"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Две линзы, поставленные одна за другой, образуют оптическую систему: первая меняет направление лучей, а вторая преломляет их повторно. Чтобы описать действие системы в целом, её для параксиальных лучей можно считать эквивалентной одной линзой. Сила такой системы зависит не только от сил отдельных линз, но и от расстояния между ними. Зная её оптическую силу, можно найти фокусное расстояние и понять, собирает система лучи или рассеивает.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Система двух линз — две линзы, через которые свет проходит последовательно; расстояние между ними обозначают d. Если линзы тонкие, а рассматриваемые лучи близки к главной оптической оси, систему можно описывать как эквивалентную одну линзу. Такое приближение позволяет рассчитывать общее действие системы без отдельного анализа каждого луча.
Фокусное расстояние системы — расстояние от её главной плоскости до главного фокуса. Главная плоскость — условная плоскость, относительно которой удобно описывать преломление в системе. Фокусное расстояние показывает, насколько сильно система изменяет направление лучей, и нужно для расчёта изображений.
Оптическая сила системы — величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Её измеряют в диоптриях (дптр), причём 1 дптр = 1 м⁻¹. Оптическая сила помогает сравнивать системы и находить их фокусное расстояние.
Главные фокусы системы — точки, в которых собираются параксиальные лучи, падающие параллельно главной оптической оси, либо пересекаются продолжения этих лучей. Параксиальными называют лучи, идущие близко к оси и под небольшими углами к ней. Для системы могут быть определены фокусы со стороны падающего и выходящего света.
Параллельный главной оси пучок сначала встречает первую линзу. После собирающей линзы лучи обычно сходятся, а после рассеивающей — расходятся так, словно вышли из мнимого источника. Вторая линза преломляет уже изменённый пучок: она может усилить его схождение, ослабить его или даже изменить характер движения лучей. Поэтому система действует не как две независимые линзы, а как последовательность двух преломлений.
Силу системы удобно выражать через оптические силы линз D₁ и D₂ и расстояние d между ними. Для тонких линз в воздухе при параксиальных лучах получается формула D = D₁ + D₂ − dD₁D₂. Первые два слагаемых отражают действие каждой линзы, а последнее учитывает, что между ними луч успевает пройти некоторое расстояние. Именно поэтому при ненулевом промежутке одной суммы сил недостаточно.
Найдя оптическую силу системы, её фокусное расстояние получают обращением величины: F = 1/D. Если D выражена в диоптриях, F получится в метрах; например, при D = 2 дптр имеем F = 0,5 м. Знаки сохраняют: собирающая линза имеет положительную силу, рассеивающая — отрицательную, а результат для системы может быть как положительным, так и отрицательным.
Если линзы расположены вплотную, расстояние между ними равно нулю. Тогда член dD₁D₂ исчезает, и формула упрощается до D = D₁ + D₂. Складывают именно алгебраические значения, поэтому действие рассеивающей линзы вычитается из действия собирающей. Это правило удобно применять для тонких линз, находящихся в непосредственном контакте.
Знак итоговой силы определяет, как система действует на параллельный пучок. При D > 0 система собирающая, потому что лучи после неё сходятся к действительному фокусу; при D < 0 она рассеивающая, и пересекаются лишь продолжения лучей. Если D = 0, формула F = 1/D не задаёт конечного фокусного расстояния. Такой результат означает, что система не обладает конечным фокусом и в рассматриваемом приближении не собирает и не рассеивает параллельный пучок.
| Случай | Оптическая сила системы | Фокусное расстояние системы | Условие или пояснение |
|---|---|---|---|
| Линзы расположены вплотную | D = D₁ + D₂ | F = 1/(D₁ + D₂) | d = 0; силы складывают с учётом знаков |
| Линзы разделены расстоянием d | D = D₁ + D₂ − dD₁D₂ | F = 1/D | d выражено в метрах |
| Система собирающая | D > 0 | F > 0 | Параллельные лучи сходятся |
| Система рассеивающая | D < 0 | F < 0 | Сходятся продолжения лучей |
| Оптическая сила системы равна нулю | D = 0 | Конечного значения нет | Фокусное расстояние в предельном смысле бесконечно |
Сначала выберите строку, соответствующую расположению линз, и вычислите D с учётом знаков. Затем определите характер системы по знаку результата и найдите F, если D не равна нулю. Проверьте, что d переведено в метры, а F записано в метрах.
Даны тонкие линзы с оптическими силами +3 дптр и +2 дптр, расположенные вплотную. Нужно найти силу системы и её фокусное расстояние. Поскольку расстояние между линзами равно нулю, используем формулу для соприкасающихся линз. Положительные знаки обеих сил сохраняются.
