§ 71. Первый постулат Бора. Правило квантования орбит

Определения и обозначения

Стационарное состояние — состояние атома, в котором электрон может находиться длительное время без излучения энергии. Иначе говоря, энергия такого атома не убывает непрерывно из-за движения электрона. Это понятие нужно, чтобы описать устойчивость атома, которую не объясняет классическая модель.

Стационарная орбита — разрешённая орбита электрона, движение по которой не сопровождается излучением электромагнитной энергии. Не всякая траектория вокруг ядра считается такой орбитой: для неё должно выполняться правило квантования. Термин помогает отличать возможные состояния атома от траекторий, которые допускает классическая механика.

Квантовое число n — целое положительное число, нумерующее разрешённые орбиты и энергетические состояния атома. Оно принимает значения 1, 2, 3, … и показывает, какое состояние рассматривается. С его помощью можно сравнивать радиусы, скорости и энергии электрона на разных орбитах.

Квантование момента импульса — условие L = mvr = nℏ, согласно которому момент импульса электрона принимает только дискретные значения. Здесь m — масса электрона, v — его скорость, r — радиус круговой орбиты, а ℏ = h/(2π) — постоянная Планка, делённая на 2π. Условие нужно, чтобы определить, какие орбиты разрешены.

Как это устроено

В модели Резерфорда электрон движется вокруг ядра по искривлённой траектории, то есть всё время меняет направление скорости. Классическая электродинамика предсказывает, что ускоренный электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и терять энергию. Теряя энергию, электрон должен приближаться к ядру, а атом — быстро разрушаться. Но атомы устойчивы, поэтому классическое описание не может объяснить строение атома само по себе.

Первый постулат Бора устраняет это противоречие, вводя стационарные состояния: в них электрон движется, но не излучает энергию. Это не означает, что электрон неподвижен или что на него не действуют силы; постулат задаёт особое правило для атома. Пока атом находится в таком состоянии, его энергия сохраняется. Излучение и поглощение энергии связывают не с движением по разрешённой орбите, а с переходами между состояниями.

Однако постулата об отсутствии излучения недостаточно, чтобы понять, какие орбиты возможны. Правило квантования требует, чтобы момент импульса электрона был равен L = nℏ, где n = 1, 2, 3, …. Поскольку n может быть только положительным целым числом, момент импульса не меняется непрерывно, а принимает отдельные значения. Так из множества круговых траекторий выделяются разрешённые.

Целое число n можно связать с волновыми свойствами электрона. Длина волны де Бройля равна λ = h/(mv), а волна, связанная с частицей, должна согласоваться сама с собой после обхода орбиты. Это возможно, если длина окружности содержит целое число длин волн: 2πr = nλ. Подстановка выражения для λ даёт 2πr = nh/(mv), откуда mvr = nℏ. Поэтому условие квантования можно понимать как требование устойчивой волны на замкнутой орбите.

Для атома водорода номер состояния задаёт параметры орбиты дискретно. При увеличении n радиус возрастает по закону rₙ = n²r₁, а скорость уменьшается: vₙ = v₁/n. Энергия связанного электрона также принимает только определённые значения: Eₙ = E₁/n², где E₁ — отрицательная энергия основного состояния относительно свободного электрона. Значит, при больших n энергия становится менее отрицательной и приближается к нулю.

Разрешённые орбиты электрона в атоме водорода

Сначала по номеру n определите состояние, затем выберите нужную строку, чтобы найти момент импульса, радиус, скорость или энергию. В формулах для радиуса и скорости величины с индексом 1 относятся к первой орбите. При сравнении энергий учитывайте, что энергия связанного электрона отрицательна относительно свободного электрона.

Разбор задач

Задача 1. Определить, какой орбите соответствует момент импульса электрона L = 3ℏ. Требуется сопоставить данное значение с правилом квантования, а не просто назвать номер по величине коэффициента. Решение:

1. Записываем условие для разрешённой орбиты: L = nℏ.
2. Подставляем L = 3ℏ: 3ℏ = nℏ.
3. Делим обе части на ℏ и получаем n = 3. Это целое положительное число, поэтому значение соответствует разрешённому состоянию.

