§58. Линзы

Определения и обозначения

Линза — прозрачное тело, ограниченное двумя сферическими поверхностями или одной сферической и одной плоской поверхностью. Если толщина линзы мала по сравнению с радиусами кривизны её поверхностей и расстояниями в задаче, линзу называют тонкой; иначе она толстая. Модель тонкой линзы упрощает построение лучей и расчёты.

Собирающая линза сводит параллельные лучи, а рассеивающая заставляет их расходиться. В воздухе собирающая линза обычно толще в середине, чем у краёв, а рассеивающая — тоньше. Однако определяющим является не только внешний вид: действие зависит также от показателей преломления материала линзы и окружающей среды.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры сферических поверхностей линзы; для линзы со сферической и плоской поверхностями её задаёт центр сферы и перпендикуляр к плоской поверхности. Оптический центр O — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без отклонения. На чертеже ось изображают прямой линией, линзу — условным знаком, а центр отмечают буквой O.

Главный фокус F — точка на главной оси, где после линзы собираются параллельные оси лучи или из которой они кажутся выходящими. Фокусное расстояние f — расстояние от оптического центра до фокуса, а оптическая сила D характеризует способность линзы преломлять свет. Их связь: D = 1/f, если f выражено в метрах; для собирающей линзы f и D положительны, для рассеивающей — отрицательны.

Как это устроено

Когда свет переходит из воздуха в материал линзы, а затем снова в воздух, на каждой границе он преломляется. Направление изменения зависит от формы поверхности и показателей преломления двух сред. Поэтому два преломления могут свести лучи к одной области или, наоборот, развести их; форма сама по себе не определяет действие линзы, если изменились свойства окружающей среды.

Параллельные главной оси лучи падают на разные участки линзы, и поверхности отклоняют их под неодинаковыми углами. У собирающей линзы после второго преломления они встречаются на оси в главном фокусе F. У рассеивающей лучи расходятся, а их продолжения назад пересекаются в мнимом фокусе: реальный свет туда не приходит, но его распространение выглядит так, будто он вышел из этой точки.

Чтобы построить изображение, от вершины предмета достаточно провести два главных луча. Луч, идущий параллельно оси, после собирающей линзы направляют через фокус, а после рассеивающей — параллельно лучу, чей обратный ход проходит через мнимый фокус. Луч через оптический центр тонкой линзы продолжают прямо, а луч, направленный через фокус собирающей линзы до линзы, после неё идёт параллельно оси.

Точка, в которой после линзы действительно пересеклись лучи, задаёт изображение вершины и является действительным изображением. Если сами лучи расходятся, но пересекаются их продолжения назад, изображение мнимое: его видят, рассматривая линзу, однако экран в этой точке его не поймает. Основание изображения лежит на главной оси, поэтому положение вершины позволяет определить и размер, и ориентацию изображения.

Для тонкой линзы используют формулу 1/f = 1/a + 1/b, где a — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения, а f — фокусное расстояние. В принятой здесь записи a положительно для действительного предмета, b положительно для действительного изображения и отрицательно для мнимого; f берут со знаком типа линзы. Увеличение по модулю Γ = |b|/a сравнивает размеры изображения и предмета: при Γ больше 1 изображение крупнее, при Γ меньше 1 — меньше.

Сравнение собирающей и рассеивающей линз

Таблица помогает сначала определить тип линзы по действию на параллельные лучи, а затем проверить знаки фокусного расстояния и оптической силы. Форму можно использовать как подсказку только для обычных линз в воздухе: она не заменяет проверку направления лучей.

Разбор задач

Задача 1. Параллельный главной оптической оси пучок падает на линзу, после которой лучи пересекаются в точке на оси. Нужно определить тип линзы. Это не точка кажущегося происхождения лучей, поскольку пересекаются сами прошедшие через линзу лучи.

