§60. Изображение предмета в собирающей линзе

Определения и обозначения

Собирающая линза — линза, которая преломляет параллельные главной оптической оси лучи так, что после неё они сходятся в одной точке. Это свойство позволяет линзе собирать свет от предмета и создавать его изображение. По нему линзу отличают от рассеивающей, не полагаясь только на её внешний вид.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр и главные фокусы линзы. Оптический центр — точка тонкой линзы, через которую луч проходит практически без отклонения. Ось служит основной линией для чертежа: относительно неё отмечают предмет, фокусы и изображение.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления сходятся лучи, падавшие параллельно этой оси. Расстояние от оптического центра до фокуса обозначают F и называют фокусным расстоянием. Оно нужно для построения лучей и расчёта положения изображения.

Изображение предмета — совокупность точек, в которых пересекаются преломлённые лучи или их продолжения. Точки изображения соответствуют точкам предмета, от которых пришёл свет. Если встречаются сами лучи, изображение действительное; если только их продолжения — мнимое.

Как это устроено

Чтобы построить изображение точки, достаточно найти, где пересекутся любые два луча, вышедшие из неё и преломлённые линзой. Обычно выбирают луч через оптический центр: у тонкой линзы отклонения на её передней и задней границах почти компенсируются. Второй удобный луч до линзы проводят параллельно оси, потому что после преломления он направлен к главному фокусу. Эти правила дают простые линии построения, которые легко проверить геометрически.

Иногда вместо параллельного луча проводят луч через фокус до линзы: после преломления он идёт параллельно главной оси. Причина в обратимости хода света: если луч, падая параллельно оси, проходит через фокус, то свет, направленный из фокуса, выйдет параллельно оси. Третий луч полезен для проверки результата и помогает строить изображение, когда две другие линии на чертеже неудобны. Для каждой точки предмета пересечение лучей задаёт соответствующую точку изображения.

Место пересечения показывает положение изображения, а расстояние от него до оси — его высоту. Если верхушка предмета оказалась ниже оси, изображение перевёрнуто; если выше — прямое. Пересечение самих преломлённых лучей означает, что свет действительно собрался в этой точке: изображение можно получить на экране. Если лучи после линзы расходятся, а пересекаются лишь их продолжения назад, изображение мнимое и на экран его не спроецировать.

Свойства изображения меняются потому, что при изменении расстояния до линзы меняются углы преломлённых лучей и место их пересечения. Чем ближе предмет к фокусу со стороны, откуда падает свет, тем дальше от линзы уходит действительное изображение и тем большим оно становится. Когда предмет оказывается внутри фокусного расстояния, лучи за линзой уже не сходятся: продолжения пересекаются со стороны предмета. Так возникают мнимое, прямое и увеличенное изображение.

Положение предмета относительно F и 2F позволяет предсказать результат ещё до расчёта. Дальше 2F предмет даёт изображение между F и 2F; в точке 2F получается изображение в точке 2F. Между F и 2F изображение находится дальше 2F, а в фокусе лучи после линзы становятся параллельными и не встречаются на конечном расстоянии. Между линзой и фокусом пересекаются только продолжения лучей, поэтому изображение мнимое.

Изображение предмета в собирающей линзе при разных положениях предмета

Сначала найдите строку по положению предмета относительно F и 2F, затем прочитайте остальные свойства. F обозначает расстояние от линзы до фокуса, а 2F — удвоенное фокусное расстояние. Для предмета ровно в фокусе таблица описывает предельный случай: лучи после линзы параллельны.

Разбор задач

Предмет на расстоянии 2F

Предмет расположен перед собирающей линзой на расстоянии 2F. Нужно построить изображение и указать его свойства. Возьмём верхнюю точку предмета: её изображение найдём по пересечению двух главных лучей, а основание останется на оси.

1. От верхушки проведём луч через оптический центр; он практически не изменит направления.
2. Проведём второй луч параллельно главной оси; после линзы он пойдёт через фокус с противоположной стороны.
3. Пересечение лучей окажется на расстоянии 2F за линзой. Симметрия хода лучей при одинаковых расстояниях 2F по обе стороны линзы показывает, что высота изображения равна высоте предмета.