Ответ: третья орбита, n = 3. Проверка состоит в том, что найденное n — целое положительное число и при его подстановке получается заданный момент импульса.

Задача 2. Электрон движется по круговой орбите радиусом r со скоростью v. Даны масса электрона m и постоянная Планка h; нужно проверить, стационарная ли орбита. Решение:

1. Вычисляем момент импульса: L = mvr. Важно использовать согласованные единицы, например килограммы, метры и секунды.
2. Находим постоянную Планка, делённую на 2π: ℏ = h/(2π).
3. Вычисляем n = L/ℏ = 2πmvr/h. Если результат является положительным целым числом, орбита удовлетворяет условию квантования и в модели Бора является разрешённой; иначе — нет.

Ответ: орбита стационарная, если рассчитанное n — целое положительное число. Без численных значений m, r, v и h нельзя вынести конкретное заключение, но эта проверка даёт критерий для любых заданных данных.

Задача 3. Найти радиус и скорость электрона на третьей стационарной орбите атома водорода, если радиус первой орбиты равен a₀, а скорость на ней равна v₁. Решение:

1. Номер орбиты n = 3, поэтому для радиуса используем rₙ = n²a₀.
2. Подставляем n: r₃ = 3²a₀ = 9a₀.
3. Для скорости применяем vₙ = v₁/n: v₃ = v₁/3.

Ответ: радиус третьей орбиты равен 9a₀, скорость электрона — v₁/3. Проверка смысла результата: третья орбита дальше первой, поэтому радиус увеличился, а скорость уменьшилась.

Типичные ошибки

Считать, что электрон излучает на любой орбите, — значит смешивать классическое предсказание с первым постулатом Бора. Классическая электродинамика действительно предсказывает излучение ускоренного заряда, поэтому такое утверждение легко перенести на модель Бора. Но постулат говорит об отсутствии излучения именно в стационарных состояниях. Проверка: уточните, рассматриваете ли вы разрешённую орбиту Бора или произвольное движение заряда.

Подмена условия L = nℏ равенством L = ℏ ошибочна: последнее относится лишь к n = 1. Ошибку допускают, когда частный случай первой орбиты принимают за общее правило. Для любого состояния нужно сохранять множитель n. Проверка: подставьте номер орбиты; например, при n = 3 должно получиться L = 3ℏ.

Нельзя задавать n любое вещественное число, хотя в других задачах параметры часто меняются непрерывно. Здесь n нумерует разрешённые состояния и принимает только положительные целые значения. Проверяя решение, убедитесь, что n = 1, 2, 3, …; ноль и дробные значения не подходят.

Номер орбиты не равен её радиусу: при переходе от n к 2n радиус увеличивается не вдвое, а в четыре раза. Причина ошибки — забытый квадрат в зависимости rₙ = n²r₁. Проверка: подставьте оба номера отдельно: r₂ₙ/rₙ = (2n)²/n² = 4.

Связь с другими темами

Для понимания правила квантования понадобятся движение по окружности и момент импульса: для круговой орбиты L = mvr. Также важно знать понятия кинетической и потенциальной энергии и основные идеи модели Резерфорда, которая описывает ядро и электрон. Эти знания позволяют увидеть, почему классическая картина приводит к проблеме устойчивости атома.

Постулаты Бора и квантование орбит подготавливают изучение переходов между энергетическими уровнями. При переходе атом испускает или поглощает фотон, а совокупность возможных переходов объясняет спектр атома водорода. Условие с длиной волны де Бройля связывает классическую механику с волновыми свойствами микрочастиц: разрешённой оказывается орбита, на которой волна согласуется сама с собой.

Что запомнить

• В атоме существуют стационарные состояния.
• На стационарной орбите электрон не излучает энергию.
• Разрешены только орбиты, для которых L = mvr = nℏ.
• Квантовое число n принимает значения 1, 2, 3, ….
• Орбита с n = 1 является основной, а орбиты с большими n — возбуждёнными.
• Для атома водорода радиус орбиты пропорционален n².
• Энергия стационарных состояний имеет дискретные значения.