§61. Формула тонкой собирающей линзы

Определения и обозначения

Тонкая собирающая линза — линза, толщиной которой в расчётах пренебрегают и которая собирает параллельные лучи в фокусе. Иначе говоря, её можно считать преломляющей поверхностью без заметной толщины. Такая модель упрощает построение хода лучей и вычисления.

Главный фокус линзы — точка на главной оптической оси, в которой после преломления собираются лучи, падающие на собирающую линзу параллельно этой оси. Фокус показывает, куда направляются такие лучи. Зная его положение, можно описать действие линзы на свет.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса; обозначается F. У собирающей линзы оно положительно. Эта величина характеризует линзу и нужна для расчёта положения изображения.

Формула тонкой линзы — связь фокусного расстояния с расстояниями от линзы до предмета и изображения: 1/F = 1/d + 1/f. Здесь d — расстояние от предмета до линзы, а f — расстояние от линзы до изображения. Формула позволяет найти неизвестную величину, если известны две другие.

Как это устроено

Собирающая линза преломляет лучи так, что их направление меняется к главной оптической оси. Если лучи до линзы параллельны этой оси, после преломления они сходятся в одной точке — главном фокусе. Причина в форме линзы: её поверхности изменяют направление лучей навстречу друг другу. Расстояние от центра линзы до места схождения и есть фокусное расстояние F.

Формулу линзы можно получить из построения предмета и его изображения. Проведём от вершины предмета луч, параллельный главной оси: после линзы он пройдёт через фокус. Ещё один луч направим через оптический центр: в модели тонкой линзы он практически не меняет направления. Из подобных треугольников, образованных этими лучами и осью, получают связь размеров предмета и изображения с расстояниями d, f и F; после преобразования выходит 1/F = 1/d + 1/f.

Расстояние d отсчитывают от предмета до оптического центра линзы, а f — от центра до изображения. Если лучи после линзы действительно пересекаются, изображение действительное и f положительно. Если пересекаются только продолжения лучей, изображение мнимое: оно расположено по ту же сторону линзы, что и предмет, поэтому f берут со знаком минус. Такое правило знаков позволяет одной формулой описывать оба случая.

Чтобы найти положение изображения, в формулу подставляют известные F и d, а затем выражают f: 1/f = 1/F − 1/d. Положительное значение f означает действительное изображение, отрицательное — мнимое. Знак результата не просто показывает направление, но и помогает проверить, соответствует ли расчёт расположению предмета относительно фокуса.

Положение предмета относительно F определяет, где возникнет изображение и каким оно будет. При d > F лучи после линзы сходятся, поэтому изображение действительное и перевёрнутое; при d < F они расходятся, а продолжения лучей дают мнимое, прямое и увеличенное изображение. Чем ближе предмет к фокусу со стороны за пределами F, тем дальше от линзы получается изображение. Размер можно оценить по увеличению: отношение высоты изображения к высоте предмета равно f/d по модулю.

Положение и свойства изображения в собирающей линзе

Сначала найдите расстояние предмета от линзы и сравните его с F и 2F. Затем по таблице определите положение и свойства изображения; границы «между» не включают сами точки F и 2F, которые указаны отдельно. Таблица описывает стандартные случаи для предмета, расположенного перед собирающей линзой.

Разбор задач

Задача 1

Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найдём расстояние до изображения. Сначала используем формулу тонкой линзы, затем проверим знак ответа: он покажет, действительное изображение или мнимое.

1. Записываем данные: d = 30 см, F = 10 см.
2. Выражаем обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/F − 1/d = 1/10 − 1/30 = 2/30 = 1/15 см⁻¹.
3. Получаем f = 15 см. Значение положительное, значит, изображение действительное.

Ответ: изображение находится в 15 см от линзы по другую сторону от предмета. Проверка по положению предмета тоже согласуется с результатом: d = 30 см больше 2F = 20 см, поэтому изображение должно быть между F и 2F.

