§57. Построение изображений и хода лучей при преломлении света

Определения и обозначения

Предмет — точка или тело, от которого исходят падающие на границу раздела лучи. Если лучи действительно расходятся от точки, предмет действительный; если к точке сходятся лишь их продолжения, предмет мнимый. Это различие нужно учитывать, чтобы правильно выбрать направления лучей до поверхности.

Изображение — точка, в которой после преломления пересекаются лучи или их продолжения. Чтобы найти его положение, прослеживают не менее двух лучей от одной точки предмета и отмечают, где они сходятся или кажутся сходящимися. Так строят изображение каждой точки тела.

Действительное изображение образуется там, где пересекаются сами преломлённые лучи. В этой точке световая энергия действительно собирается, поэтому поставленный туда экран перехватывает лучи и на нём возникает изображение. Оно может быть получено и без экрана, например наблюдением в пространстве.

Мнимое изображение возникает в точке пересечения продолжений преломлённых лучей. Сами лучи в этой точке не проходят, а лишь создают впечатление, будто выходят из неё. Поэтому экран, помещённый туда, не зафиксирует изображение: для экрана нужны лучи, реально попадающие на его поверхность.

Как это устроено

Когда луч пересекает границу двух прозрачных сред, часть его пути проходит уже в другой среде, где свет распространяется с иной скоростью. Из-за этого направление распространения меняется: возникает преломление. Угол нового направления зависит от угла падения и показателей преломления сред, поэтому луч нельзя строить по правилам отражения. Количественно связь углов задаёт закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β.

После преломления лучи могут расходиться, хотя наблюдателю кажется, что они выходят из одной точки. Чтобы найти изображение в таком случае, мысленно продолжают лучи назад до их пересечения. Это следует из обратимости светового пути: если направление света обратить, тот же путь будет пройден в обратную сторону. Поэтому построение продолжений помогает определить видимое положение источника, даже если в этой точке свет не собирается.

У сферической преломляющей поверхности вводят главную оптическую ось — прямую, проходящую через центр кривизны и вершину поверхности. Центр кривизны — центр сферы, частью которой является поверхность. Радиус, проведённый к любой точке сферы, перпендикулярен поверхности в этой точке. Поэтому луч, направленный через центр кривизны, падает по нормали: угол падения равен нулю, и луч продолжает путь без отклонения.

Для лучей, близких к главной оптической оси, используют фокус — точку, связанную с преломлением лучей, идущих параллельно оси. В зависимости от направления преломления такой луч проходит через фокус или выходит из поверхности так, как если бы шёл из фокуса. Это позволяет построить луч, не вычисляя его угол отдельно. Какой именно вариант использовать, зависит от формы поверхности и соотношения показателей преломления сред.

Чтобы построить изображение точки, проводят от неё два характерных луча и прослеживают их после границы. Два направления нужны потому, что только одно пересечение определяет точку однозначно; один луч может лишь указать линию возможного положения изображения. Если преломлённые лучи пересеклись, изображение действительное, а если встретились только их продолжения — мнимое. Третий луч можно добавить для проверки точности чертежа.

Характерные лучи при построении изображения на преломляющей поверхности

Выберите из таблицы два луча, ход которых можно уверенно определить, и постройте их от одной точки предмета. Сначала проследите реальные лучи, а продолжения используйте только там, где лучи расходятся. Место пересечения покажет изображение, а способ пересечения — его характер.

Разбор задач

Изображение точки у плоской границы

Условие. Точечный предмет находится в первой прозрачной среде у плоской границы со второй средой. Нужно построить его изображение по двум падающим лучам. Показатели преломления и расстояния не заданы, поэтому результат определяют качественным построением, а не численным расчётом.

1. Отметьте точку предмета и проведите из неё два луча к разным точкам границы. Для каждого укажите нормаль — перпендикуляр к границе в точке падения.
2. Определите, в какую среду входит каждый луч, и по закону преломления постройте его направление. Оба преломлённых луча должны соответствовать одним и тем же показателям преломления, хотя углы падения у них различны.
3. Продолжите преломлённые лучи до пересечения, если они сходятся. Если они расходятся, продолжите их назад пунктиром: пересечение продолжений укажет видимое положение точки.
4. Проверьте, что найденная точка согласуется с ходом обоих лучей. При настоящем построении нельзя считать точным место пересечения, если лучи проведены с разными ошибками.

Ответ. Изображение находится в точке пересечения преломлённых лучей либо их продолжений. В первом случае оно действительное, во втором — мнимое; без заданных показателей преломления и углов нельзя заранее назвать конкретное положение.

