§62. Рассеивающие линзы

Определения и обозначения

Рассеивающая линза — линза, которая преобразует параллельный пучок света в расходящийся. Это значит, что после преломления лучи удаляются друг от друга, а не собираются в одной точке. Такое название сразу подсказывает, как меняется ход света.

Оптический центр — точка тонкой линзы, проходящий через которую луч практически не меняет направления. Тонкой называют линзу, толщиной которой в задачах можно пренебречь по сравнению с остальными расстояниями. Луч через оптический центр помогает построить изображение без расчёта преломления на каждой поверхности.

Главный фокус рассеивающей линзы — точка на главной оптической оси, из которой после линзы как бы выходят лучи, падавшие параллельно оси. Главная оптическая ось проходит через центры кривизны поверхностей линзы и её оптический центр. Фокус нужен для построения лучей и описания действия линзы.

Фокусное расстояние — расстояние от оптического центра до главного фокуса; для рассеивающей линзы оно отрицательно в принятом знаковом соглашении. Обозначают его буквой F, а знак показывает, что фокус мнимый и расположен со стороны падающего света. По фокусному расстоянию можно определить оптическую силу линзы: D = 1/F.

Как это устроено

Рассеивающая линза обычно тоньше в середине и толще у краёв. Когда свет входит в линзу и выходит из неё, на каждой границе меняется его скорость, поэтому луч преломляется. Из-за формы поверхностей направления преломления в итоге отклоняют лучи от главной оси, и пучок становится расходящимся.

Луч, падающий параллельно главной оси, после линзы отклоняется от неё. Сам этот луч не пересекает ось за линзой, поэтому действительного фокуса там нет. Если мысленно продолжить луч назад, его продолжение пересечёт ось в точке перед линзой; именно эту точку считают мнимым главным фокусом.

Для построения изображения удобно брать два луча, выходящих из одной точки предмета. Первый проходит через оптический центр и практически продолжает движение по прямой. Второй падает параллельно главной оси, а после линзы расходится так, будто вышел из фокуса; для построения проводят его продолжение назад через фокус.

Пересечение продолжений лучей показывает, откуда наблюдателю кажется исходящим свет. Для действительного предмета эти продолжения пересекаются со стороны предмета, поэтому изображение мнимое. Оно прямое, поскольку верх предмета остаётся сверху, и уменьшенное, поскольку точка изображения расположена ближе к оси, чем соответствующая точка предмета.

Расстояния связаны формулой тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b, где F — фокусное расстояние, a — расстояние до предмета, b — расстояние до изображения. Для действительного предмета a положительно, а для мнимого изображения b отрицательно; у рассеивающей линзы F также отрицательно. Знаки нельзя отбрасывать: они сообщают, по какую сторону линзы находится изображение и действительное ли оно.

Основные свойства рассеивающей линзы

Сопоставляйте свойства в таблице, когда строите ход лучей или проверяете вычисления. Особенно внимательно смотрите на знаки фокусного расстояния и на то, пересекаются ли сами лучи или только их продолжения. Это помогает не спутать мнимый фокус с действительным.

Разбор задач

Построение изображения

Постройте изображение предмета, расположенного перед рассеивающей линзой, и укажите его характер. Предмет считаем действительным, то есть свет от него падает на линзу. Для построения достаточно двух лучей из верхней точки предмета.

1. Проведите луч от верхушки предмета через оптический центр линзы. В модели тонкой линзы он не меняет направления.
2. Проведите из той же точки луч параллельно главной оси. После линзы направьте его так, чтобы продолжение назад проходило через мнимый фокус.
3. Продлите оба луча за линзой назад, к предмету. Точка пересечения продолжений задаёт верхушку изображения, а её проекция на ось — основание.

Ответ: изображение находится со стороны предмета и является мнимым. Оно прямое и уменьшенное. Пересекаются только продолжения лучей, поэтому изображение нельзя получить на экране.

