Задача 1. Определить вид линзы, если её оптическая сила равна +4 дптр, и найти фокусное расстояние.

1. Положительный знак D указывает, что линза собирающая.
2. Используем связь D = 1/F, откуда F = 1/D = 1/4 м = 0,25 м.
3. Переводим в сантиметры: 0,25 м = 25 см. Проверка: подстановка 0,25 м обратно даёт 4 дптр.

Ответ: собирающая линза; F = 0,25 м = 25 см.

Задача 2. Построить изображение предмета между собирающей линзой и её фокусом и определить его свойства.

1. Из верхней точки предмета проводим луч параллельно главной оси; после линзы он направляется через дальний фокус.
2. Второй луч проводим через оптический центр: в приближении тонкой линзы он идёт прямо.
3. За линзой оба луча расходятся, поэтому продолжаем их назад пунктирно. Продолжения пересекаются со стороны предмета, выше главной оси; это и есть верх изображения.
4. Поскольку пересекаются продолжения, изображение мнимое. Оно расположено прямо и выше предмета, значит, прямое и увеличенное.

Ответ: изображение мнимое, прямое, увеличенное и находится со стороны предмета.

Задача 3. Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найти расстояние до изображения и линейное увеличение.

1. Берём d = 30 см и F = 10 см. Применяем формулу тонкой линзы 1/F = 1/d + 1/f.
2. Находим 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15 см⁻¹, поэтому f = 15 см.
3. Положительное f означает, что изображение действительное и расположено по другую сторону линзы. Линейное увеличение по модулю Γ = f/d = 15/30 = 0,5; следовательно, изображение вдвое меньше предмета.
4. Для собирающей линзы действительное изображение перевёрнуто. Знак увеличения при учёте ориентации был бы отрицательным: Γ = −0,5.

Ответ: расстояние до изображения — 15 см; изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное в 2 раза.

Типичные ошибки

Путают тип линзы по форме. Ошибка возникает, если смотреть только на толщину середины: необычная форма может сбить с толку. Проверяйте, что происходит с параллельным пучком: собирающая линза сводит лучи, рассеивающая разводит. Такой тест определяет действие линзы напрямую.

Считают фокус рассеивающей линзы точкой встречи самих лучей. Пучок после неё расходится, поэтому действительного пересечения за линзой нет. Фокус находят, продолжая лучи назад: пересекаются именно продолжения. Если построение показывает сходящиеся реальные лучи, проверьте, правильно ли задан тип линзы.

Подставляют сантиметры при вычислении оптической силы. Так получают значение, отличающееся в сто раз, поскольку диоптрии определяются через метры. Перед вычислением D = 1/F переведите F в метры, а после расчёта при необходимости верните ответ в сантиметры. Проверка единиц обычно сразу выявляет ошибку.

Строят изображение по одному лучу или не проводят луч через оптический центр. Одного луча недостаточно, чтобы однозначно найти точку изображения: через него можно провести множество возможных пересечений. Используйте два главных луча и проверьте, что они пересекаются в одном месте; третий луч можно добавить для контроля. Если лучи не дают согласованной точки, вероятно, допущена ошибка в построении.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны законы преломления света, показатель преломления и умение строить ход лучей. Также важно различать действительное изображение, образованное пересекающимися лучами, и мнимое, возникающее при пересечении их продолжений. Знание линз помогает объяснить работу глаза, очков, лупы, микроскопа, телескопа и фотоаппарата. Формула тонкой линзы и линейное увеличение позволяют рассчитывать изображения в оптических системах.

Что запомнить

• Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, а рассеивающая — в расходящийся.
• Оптическая сила D = 1/F, где F задано в метрах; D измеряется в диоптриях.
• У собирающей линзы оптическая сила положительна, у рассеивающей — отрицательна.
• Для построения изображения достаточно использовать два из трёх главных лучей.
• Собирающая линза может давать действительное или мнимое изображение — результат зависит от положения предмета.
• Рассеивающая линза для действительного предмета даёт мнимое, прямое и уменьшенное изображение.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние, расстояние до предмета и расстояние до изображения.