Задача 2

Изображение получено на расстоянии 20 см от линзы, предмет находится в 60 см от неё. Требуется найти фокусное расстояние и оптическую силу. Поскольку в условии сказано, что изображение получено, считаем его действительным и берём f положительным. Оптическую силу рассчитываем после перевода F в метры.

1. Записываем данные: f = 20 см, d = 60 см.
2. Находим обратное фокусное расстояние: 1/F = 1/d + 1/f = 1/60 + 1/20 = 4/60 = 1/15 см⁻¹. Следовательно, F = 15 см.
3. Переводим в метры: F = 0,15 м. Оптическая сила D = 1/F = 1/0,15 ≈ 6,7 дптр.

Ответ: F = 15 см, оптическая сила линзы приблизительно равна 6,7 дптр. Единицы важно привести к метрам именно при расчёте оптической силы, поскольку диоптрия равна обратному метру.

Задача 3

Фокусное расстояние собирающей линзы равно 12 см, а предмет поставили в 8 см от неё. Предмет оказался ближе к линзе, чем фокус, поэтому ожидаем мнимое изображение. Его знак и положение проверим расчётом по формуле.

1. Записываем данные: F = 12 см, d = 8 см.
2. Находим обратное расстояние до изображения: 1/f = 1/12 − 1/8 = 2/24 − 3/24 = −1/24 см⁻¹.
3. Получаем f = −24 см. Минус означает, что изображение находится по ту же сторону линзы, что и предмет.

Ответ: мнимое изображение находится в 24 см от линзы со стороны предмета; оно прямое и увеличенное. Проверка здравым смыслом: при d < F собирающая линза даёт именно такое изображение.

Типичные ошибки

Путают расстояние до изображения с фокусным расстоянием, хотя это разные величины. F задаётся свойствами линзы, а f меняется при перемещении предмета; из-за похожих обозначений их легко смешать. Проверьте себя: в задаче отдельно выпишите F, d и f и сверяйте, какую величину требуется найти.

Подставляют сантиметры и метры вперемешку, из-за чего слагаемые в формуле оказываются несопоставимыми. Обычно это происходит при переходе от расчёта расстояний к оптической силе. До вычислений приведите все расстояния к одной единице, а для D переведите F в метры.

Для мнимого изображения записывают положительное расстояние, забывая о принятом соглашении знаков. Такое случается, если ориентироваться только на длину отрезка и не учитывать сторону, где расположено изображение. Проверьте знак f: он должен быть отрицательным для мнимого изображения, а результат формулы — соответствовать расположению предмета внутри фокуса.

Считают, что собирающая линза всегда даёт действительное изображение. Такое ожидание возникает из названия линзы, хотя лучи после неё могут расходиться, если предмет находится между линзой и фокусом. Перед расчётом сравните d с F: при d < F изображение мнимое, прямое и увеличенное.

Связь с другими темами

Для работы с формулой нужно уметь строить изображение по главным лучам и знать, как они проходят через собирающую линзу. Эти построения показывают, где лучи действительно пересекаются, а где пересекаются только их продолжения, и помогают понять знаки расстояний. Геометрические построения также объясняют, откуда берётся связь величин в формуле.

Формула тонкой линзы применяется при расчёте оптической силы и разборе коррекции дефектов зрения. Она также помогает объяснить действие оптических приборов, например фотоаппарата и микроскопа. В каждом случае расчёт связывает свойства линзы с положением предмета и получаемого изображения.

Что запомнить

• Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f.
• Фокусное расстояние собирающей линзы положительно.
• Если предмет дальше фокуса, изображение действительное и перевёрнутое.
• Если предмет ближе фокуса, изображение мнимое, прямое и увеличенное.
• При предмете в фокусе после линзы идут параллельные лучи.
• Для расчётов все расстояния выражают в одинаковых единицах.