Ответ: изображение находится в точке 2F за линзой, оно действительное, перевёрнутое и равное предмету. Оно действительное, потому что встречаются сами преломлённые лучи. Верхушка оказывается ниже оси, поэтому изображение перевёрнуто.

Расстояние до изображения и увеличение

Фокусное расстояние линзы F = 10 см, предмет находится на расстоянии a = 30 см. Требуется найти расстояние b до изображения и линейное увеличение Г. Поскольку a больше 2F = 20 см, заранее ожидаем действительное уменьшенное изображение между F и 2F.

1. Запишем формулу тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b.
2. Выразим обратное расстояние до изображения: 1/b = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15, значит, b = 15 см.
3. Найдём увеличение: Г = b/a = 15/30 = 0,5. Меньшее единицы значение показывает, что изображение вдвое меньше предмета.

Ответ: изображение находится в 15 см за линзой, Г = 0,5. Оно действительное и перевёрнутое, поскольку предмет расположен дальше фокуса; его размер уменьшен в два раза. Результат согласуется с прогнозом: 15 см лежит между F и 2F.

Известно увеличение изображения

Линза с фокусным расстоянием F = 12 см даёт действительное перевёрнутое изображение, увеличенное в 3 раза. Найдём расстояния a и b от предмета и изображения до линзы. Для действительного изображения расстояния положительны, а увеличение по модулю задаёт отношение b/a = 3.

1. Из b/a = 3 получаем b = 3a.
2. Подставим это в формулу линзы: 1/12 = 1/a + 1/(3a) = 4/(3a).
3. Отсюда 3a = 48 см, поэтому a = 16 см; тогда b = 48 см.

Ответ: предмет находится в 16 см от линзы, изображение — в 48 см. Проверка: F = 12 см, 2F = 24 см, поэтому предмет действительно расположен между F и 2F, а изображение — дальше 2F. Это соответствует действительному перевёрнутому увеличенному изображению.

Типичные ошибки

Путать собирающую и рассеивающую линзы по внешнему виду. Одинаковый силуэт на схеме не всегда подсказывает свойства линзы, а условные рисунки могут быть схематичными. Ошибка возникает, если не анализировать ход света. Проверьте себя: параллельные оси лучи после собирающей линзы должны сходиться в фокусе.

Строить изображение по одному лучу. Одна линия показывает направление луча, но не определяет точку пересечения с другим лучом. Поэтому по ней нельзя надёжно установить положение изображения. Проведите хотя бы два главных луча от одной точки предмета и проверьте, где они пересекаются.

Считать изображение действительным при любом положении предмета. Такое предположение неверно, когда предмет находится между линзой и фокусом: после линзы лучи расходятся. Ошибку допускают, не отличая сами лучи от их продолжений. Проверьте, что именно пересекается на чертеже: реальные линии или проведённые назад продолжения.

Смешивать величины в формуле тонкой линзы. В выражении 1/F = 1/a + 1/b все расстояния должны быть в согласованных единицах, а F, a и b отвечают за разные отрезки. Путаница обычно появляется, когда формулу сразу подставляют без подписей. Запишите известные величины рядом с обозначениями, переведите их в одни единицы и после расчёта проверьте результат по положению предмета относительно F и 2F.

Связь с другими темами

Для понимания линзы нужны законы преломления света и представление о том, как луч меняет направление на границе сред. Также пригодятся знания об основных элементах тонкой линзы и умение строить геометрические изображения. Расчёты опираются на работу с отношениями и формулами расстояний.

Те же закономерности объясняют работу глаза и оптических приборов. Объектив фотоаппарата создаёт изображение на матрице, а микроскоп и телескоп используют линзы для получения изображений удалённых или очень мелких объектов. Поэтому построения помогают понять не только школьную оптику, но и устройство приборов.

Что запомнить

• Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления.
• Параллельный главной оптической оси луч после собирающей линзы проходит через её главный фокус.
• При расположении предмета дальше фокуса изображение действительное и перевёрнутое.
• Предмет между линзой и фокусом даёт мнимое, прямое и увеличенное изображение.
• В точке 2F изображение получается в точке 2F и равно предмету по размеру.
• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/a + 1/b.
• Линейное увеличение Г связывает размер изображения с размером предмета; по модулю Г = b/a.