§59. Собирающие линзы

Определения и обозначения

Собирающая линза — прозрачное тело, ограниченное сферическими поверхностями или сферической и плоской поверхностями. Она преломляет параллельные лучи так, что те сходятся в одной точке. Это определение помогает отличить собирающую линзу от рассеивающей по тому, как меняется направление пучка света.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы; на ней расположен оптический центр. Ось служит основным ориентиром при построении изображений. По ней отмечают предмет, линзу и фокусы.

Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без отклонения. Её обозначают на главной оси и используют для проведения одного из главных лучей. Это упрощает построение: направление такого луча до и после линзы одинаково.

Главный фокус — точка, в которой сходятся лучи, падающие на линзу параллельно главной оптической оси. Фокусное расстояние — расстояние от фокуса до оптического центра, его обозначают F. Оно показывает, насколько далеко от линзы собирается параллельный пучок, и нужно для вычисления оптической силы.

Как это устроено

Параллельный главной оси пучок преломляется сначала на первой поверхности выпуклой линзы, а затем на второй. На обеих границах сред направление света меняется по закону преломления, и в результате центральные лучи отклоняются к оси. Поэтому после линзы они пересекаются в главном фокусе; чем сильнее преломление, тем ближе к линзе находится фокус.

У линзы два главных фокуса — по одному с каждой стороны. Если направить параллельный оси пучок справа налево, он соберётся слева, а при смене направления света получится обратный ход лучей. Так проявляется обратимость распространения света: один и тот же путь возможен в обоих направлениях, поэтому фокусы симметричны относительно оптического центра.

Оптическая сила показывает, насколько сильно линза меняет ход лучей. Её находят по формуле D = 1/F, причём F нужно выразить в метрах; результат измеряется в диоптриях. Например, линза с F = 0,5 м имеет D = 2 дптр, а линза с меньшим фокусным расстоянием обладает большей оптической силой.

Построить изображение можно по трём главным лучам. Луч, идущий параллельно главной оси, после линзы проходит через фокус; луч, направленный до линзы через фокус, после неё идёт параллельно оси. Третий луч проходит через оптический центр практически без отклонения, а пересечение лучей после линзы указывает на действительное изображение.

Положение предмета определяет, где окажется изображение и каким оно будет. Если предмет дальше фокуса, лучи после линзы действительно пересекаются, поэтому изображение действительное и перевёрнутое; при приближении предмета к фокусу оно удаляется и увеличивается. Когда предмет ближе фокуса, выходящие лучи расходятся, и пересекаются только их продолжения назад: изображение становится мнимым, прямым и увеличенным.

Изображение, создаваемое собирающей линзой

Найдите строку по положению предмета, отсчитывая расстояния от оптического центра линзы. Затем сопоставьте положение изображения с тем, куда направлены лучи: действительное получают при их пересечении, мнимое — при пересечении продолжений. Границы F и 2F особенно важны: при переходе предмета через фокус характер изображения меняется.

Разбор задач

1. Параллельный пучок и оптическая сила

На главную оптическую ось направлен параллельный ей пучок. Фокусное расстояние линзы равно 20 см. Нужно определить, где соберутся лучи, и найти оптическую силу. Так как пучок параллелен оси, место его пересечения с осью задаётся главным фокусом.

1. По определению, лучи соберутся в главном фокусе на расстоянии F = 20 см от оптического центра.
2. Для оптической силы переводим расстояние в метры: F = 0,20 м.
3. Вычисляем D = 1/F = 1/0,20 = 5 дптр.

Ответ: лучи соберутся в фокусе, в 20 см от линзы; оптическая сила равна 5 дптр.

2. Предмет на расстоянии 30 см

Предмет находится в 30 см от собирающей линзы, фокусное расстояние которой равно 10 см. Нужно установить положение, размер и характер изображения. Поскольку расстояние до предмета больше F, ожидается действительное перевёрнутое изображение; расчёт покажет его положение.

1. Для тонкой линзы используем 1/F = 1/a + 1/b, где a = 30 см, F = 10 см, а b — расстояние до изображения.
2. Подставляем: 1/b = 1/10 − 1/30 = 2/30, поэтому b = 15 см.
3. Увеличение по модулю равно b/a = 15/30 = 0,5. Изображение вдвое меньше предмета и перевёрнуто; при построении лучи пересекутся за линзой, на расстоянии 15 см.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы по другую сторону от предмета, оно действительное, перевёрнутое и уменьшенное в 2 раза.

3. Действительное изображение увеличено в 2 раза

Фокусное расстояние линзы равно 12 см, а действительное изображение увеличено в 2 раза. Требуется найти расстояния до предмета и изображения. Увеличение по модулю равно b/a, поэтому возможны два соотношения: изображение вдвое дальше предмета или предмет вдвое дальше изображения. Второй случай нельзя отбросить заранее: оба положения могут дать действительное изображение.

1. Из формулы линзы и увеличения получаем две возможности. Если b = 2a, то 1/12 = 1/a + 1/(2a), откуда a = 18 см и b = 36 см.
2. Если a = 2b, то 1/12 = 1/(2b) + 1/b, откуда b = 18 см и a = 36 см.
3. Проверяем оба случая: расстояния предмета больше F = 12 см, а изображение действительное; отношение расстояний в каждом случае равно 2.

Ответ: возможны пары (a = 18 см, b = 36 см) и (a = 36 см, b = 18 см).

Типичные ошибки

Ошибка: считать, что собирающая линза всегда создаёт действительное изображение. Это легко предположить, потому что название линзы связано со схождением лучей, но при предмете внутри фокуса лучи за линзой расходятся. Проверьте положение предмета: если a < F, изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Ошибка: подставлять сантиметры при расчёте оптической силы в диоптриях. Так делают, забывая, что диоптрия соответствует обратному метру. Перед вычислением переведите фокусное расстояние в метры и проверьте порядок результата: для F = 0,2 м должно получиться 5 дптр.

Ошибка: путать фокус с оптическим центром. Оба понятия связаны с главной осью, поэтому на схеме их можно случайно поменять местами. Оптический центр находится в линзе, а фокус — на оси с одной из её сторон на расстоянии F; отметьте эти точки отдельно.

Ошибка: считать, что луч через фокус проходит сквозь линзу без отклонения. Это смешивает два правила построения: без изменения направления идёт луч через оптический центр, а параллельный оси луч после линзы проходит через фокус. Чтобы проверить схему, проследите луч по обе стороны линзы и примените соответствующее правило к каждой его части.

Связь с другими темами

Для понимания линз нужны закон преломления света и умение прослеживать луч при переходе между средами. Фокусное расстояние и оптическая сила используются в формуле тонкой линзы, а также при изучении оптических приборов и глаза. Построение изображений помогает разобраться, как работают фотоаппарат, микроскоп и телескоп. При анализе этих устройств те же правила показывают, где возникает изображение и каким оно будет.

Что запомнить

• Собирающая линза преломляет параллельные главной оси лучи так, что они сходятся в главном фокусе.
• Оптический центр тонкой линзы лежит на главной оптической оси.
• Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления.
• Оптическая сила равна обратному фокусному расстоянию в метрах и измеряется в диоптриях: D = 1/F.
• Если расстояние до предмета больше фокусного, изображение собирающей линзы действительное; если меньше — мнимое.
• Характер изображения определяют построением главных лучей или расчётом по формуле тонкой линзы.