Расстояние до изображения

Рассеивающая линза имеет фокусное расстояние −20 см, а предмет находится в 30 см от линзы. Найдите расстояние до изображения по формуле тонкой линзы. Используйте соглашение, при котором действительный предмет имеет положительное расстояние, а мнимое изображение — отрицательное.

1. Запишите формулу: 1/F = 1/a + 1/b. Здесь F = −20 см, a = 30 см, а b требуется найти.
2. Подставьте значения: 1/b = 1/F − 1/a = −1/20 − 1/30 = −1/12 см⁻¹.
3. Обратите величину: b = −12 см. Минус означает, что изображение находится со стороны предмета.

Ответ: расстояние до изображения равно −12 см, или 12 см по модулю от линзы со стороны предмета. Отрицательный знак подтверждает, что изображение мнимое. Это согласуется с построением для рассеивающей линзы.

Высота и характер изображения

Предмет высотой 6 см расположен в 40 см от рассеивающей линзы с фокусным расстоянием −24 см. Определите положение, высоту и характер изображения. Расстояние до действительного предмета берите со знаком плюс, а расстояние до мнимого изображения — со знаком минус.

1. Найдите расстояние изображения: 1/b = 1/F − 1/a = −1/24 − 1/40 = −1/15 см⁻¹, поэтому b = −15 см.
2. Вычислите увеличение: Γ = −b/a = −(−15)/40 = 0,375. Положительное увеличение означает, что изображение прямое.
3. Найдите высоту: h′ = Γh = 0,375 · 6 см = 2,25 см. Поскольку высота меньше исходных 6 см, изображение уменьшенное.

Ответ: изображение расположено в 15 см от линзы со стороны предмета, его высота равна 2,25 см. Оно мнимое, прямое и уменьшенное. Отрицательный знак b и положительный знак увеличения позволяют проверить характер изображения.

Типичные ошибки

• Главный фокус рассеивающей линзы иногда называют действительным, потому что видят пересечение линий на чертеже. Ошибка возникает, когда не различают лучи и их продолжения. Проверьте, пересекаются ли физические лучи после линзы: если только продолжения, фокус мнимый.

• Фокусное расстояние рассеивающей линзы могут записать положительным, ориентируясь только на обычное расстояние между точками. Так забывают, что в расчётной модели знак показывает тип фокуса. Сверьте знак с правилом: у рассеивающей линзы F < 0, а оптическая сила D = 1/F тоже отрицательна.

• Луч, падающий параллельно оси, иногда строят так, будто после линзы он проходит через фокус. Так переносят правило для собирающей линзы, не учитывая рассеяние пучка. Продлите преломлённый луч назад: через фокус проходит именно его продолжение.

• От действительного предмета могут ожидать действительное или перевёрнутое изображение, как у собирающей линзы в некоторых случаях. Причина — смешение свойств линз с разным действием на лучи. Проверьте построение: для рассеивающей линзы продолжения лучей дают изображение на стороне предмета, оно прямое и уменьшенное.

Связь с другими темами

Для объяснения работы линзы нужны закон преломления света и представление о том, как свет меняет направление на границе сред. Правила построения изображения, знакомые по собирающей линзе, помогают выбрать главные лучи, но для рассеивающей линзы лучи и их продолжения нужно трактовать иначе. Знание этих основ позволяет строить изображение без полного расчёта преломления на каждой поверхности.

Фокусное расстояние связывает геометрию линзы с её оптической силой, а формула тонкой линзы применяется при расчёте оптических систем. Рассеивающие линзы также используют для коррекции близорукости: они помогают изменить направление света так, чтобы изображение формировалось на сетчатке. Поэтому знаки расстояний и оптической силы важны не только в задачах, но и при описании реальных оптических устройств.

Что запомнить

• Рассеивающая линза делает параллельный пучок расходящимся.
• Главный фокус рассеивающей линзы мнимый.
• Фокусное расстояние рассеивающей линзы отрицательно в принятом знаковом соглашении.
• Луч через оптический центр тонкой линзы практически не меняет направления.
• Продолжения лучей после рассеивающей линзы дают мнимое, прямое и уменьшенное изображение действительного предмета.