1. По определению главный фокус — место встречи параллельных оси лучей после линзы.
2. Лучам не требуется продолжение назад: они реально сходятся в указанной точке, значит, фокус действительный.
3. Действительный главный фокус соответствует собирающей линзе.

Ответ: линза собирающая.

Задача 2. Предмет находится в 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдём положение изображения и выясним, действительное оно или мнимое. Расстояния в формулу подставим в сантиметрах, а знак фокусного расстояния возьмём положительным.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/f = 1/a + 1/b. Здесь f = 10 см, a = 30 см.
2. Тогда 1/b = 1/10 − 1/30 = 1/15, откуда b = 15 см.
3. Положительное b означает действительное изображение на противоположной от предмета стороне линзы. Проверка: предмет дальше фокуса, поэтому собирающая линза и должна дать действительное изображение.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы и является действительным.

Задача 3. Расстояние между предметом и экраном равно 100 см. Требуется найти фокусное расстояние линзы, если резкое изображение на экране получается при расстояниях от предмета до линзы 20 см и от линзы до экрана 80 см, а затем определить увеличение. Экран принимает только действительное изображение, поэтому оба расстояния в формуле положительны.

1. Обозначим расстояния предмета и изображения через a = 20 см и b = 80 см. Они складываются в расстояние между предметом и экраном: 20 + 80 = 100 см.
2. Из формулы линзы 1/f = 1/a + 1/b получаем f = ab/(a + b) = 20 · 80/100 = 16 см.
3. Увеличение по модулю Γ = b/a = 80/20 = 4. Значит, изображение в четыре раза больше предмета; оно перевёрнутое, поскольку действительные изображения собирающей линзы перевёрнуты.

Ответ: фокусное расстояние равно 16 см, увеличение по модулю — 4.

Типичные ошибки

Ошибка — считать, что любая линза собирает свет. Обычно форму линзы напрямую связывают с действием, забывая, что оно зависит и от показателей преломления линзы и среды. Проверка: проследите параллельный пучок после линзы или уточните, в какой среде она находится.

Ошибка — принимать мнимый фокус рассеивающей линзы за точку реального пересечения лучей. Это происходит, когда обратные продолжения мысленно воспринимаются как сами лучи. Проверьте, куда фактически направлен свет: у рассеивающей линзы лучи расходятся, а пересекаются лишь их продолжения назад.

Ошибка — менять направление луча, проходящего через оптический центр. В построениях для тонкой линзы такой луч считают неотклонённым, поэтому его проводят прямой линией. Если он «ломается» в центре, проверьте, не перепутали ли вы его с лучом, преломляющимся на краю линзы.

Ошибка — подставлять в формулу линзы расстояния без согласования единиц и знаков. Например, сантиметры нельзя смешивать с метрами, а расстояние до мнимого изображения должно иметь знак минус. Проверка: приведите все величины к одной единице, укажите тип изображения и убедитесь, что знак результата соответствует построению лучей.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны закон преломления света, понятия светового луча и оптической оси, а также навыки построения изображений. Закон преломления объясняет, почему направление луча меняется на границах линзы, а геометрические построения помогают найти изображение. Без этих знаний трудно определить фокус и отличить действительное изображение от мнимого.

Линзы используют в очках, фотоаппаратах, микроскопах и телескопах. Их способность собирать или рассеивать свет позволяет формировать изображения и корректировать зрение. Понимание фокусного расстояния, увеличения и формулы тонкой линзы понадобится при изучении устройства оптических приборов.

Что запомнить

• Линза изменяет направление света при преломлении на своих поверхностях.
• Собирающая линза сводит параллельные оси лучи к действительному фокусу.
• Рассеивающая линза создаёт мнимый фокус, из которого лучи кажутся выходящими.
• Луч через оптический центр тонкой линзы считают неотклонённым.
• Формула тонкой линзы связывает фокусное расстояние и расстояния до предмета и изображения.
• Оптическая сила линзы равна обратному фокусному расстоянию, выраженному в метрах.