§63. Изображения предмета в рассеивающей линзе

Определения и обозначения

Рассеивающая линза — линза, которая превращает параллельный пучок света в расходящийся; её фокусное расстояние считают отрицательным. Это означает, что после линзы лучи не сходятся сами, а продолжают удаляться друг от друга. Знак фокусного расстояния нужен, чтобы правильно подставлять его в формулы и различать собирающее и рассеивающее действие линз.

Главная оптическая ось — прямая, проходящая через оптический центр линзы и центры её кривизны. Оптический центр — точка, через которую луч в модели тонкой линзы проходит без изменения направления. Ось служит ориентиром для построений и позволяет отмечать на схеме фокус и положение предмета.

Мнимое изображение — изображение, образованное пересечением продолжений расходящихся лучей; его нельзя получить на экране. Глаз воспринимает лучи так, словно они пришли из точки пересечения продолжений. Это определение помогает отличить мнимое изображение от действительного, в котором сходятся сами лучи.

Оптическая сила линзы — величина, равная обратному фокусному расстоянию: D = 1/F, где F выражено в метрах. Её измеряют в диоптриях; отрицательный знак у рассеивающей линзы сохраняется. Оптическая сила показывает, насколько сильно линза изменяет ход света, и удобна при сравнении линз.

Как это устроено

Параллельные главной оптической оси лучи после рассеивающей линзы расходятся, потому что форма линзы отклоняет их от оси. Если продлить эти лучи назад прямыми линиями, продолжения пересекутся в точке перед линзой. Эту точку называют мнимым фокусом: сами лучи там не проходят, но кажутся исходящими оттуда.

Чтобы построить изображение вершины предмета, достаточно двух характерных лучей. Первый проводят через оптический центр: для тонкой линзы его направление не меняется, поскольку отклонения на поверхностях взаимно компенсируются. Второй до линзы направляют параллельно главной оси; после рассеивающей линзы он идёт так, будто вышел из мнимого фокуса, поэтому его продолжение проводят назад через фокус.

Для действительного предмета лучи после линзы расходятся, а значит, встретиться могут только их продолжения. Поэтому изображение всегда мнимое, и на экран его перенести нельзя. Лучи от верхней точки предмета пересекаются продолжениями между линзой и мнимым фокусом; изображение остаётся по ту же сторону оси, что и предмет, то есть оно прямое, а точка пересечения ближе к оси — изображение уменьшенное.

Положение и размер изображения меняются вместе с расстоянием до предмета. Когда предмет приближается к линзе, расходящиеся лучи после неё становятся направлены так, что их продолжения пересекаются ближе к линзе; при этом точка изображения удаляется от оси, и изображение становится крупнее. Однако оно не достигает размера предмета: для действительного предмета рассеивающая линза сохраняет уменьшение.

Для расчёта используют формулу тонкой линзы 1/F = 1/a + 1/b, где a — расстояние от предмета до линзы, b — расстояние от линзы до изображения, а F — фокусное расстояние. Если действительный предмет находится перед линзой, a положительно; мнимое изображение обозначается отрицательным b, а F рассеивающей линзы тоже отрицательно. Линейное увеличение Γ = −b/a связывает высоты изображения и предмета: h′ = Γh; важно применять одну и ту же систему знаков во всех вычислениях.

Изображение действительного предмета в рассеивающей линзе

Таблица описывает изображение именно действительного предмета, то есть предмета, от которого свет реально падает на линзу. При решении задачи сначала определите знак расстояния до изображения, а затем сверьте свойства с таблицей. Если расчёт показывает действительное, перевёрнутое или увеличенное изображение, проверьте знаки и вычисления.

Разбор задач

Задача 1. Построить изображение стрелки, расположенной перед рассеивающей линзой на расстоянии, большем модуля фокусного расстояния. Численных данных для вычисления не требуется: важны направление лучей и их продолжений. Построение выполняем от вершины стрелки, поскольку её основание лежит на главной оси.

1. Проведите главную оптическую ось, изобразите линзу и отметьте мнимый фокус со стороны стрелки.
2. Из вершины стрелки проведите луч через оптический центр. Он проходит через линзу без изменения направления.
3. Из той же вершины проведите луч параллельно оси до линзы. После неё изобразите расходящийся луч так, чтобы его продолжение назад прошло через мнимый фокус.
4. Продлите оба луча после линзы назад пунктиром. Точка пересечения продолжений задаёт вершину мнимого изображения; опустите из неё перпендикуляр на ось.

