§ 53. Закон преломления света на границе раздела двух изотропных однородных прозрачных сред. Явление полного внутреннего отражения

Определения и обозначения

Оптическая плотность среды — характеристика, связанная со скоростью распространения света: чем медленнее свет идёт в среде, тем она оптически плотнее. Для сравнения сред используют показатель преломления: при большей скорости он меньше, а при меньшей — больше. Это понятие помогает заранее определить, в какую сторону изменится направление луча.

Абсолютный показатель преломления n — отношение скорости света в вакууме c к скорости света в среде v: n = c/v. Поскольку в прозрачной среде свет распространяется медленнее, n обычно больше единицы. По показателю можно сравнить оптическую плотность сред и рассчитать преломление.

Закон преломления света связывает углы падения α и преломления β с показателями преломления сред: n₁ sin α = n₂ sin β. Здесь n₁ относится к среде, из которой падает луч, а n₂ — к среде, в которую он переходит. Закон позволяет найти неизвестный угол и установить направление преломлённого луча.

Полное внутреннее отражение — явление, при котором свет не выходит во вторую среду, а отражается обратно в первую. Оно возможно при переходе из среды с большим показателем преломления n₁ в среду с меньшим n₂, если угол падения больше предельного αкр. При предельном угле преломлённый луч направлен вдоль границы, а sin αкр = n₂/n₁.

Как это устроено

Когда свет пересекает границу двух сред, меняется скорость его распространения: в каждой среде она определяется её оптическими свойствами. Частота при этом сохраняется, поскольку колебания на границе должны продолжаться с той же частотой, что и падающая волна. Изменение скорости приводит к изменению направления волнового фронта, поэтому луч обычно преломляется. Если луч падает перпендикулярно границе, направления распространения не меняет, хотя скорость всё равно становится другой.

В точке, где луч достигает границы, проводят нормаль — воображаемую прямую, перпендикулярную поверхности раздела. Падающий луч идёт к этой точке, отражённый возвращается в первую среду, а преломлённый проходит во вторую. Угол падения α образован падающим лучом и нормалью, угол отражения — отражённым лучом и нормалью, угол преломления β — преломлённым лучом и нормалью. Отсчёт от нормали удобен потому, что он не зависит от наклона самой границы и согласуется с законами отражения и преломления.

Закон преломления можно понять через зависимость изменения направления волны от скорости в средах: волна, переходя через границу, распространяется с разной скоростью по разные её стороны. Количественно это выражается равенством n₁ sin α = n₂ sin β. Если n₂ больше n₁, то sin β меньше sin α, а значит, β меньше α: луч приближается к нормали. Если n₂ меньше n₁, то β больше α, и луч отклоняется от нормали; при нормальном падении α = 0 направление не меняется.

При переходе из оптически более плотной среды в менее плотную показатель преломления уменьшается, поэтому угол β становится больше угла α. Если постепенно увеличивать угол падения, преломлённый луч всё сильнее отклоняется от нормали. В предельном случае β достигает 90°: луч идёт вдоль границы, а соответствующий угол падения называют предельным. Подставив β = 90° в закон преломления и используя sin 90° = 1, получают sin αкр = n₂/n₁.

Когда угол падения становится больше αкр, закон преломления потребовал бы, чтобы синус угла преломления был больше единицы: sin β = (n₁/n₂) sin α > 1. Для действительного угла это невозможно, поэтому распространяющегося преломлённого луча нет. Свет отражается обратно в первую среду; при идеальной границе вся световая энергия остаётся в ней, что и называют полным внутренним отражением. Это объясняет, почему явление возможно только при переходе из среды с большим показателем преломления в среду с меньшим.

Преломление света и полное внутреннее отражение

Сначала определите, из какой среды и в какую идёт свет, затем сравните показатели преломления. По строке таблицы можно установить, как изменится угол или появится ли полное внутреннее отражение. У предельного угла и полного внутреннего отражения разные условия: равенство углов ещё оставляет преломлённый луч.

Разбор задач

Луч из воздуха в стекло

Луч падает из воздуха на плоскую поверхность стекла под углом 30° к нормали. Показатель преломления стекла равен 1,5. Найдём угол преломления, считая показатель воздуха приблизительно равным 1. Поскольку стекло оптически плотнее воздуха, ожидаем, что угол преломления будет меньше 30°.