Положительный результат означает, что система собирающая. В ответе указываем D = +5 дптр и F = +0,20 м. Перевод в сантиметры допустим, но в формуле обратной величины расстояние сначала выражено в метрах.
Оптические силы линз равны +4 дптр и −2 дптр, линзы расположены вплотную. Требуется определить общую оптическую силу и характер действия системы. Отрицательное значение второй линзы важно сохранить: оно показывает, что та ослабляет собирающее действие первой. Расстояние между линзами не добавляет отдельного члена, потому что d = 0.
Система сохраняет собирающее действие, хотя рассеивающая линза его уменьшает. Ответ: D = +2 дптр, система собирающая. Если требуется фокусное расстояние, оно равно F = 1/2 м = 0,5 м.
Даны линзы с силами +5 дптр и +3 дптр, расстояние между ними — 0,10 м. Нужно найти силу системы и её фокусное расстояние. Здесь нельзя просто сложить силы: между линзами лучи проходят расстояние, поэтому учитываем поправочный член. Обе линзы собирающие, следовательно, обе силы положительны.
Единицы согласованы: произведение dD₁D₂ имеет размерность диоптрии, как и остальные слагаемые. Полученная сила положительна, значит система собирающая. Ответ: D = +6,5 дптр, F ≈ +0,154 м.
Ошибка — складывать оптические силы, не проверив расстояние между линзами. Такое упрощение верно лишь при d = 0, но его часто переносят на любую систему. Перед вычислением выясните, соприкасаются ли линзы: при промежутке используйте полную формулу с членом −dD₁D₂.
В формулу подставляют расстояние в сантиметрах, хотя d должно быть выражено в метрах. Это происходит из-за привычки измерять небольшие промежутки в сантиметрах, но результат вычисления тогда становится неверным в десять или сто раз. Проверьте единицы до подстановки: например, 10 см = 0,10 м.
Рассеивающей линзе иногда приписывают положительную оптическую силу, потому что в вычислениях используют только числовое значение. Но знак показывает тип действия линзы и влияет на итог системы. Записывайте рассеивающую линзу со знаком минус и проверяйте, не потерялся ли он при подстановке.
Оптическую силу путают с фокусным расстоянием и считают, что эти величины равны. Они обратны друг другу, а F = 1/D выражает F в метрах, если D задана в диоптриях. Для самопроверки умножьте найденные D и F: при ненулевой силе произведение должно быть равно единице.
Для расчёта системы нужны формулы тонкой линзы и правила построения изображений: они объясняют, как каждая линза меняет ход лучей. Понятие оптической силы и перевод метров в диоптрии позволяют работать с величинами в согласованных единицах. Тот же подход применяют при расчёте сложных оптических систем — например, объективов и корректирующих устройств. Знание знаков фокусного расстояния помогает отличать собирающее действие от рассеивающего.
Почему оптические силы линз можно просто складывать только тогда, когда линзы расположены вплотную?
Когда линзы соприкасаются, лучи переходят от одной к другой без распространения на заметное расстояние. Поэтому действие каждой линзы добавляется непосредственно к действию предыдущей, и D = D₁ + D₂. Если линзы разделены, зазор меняет ход лучей, и появляется слагаемое, зависящее от расстояния.
В каких единицах нужно подставлять расстояние между линзами в формулу?
Расстояние d подставляют в метрах, поскольку оптическая сила измеряется в диоптриях, то есть в обратных метрах. Например, 10 см нужно записать как 0,10 м. Подстановка сантиметров без перевода даст неверный результат.
Как учитывать рассеивающую линзу при расчёте системы?
Оптическую силу рассеивающей линзы записывают со знаком минус. Затем подставляют это алгебраическое значение в формулу системы, не заменяя его модулем. Например, для линз +4 дптр и −2 дптр, стоящих вплотную, сила системы равна +2 дптр.
Что означает отрицательная оптическая сила системы?
Отрицательная сила означает, что система в целом рассеивает параксиальные лучи. Её главный фокус является мнимым: лучи после системы расходятся, а пересекаются их продолжения. Фокусное расстояние такой системы также отрицательно.
Что означает нулевая оптическая сила системы и как в этом случае понимать её фокусное расстояние?
При D = 0 система не собирает и не рассеивает параллельный пучок так, как это делает линза с конечным фокусным расстоянием. Формула F = 1/D в этом случае не даёт конечного значения: говорят, что фокусное расстояние бесконечно. Это предельный случай, а не обычная линза с конечным фокусом.
§64. Фокусное расстояние и оптическая сила системы из двух линз