Предмет на оси у сферической поверхности

Условие. Предмет лежит на главной оптической оси сферической преломляющей поверхности; известны центр кривизны и фокусы. Требуется построить изображение и установить, действительное оно или мнимое. Известные опорные точки позволяют применить характерные лучи без измерения углов.

1. От предмета проведите луч через центр кривизны. Он пересекает поверхность по нормали, поэтому после преломления продолжается по той же прямой.
2. Проведите второй луч параллельно главной оси до поверхности. После преломления направьте его через соответствующий фокус или проведите его продолжение так, как если бы луч выходил из фокуса.
3. Найдите пересечение двух лучей. Если они сходятся по другую сторону поверхности, изображение действительное; если пересекаются только продолжения, оно мнимое.
4. Для проверки проведите третий характерный луч, например направленный через фокус. После преломления он должен идти параллельно оси и проходить через найденное изображение.

Ответ. Положение изображения задаёт пересечение построенных лучей или их продолжений. Его действительность или мнимость устанавливают по тому, пересекаются ли сами лучи; без конкретного чертежа нельзя указать точное место.

Предмет расположен за фокусом

Условие. Для сферической преломляющей поверхности предмет находится за фокусом, а требуется определить положение и характер изображения. Известно, где расположены фокус и центр кривизны; необходимо проследить минимум два луча. Одного выражения «за фокусом» недостаточно, чтобы без условий о средах и ориентации поверхности заранее гарантировать вид изображения.

1. Отметьте предмет на главной оси и проведите луч через центр кривизны. Он сохранит направление, поскольку падает по нормали.
2. Постройте луч от предмета параллельно оси. После преломления направьте его через фокус, если для данной поверхности он проходит через фокус; при расходящемся ходе используйте продолжение луча.
3. Продлите оба построенных хода до пересечения. Если пересекаются реальные лучи, изображение действительное; если только их продолжения — мнимое.
4. Сместите предмет вдоль оси и повторите построение, сохраняя те же опорные точки поверхности. Сравните места пересечений: так видно, что положение изображения меняется вслед за положением предмета.

Ответ. Изображение располагается в найденной точке пересечения, а его характер определяют по реальным лучам и продолжениям. Конкретный результат зависит от направления преломления и расположения предмета относительно фокуса; его следует устанавливать по чертежу.

Типичные ошибки

Иногда луч через центр кривизны рисуют с изломом, как будто он преломляется под обычным углом. Так происходит, если забыть, что радиус сферы в точке падения — нормаль, а значит, угол падения равен нулю. Проверьте чертёж: прямая через предмет, центр кривизны и точку падения должна оставаться одной линией после поверхности.

Другая ошибка — искать изображение только в пересечении самих лучей. При расходящемся ходе они не встречаются, поэтому нужно продлить их назад и найти пересечение продолжений. Убедиться в правильности можно, проверив, что пунктирные линии обозначают именно продолжения, а не реальные участки пути света.

Нельзя переносить на преломление правила отражения и просто откладывать равный угол по другую сторону нормали. Направление нового луча задаётся показателями преломления и законом n₁ sin α = n₂ sin β. Для самопроверки отметьте нормаль и установите, к ней или от неё отклоняется луч при переходе между данными средами.

По одному лучу точку изображения определить нельзя: вдоль этого луча возможны разные положения пересечения с другим направлением. Ошибку допускают, когда принимают продолжение одного луча за готовое изображение. Проведите второй луч от той же точки предмета и убедитесь, что оба построения дают одну точку; если нет, проверьте направления лучей.

Связь с другими темами

Для построения лучей сначала нужны закон преломления света, смысл показателя преломления и умение проводить нормаль к границе в точке падения. Эти понятия объясняют, почему меняется направление луча и как определить его новый ход. Построения на сферической поверхности развивают эти знания: вместо вычисления каждого направления используются ось, центр кривизны и фокусы. Позже тот же способ рассуждения понадобится при изучении линз, оптических приборов и формулы тонкой линзы.

Что запомнить

• Направление преломлённого луча определяют по закону преломления.
• Луч через центр кривизны сферической поверхности идёт без изменения направления.
• Для построения изображения точки достаточно построить два характерных луча.
• Действительное изображение образуют сами преломлённые лучи.
• Мнимое изображение находят по пересечению продолжений лучей.
• Характер изображения зависит от положения предмета и свойств преломляющей поверхности.