1. Запишем закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β.
2. Подставим значения: 1 · sin 30° = 1,5 · sin β, поэтому sin β = 0,5/1,5 = 1/3.
3. Вычислим обратный синус: β = arcsin(1/3) ≈ 19,5°. Полученное значение меньше угла падения, что соответствует переходу в оптически более плотную среду.

Ответ: угол преломления примерно 19,5°.

Предельный угол для воды и воздуха

Луч переходит из воды с показателем преломления 1,33 в воздух. Требуется найти предельный угол полного внутреннего отражения. Сначала проверим направление: показатель воды больше показателя воздуха, поэтому предельный угол существует. Для воздуха примем n₂ ≈ 1.

1. Запишем условие предельного угла: sin αкр = n₂/n₁.
2. Подставим показатели: sin αкр = 1/1,33 ≈ 0,752.
3. Найдём угол по обратной функции синуса: αкр = arcsin(0,752) ≈ 48,8°. Это угол падения, при котором преломлённый луч идёт вдоль границы.

Ответ: предельный угол составляет примерно 48,8°.

Проверка полного внутреннего отражения

Луч идёт из стекла с n₁ = 1,5 в воду с n₂ = 1,33 под углом 65° к нормали. Нужно выяснить, будет ли полное внутреннее отражение. Направление подходит для этого явления: свет переходит из среды с большим показателем в среду с меньшим. Осталось сравнить угол падения с предельным.

1. Найдём предельный угол: sin αкр = 1,33/1,5 ≈ 0,887.
2. Вычислим αкр = arcsin(0,887) ≈ 62,5°.
3. Сравним: 65° > 62,5°. Значит, преломлённый луч не возникает, поскольку требуемый синус угла преломления оказался бы больше единицы.

Ответ: полное внутреннее отражение возникнет.

Типичные ошибки

Углы отсчитывают от поверхности раздела, а не от нормали. Так поступают, потому что луч и границу легко увидеть как стороны угла, но в закон нужно подставлять углы именно к перпендикуляру. Проверьте построение: нормаль должна образовывать с границей 90°, а α и β — измеряться между лучами и нормалью. Если угол дан к поверхности, сначала вычтите его из 90°.

Можно перепутать, к какой среде относится каждый показатель преломления. Ошибка возникает, когда формулу запоминают только как набор символов: n₁ sin α = n₂ sin β. С индексом 1 всегда связана среда падающего луча, а с индексом 2 — среда преломлённого. Перед вычислением подпишите среды и проверьте результат по направлению отклонения луча.

Полное внутреннее отражение иногда считают возможным при любом направлении перехода между средами. Это неверно: явление требует n₁ > n₂, иначе луч при увеличении угла не сможет достичь положения, когда преломление идёт вдоль границы. Проверьте сначала показатели преломления и только потом ищите предельный угол. Если свет идёт в среду с большим n, полного внутреннего отражения не будет.

Предельный угол принимают за угол, при котором свет уже полностью отражается. На самом деле при α = αкр преломлённый луч ещё существует и направлен вдоль границы. Полное внутреннее отражение возникает лишь при α > αкр. Для самопроверки сравните угол падения со значением предельного: равенство означает граничный случай, а не полное внутреннее отражение.

Связь с другими темами

Для разбора преломления нужны закон отражения света и умение проводить нормаль к поверхности: по ним строят лучи и задают углы. Также пригодятся представления о скорости света в среде и умение работать с синусом угла. Полное внутреннее отражение встречается в оптоволокне, где свет многократно отражается внутри волокна и передаёт сигнал. Тот же принцип помогает объяснять работу некоторых оптических приборов.

Что запомнить

• Углы падения и преломления отсчитывают от нормали к границе.
• Частота света при переходе из одной прозрачной среды в другую не меняется.
• Закон преломления: n₁ sin α = n₂ sin β.
• При переходе в оптически более плотную среду луч преломляется к нормали.
• Полное внутреннее отражение возможно при переходе из оптически более плотной среды в менее плотную.
• Предельный угол удовлетворяет условию sin αкр = n₂/n₁ при n₁ > n₂.
• Полное внутреннее отражение происходит, если угол падения больше предельного.