"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
При растяжении или сжатии тело меняет форму и размеры, а внутри него возникают силы упругости. Чтобы сравнивать нагрузку на тела разной толщины, используют механическое напряжение — силу, отнесённую к площади сечения. Относительная деформация показывает, насколько изменилась длина по сравнению с исходной. Связь между напряжением и деформацией в пределах упругости описывает закон Гука, а свойства материала в этой зависимости отражает модуль Юнга.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическое напряжение σ — внутренняя сила упругости, приходящаяся на единицу площади поперечного сечения тела: σ = F/S. В СИ его измеряют в паскалях, причём 1 Па = 1 Н/м². Эта величина нужна, чтобы сравнивать нагрузку на тела с разной толщиной: одна и та же сила может по-разному нагружать узкий и широкий стержень.
Абсолютное удлинение Δl — изменение длины тела при растяжении, то есть разность между конечной и первоначальной длиной. Его измеряют в метрах, и для сжатия изменение длины можно считать отрицательным. Удлинение показывает, насколько именно изменился размер конкретного тела.
Относительная деформация ε — отношение изменения длины тела к его первоначальной длине: ε = Δl/l₀. Здесь l₀ — длина до деформации, а ε не имеет единицы измерения, поскольку делятся величины одинаковой размерности. Относительная деформация позволяет сопоставлять изменения у тел разных исходных размеров.
Модуль Юнга E — характеристика упругих свойств материала, равная отношению напряжения к относительной деформации: E = σ/ε. Его единица СИ — паскаль, так как деформация безразмерна. Закон Гука для растяжения связывает эти величины формулой σ = Eε; он справедлив при малых деформациях в пределах упругости.
Частицы твёрдого тела взаимодействуют друг с другом и при деформации смещаются относительно своих обычных положений. Поэтому при растяжении или сжатии возникают внутренние силы, стремящиеся вернуть частицы к исходному расположению, — силы упругости. Если приложенную нагрузку убрать и тело возвращается к прежней форме, деформация была упругой. Сравнивать только полную силу неудобно: она распределяется по сечению, и на более толстое тело при той же силе приходится меньшая нагрузка на каждый участок площади.
Чтобы выразить нагрузку на сечение, силу упругости делят на площадь: σ = F/S. Например, при одной и той же силе в узком стержне напряжение больше, чем в широком, потому что сила распределяется по меньшей площади. Поэтому увеличение S при неизменной F уменьшает σ. Перед расчётом площадь и силу переводят в единицы СИ, иначе результат нельзя правильно выразить в паскалях.
При растяжении длина увеличивается на Δl, но одно и то же удлинение по-разному характеризует короткий и длинный образцы. Например, удлинение в один сантиметр для короткого отрезка составляет большую долю исходной длины, чем для длинного. Отношение ε = Δl/l₀ учитывает это различие и позволяет сравнивать деформацию тел разных размеров. Поскольку в числителе и знаменателе стоят длины, относительная деформация не имеет единицы.
Пока деформация мала и тело остаётся упругим, увеличение напряжения вызывает пропорциональное увеличение относительной деформации. Это означает, что при удвоении напряжения деформация тоже удваивается, а отношение σ/ε остаётся постоянным для данного материала. Эту постоянную и называют модулем Юнга: σ = Eε. Чем больше E, тем большее напряжение требуется, чтобы получить ту же относительную деформацию.
Формулы можно преобразовать под нужную неизвестную: из σ = F/S находят силу F = σS или площадь S = F/σ, а из ε = Δl/l₀ — удлинение Δl = εl₀. Если известны напряжение и деформация, модуль вычисляют как E = σ/ε; для стержня можно объединить зависимости и получить Δl = Fl₀/(ES). Такой расчёт допустим лишь при малых нагрузках, пока сохраняется линейная связь и материал не вышел за предел упругости. Если нагрузка вызывает необратимое изменение формы, закон Гука уже не описывает поведение тела.
| Величина | Обозначение | Формула | Единица СИ | Физический смысл |
|---|---|---|---|---|
| Механическое напряжение | σ | σ = F/S | Па (Н/м²) | Сила упругости на единицу площади сечения |
| Абсолютное удлинение | Δl | Δl = l − l₀ | м | Изменение длины тела |
| Относительная деформация | ε | ε = Δl/l₀ | Без единицы | Доля изменения длины относительно исходной |
| Модуль Юнга | E | E = σ/ε | Па | Характеристика упругих свойств материала |
| Связь напряжения и деформации в области упругости | σ, ε, E | σ = Eε | Зависит от величины | Закон Гука при малых упругих деформациях |
Сначала определите, какую величину требуется найти, затем выберите строку с подходящей формулой. Проверьте, что значения подставлены в единицах СИ, особенно сила, площадь и длина. Формулы со связью σ = Eε применяйте только для упругой деформации.
