§ 41. Линзы

Определения и обозначения

Тонкая линза — прозрачное тело, ограниченное двумя преломляющими поверхностями. В задачах её толщиной пренебрегают, если она мала по сравнению с расстояниями от линзы до предмета и изображения. Это упрощение позволяет считать, что преломление происходит в одной плоскости, и измерять расстояния от одной точки.

Главная оптическая ось — ось симметрии линзы, а оптический центр — точка на этой оси, через которую луч в модели тонкой линзы проходит практически без изменения направления. Ось нужна, чтобы задать положение предмета и изображения и провести основные построения. Оптический центр помогает быстро построить один из характерных лучей.

Собирающая линза превращает параллельный пучок в сходящийся, а рассеивающая делает его расходящимся. В воздухе собирающая линза обычно толще в середине, а рассеивающая — тоньше. Однако действие определяется не одной формой: при показателе преломления линзы меньше показателя окружающей среды оно меняется на противоположное.

Главный фокус — точка, в которой после линзы пересекаются лучи, параллельные главной оси, или их продолжения. У собирающей линзы фокус действительный, у рассеивающей — мнимый. Фокусное расстояние F — расстояние от оптического центра до фокуса; его знак в расчётах зависит от вида линзы.

Как это устроено

Когда свет переходит из одной среды в другую, его скорость меняется, поэтому на границе сред луч преломляется. У линзы таких границ две, а их кривизна задаёт, в какую сторону изменится направление лучей. Если материал линзы в окружающей среде преломляет сильнее, выпуклые поверхности обычно сводят лучи к оси, а вогнутые разводят их; при обратном соотношении показателей преломления действие переворачивается.

Для построений используют лучи, идущие близко к главной оптической оси: их называют параксиальными, и для них правила тонкой линзы работают достаточно точно. Луч, шедший параллельно оси, после собирающей линзы проходит через фокус. После рассеивающей он отклоняется от оси, но его продолжение назад проходит через мнимый фокус. Луч через оптический центр считают не меняющим направления, поскольку в тонкой модели отклонения на двух поверхностях взаимно компенсируются.

Чтобы построить изображение точки предмета, проводят два характерных луча от неё и отмечают место их пересечения после линзы. Если лучи расходятся, пересекают их продолжения: точка пересечения продолжений задаёт мнимое изображение. Обычно достаточно луча, параллельного оси, и луча через оптический центр; можно заменить второй лучом, направленным через фокус. Высоту, положение и ориентацию изображения определяют по пересечению лучей и его расположению относительно оси.

Для расчётов используют формулу тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f. Здесь d — расстояние от линзы до действительного предмета, f — знаковое расстояние до изображения, а F — знаковое фокусное расстояние; все расстояния берут в одинаковых единицах. В этой системе d положительно, F положительно у собирающей линзы и отрицательно у рассеивающей, f положительно для действительного изображения и отрицательно для мнимого. Действительное изображение образуется при реальном пересечении лучей, мнимое — при пересечении их продолжений.

Линейное увеличение Γ показывает, во сколько раз изображение выше или ниже предмета: Γ = h′/h = −f/d, где h и h′ — их высоты. Модуль Γ больше единицы означает увеличенное изображение, меньше единицы — уменьшенное, а знак показывает ориентацию: отрицательный соответствует перевёрнутому изображению. Оптическая сила D равна обратному фокусному расстоянию: D = 1/F, где F выражено в метрах; единица D — диоптрия.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Сначала сравните действие линзы на параллельный пучок и положение её фокуса, а форму используйте как подсказку для обычной ситуации в воздухе. Знаки F и D позволяют быстро проверить, согласуются ли вычисления с видом линзы. При описании изображения отдельно указывайте, действительное оно или мнимое, и прямое или перевёрнутое.

Разбор задач

Задача 1. Параллельный главной оптической оси пучок после линзы сходится в точке на расстоянии 12 см от неё. Определить вид линзы и её фокусное расстояние.

1. Параллельные оси лучи сходятся после линзы в реальной точке, значит, это собирающая линза и фокус действительный.
2. Расстояние от оптического центра до главного фокуса равно фокусному расстоянию. Поэтому F = 12 см, а знак положительный.
3. Проверка: для собирающей линзы должно быть F > 0, что согласуется с полученным результатом.

Ответ: линза собирающая, F = 12 см.

Задача 2. Предмет находится в 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найти расстояние до изображения и определить, действительное оно или мнимое.

1. Записываем данные: d = 30 см, F = 10 см. Предмет действительный, поэтому d положительно; для собирающей линзы F тоже положительно.
2. Подставляем в формулу: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, следовательно, f = 15 см.
3. Получено положительное f, значит, изображение действительное и находится по другую сторону линзы от предмета. Построение подтверждает вывод: предмет расположен дальше двойного фокусного расстояния, поэтому изображение возникает между F и 2F.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы, оно действительное.

Задача 3. Предмет высотой 4 см расположен в 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найти положение, высоту и ориентацию изображения.

1. Сначала находим положение изображения: 1/f = 1/10 − 1/15 = 1/30, поэтому f = 30 см. Значение положительно, следовательно, изображение действительное.
2. Вычисляем увеличение: Γ = −f/d = −30/15 = −2. Модуль увеличения равен 2, а знак минус означает, что изображение перевёрнуто.
3. Высота изображения h′ = Γh = −2 · 4 см = −8 см. Знак показывает ориентацию, поэтому размер изображения равен 8 см.

Ответ: изображение расположено в 30 см от линзы, его высота 8 см; оно действительное, увеличенное в 2 раза и перевёрнутое.

Типичные ошибки

• Считать, что любая линза собирает свет. Такое представление возникает из-за привычных примеров линз в воздухе, но действие зависит и от формы, и от показателей преломления материала и среды. Проверьте, что происходит с параллельным пучком, и учитывайте, в какой среде находится линза.
• Называть мнимое изображение точкой реального пересечения лучей. Так говорят, если не различают сами лучи и их продолжения; на деле расходящиеся лучи в этой точке не встречаются. Проверьте построение: если пересекаются только продолжения, изображение мнимое.
• Подставлять расстояния в формулу без знаков. Тогда ответ может ошибочно показать изображение по другую сторону линзы или неверно определить его тип. Перед расчётом запишите соглашение: d > 0 для действительного предмета, F > 0 у собирающей линзы, f > 0 для действительного изображения.
• Путать увеличение с отношением расстояний или считать его всегда положительным. Увеличение сравнивает высоты изображения и предмета, а его знак указывает ориентацию. Рассчитайте Γ = −f/d: модуль характеризует размер, знак — прямое или перевёрнутое изображение.

Связь с другими темами

Чтобы разбирать линзы, нужно знать закон преломления света, понимать, что такое луч и показатель преломления, а также уметь прослеживать луч на границе двух сред. Эти знания объясняют, почему поверхности линзы меняют направление света. Применение линз встречается при изучении глаза и зрения, очков, фотоаппаратов, микроскопов и телескопов. В каждом таком приборе расположение и свойства линз выбирают так, чтобы получить изображение нужного размера и положения.

Что запомнить

• Собирающая линза сводит параллельные главной оси лучи в действительном фокусе.
• Продолжения лучей после рассеивающей линзы пересекаются в мнимом фокусе.
• Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, практически не меняет направления.
• Положение изображения связано с расстоянием до предмета и фокусным расстоянием формулой тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
• Линейное увеличение показывает, во сколько раз изображение больше или меньше предмета; его знак указывает ориентацию.
• Оптическая сила равна величине, обратной фокусному расстоянию, выраженному в метрах; её единица — диоптрия.