Ответ: изображение находится между линзой и её мнимым фокусом, оно мнимое, прямое и уменьшенное. На экране его получить нельзя, потому что в найденной точке сходятся лишь продолжения лучей.

Задача 2. Фокусное расстояние рассеивающей линзы F = −20 см, предмет находится в 30 см от линзы. Найдите положение изображения по формуле тонкой линзы. Расстояние предмета a = 30 см положительно, так как предмет действительный; для изображения используем знаковую величину b.

1. Запишите формулу: 1/F = 1/a + 1/b. Выразите неизвестное: 1/b = 1/F − 1/a.
2. Подставьте данные со знаками: 1/b = −1/20 − 1/30 = −1/12 см⁻¹.
3. Возьмите обратную величину: b = −12 см. Минус указывает, что изображение мнимое и расположено со стороны предмета.

Ответ: изображение находится в 12 см от линзы со стороны предмета. Это расстояние меньше модуля фокусного расстояния 20 см, поэтому результат согласуется с построением: изображение лежит между линзой и мнимым фокусом.

Задача 3. Предмет высотой 4 см расположен в 40 см от рассеивающей линзы с F = −20 см. Найдите положение и высоту изображения, укажите его свойства. Сначала определим расстояние до изображения, затем используем увеличение, чтобы найти высоту и ориентацию.

1. По формуле линзы 1/b = 1/F − 1/a = −1/20 − 1/40 = −3/40 см⁻¹, откуда b = −40/3 см ≈ −13,3 см.
2. Вычислите линейное увеличение: Γ = −b/a = −(−13,3)/40 ≈ 0,33. Положительное значение означает, что изображение прямое.
3. Найдите высоту: h′ = Γh ≈ 0,33 · 4 см ≈ 1,33 см. Поскольку увеличение меньше единицы, изображение меньше предмета.

Ответ: изображение расположено примерно в 13,3 см от линзы со стороны предмета, его высота около 1,33 см. Оно мнимое, прямое и уменьшенное; расстояние до него меньше 20 см, то есть оно находится между линзой и мнимым фокусом.

Типичные ошибки

Изображение называют действительным, потому что лучи после линзы проходят через область, где оно видно. Но в этой области расходящиеся лучи не пересекаются: пересекаются только их продолжения, а значит, изображение мнимое. Проверьте себя: если для его получения пришлось продолжать лучи назад, на экран его не спроецировать.

Иногда луч через оптический центр на схеме ошибочно изгибают. В модели тонкой линзы такой луч проходит прямо, потому что его направление после линзы не меняется. Для проверки проследите линию через центр: она должна быть непрерывной прямой.

Мнимый фокус рассеивающей линзы могут поместить с той стороны, куда идут лучи после линзы. Это ошибка: параллельные лучи расходятся, а их продолжения пересекаются со стороны падающего света. Проверьте положение фокуса, продлив назад хотя бы два луча, шедших до линзы параллельно оси.

Если подставить в формулу фокусное расстояние без знака или смешать правила знаков, получится неверное положение изображения. У рассеивающей линзы F отрицательно, а для мнимого изображения b отрицательно при принятом здесь соглашении. Перед вычислением подпишите знаки всех величин и проверьте, что итог согласуется с построением и находится между линзой и фокусом.

Связь с другими темами

Для построений нужны знания о главной оптической оси, оптическом центре, фокусе и ходе лучей в линзах. Расчёты опираются на формулу тонкой линзы и линейное увеличение, знакомые по изучению собирающей линзы; меняется прежде всего знак фокусного расстояния и характер изображения. Рассеивающие линзы применяют в оптических приборах. Например, их используют в очках для коррекции близорукости.

Что запомнить

• Рассеивающая линза имеет отрицательное фокусное расстояние.
• Параллельные оси лучи после линзы расходятся, а их продолжения проходят через мнимый фокус.
• Для действительного предмета изображение рассеивающей линзы всегда мнимое.
• Такое изображение прямое и уменьшенное.
• Изображение находится между линзой и её мнимым фокусом.
• Мнимое изображение нельзя получить на экране.