Задача 1. На стальной стержень площадью поперечного сечения 4 мм² действует растягивающая сила 2 кН. Найдём механическое напряжение. Здесь нужно разделить силу на площадь, поэтому сначала переведём обе величины в СИ.
Задача 2. Проволока длиной 2 м и площадью сечения 1 мм² растягивается силой 200 Н; модуль Юнга стали равен 200 ГПа. Найдём удлинение. Поскольку длина связана с деформацией, сначала найдём напряжение, затем ε и только после этого Δl.
Задача 3. Проволока длиной 1,2 м из материала с модулем Юнга 70 ГПа должна растягиваться не более чем на 1 мм под действием силы 1,5 кН. Найдём минимальную площадь и проверим напряжение. Для минимальной площади используем предельное удлинение: меньшая площадь при той же силе означала бы большее напряжение и большее растяжение.
Напряжение иногда принимают за саму силу, хотя σ зависит ещё и от площади сечения. Путаница возникает потому, что обе величины связаны с нагрузкой. Проверка простая: у силы единица ньютон, у напряжения — паскаль; если площадь меняется, напряжение при той же силе тоже меняется.
Подстановка площади в мм² вместе с силой в ньютонах даёт неверное численное значение, если результат считают в паскалях. Ошибка появляется из-за того, что миллиметр кажется лишь другой записью метра, но при возведении в квадрат множитель тоже возводится в квадрат. Перед вычислением используйте 1 мм² = 10⁻⁶ м² и проверьте размерность результата: Н/м².
В формулу E = σ/ε иногда подставляют абсолютное удлинение Δl вместо относительной деформации. Так происходит, если не учесть исходную длину образца. Сначала вычислите ε = Δl/l₀, а затем проверьте, что она безразмерна; единица м в знаменателе м должна сократиться.
Закон Гука нельзя использовать при любой, сколь угодно большой деформации. Его линейная зависимость описывает только малые деформации в пределах упругости, а при более сильной нагрузке материал может деформироваться нелинейно или не вернуться к прежней форме. Проверяйте условие применимости: если нарушена пропорциональность или возникла остаточная деформация, расчёт по σ = Eε ненадёжен.
Для работы с напряжением и модулем Юнга нужны понятия силы упругости, площади поперечного сечения и закон Гука, а также умение переводить величины в единицы СИ. Без этого легко перепутать силу с напряжением или ошибиться в расчёте площади.
Эти величины помогают оценивать прочность материалов и понимать, где заканчивается область упругости и начинается пластическая деформация. Такие оценки нужны при расчёте деталей, которые должны выдерживать нагрузку и не менять форму необратимо.
Напряжение и деформация применяются в механике сплошных сред, сопротивлении материалов и инженерных расчётах. Там рассматривают, как распределяются нагрузки внутри тел и как их размеры и свойства влияют на надёжность конструкций.
Чем механическое напряжение отличается от силы?
Сила характеризует действие на тело и измеряется в ньютонах. Механическое напряжение показывает, какая сила приходится на единицу площади сечения, поэтому зависит и от силы, и от площади.
Почему напряжение измеряют в паскалях?
Напряжение равно силе, делённой на площадь: σ = F/S. Поэтому его единица — ньютон на квадратный метр, а 1 Н/м² называют одним паскалем.
В чём разница между абсолютным и относительным удлинением?
Абсолютное удлинение Δl — это разность между конечной и первоначальной длиной, измеряется в метрах. Относительная деформация ε = Δl/l₀ показывает долю изменения относительно исходной длины и единицы не имеет.
Что показывает модуль Юнга?
Модуль Юнга характеризует упругие свойства материала: он показывает, какое напряжение соответствует единичной относительной деформации в области упругости. При одинаковом напряжении материал с большим модулем Юнга деформируется меньше.
Всегда ли выполняется закон Гука?
Нет. Зависимость σ = Eε применима при малых деформациях, пока тело остаётся в области упругости и после снятия нагрузки возвращается к исходной форме. При больших нагрузках возможны нелинейная деформация и необратимые изменения.
§ 19. Механическое напряжение. Модуль Юнга
