§ 29. Система тел. Закон сохранения импульса

Определения и обозначения

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p⃗ = m·v⃗. Его направление совпадает с направлением скорости, а единица измерения — кг·м/с. Импульс нужен, чтобы описывать движение тела и его изменение при взаимодействии.

Система тел — совокупность тел, выбранных для совместного рассмотрения при решении задачи. В неё включают тела, которые заметно взаимодействуют друг с другом. Правильный выбор системы позволяет отделить силы взаимодействия внутри неё от влияния окружающих тел.

Импульс системы тел — векторная сумма импульсов всех тел системы: P⃗ = p⃗₁ + p⃗₂ + … . Направления импульсов обязательно учитывают, поэтому встречные векторы могут частично или полностью компенсироваться. Эта величина характеризует движение системы в целом.

Замкнутая система тел — система, на которую внешние силы не действуют или их суммарное действие за рассматриваемое время равно нулю. Внешними называют силы со стороны тел, не входящих в систему. Для замкнутой системы можно применять закон сохранения импульса.

Как это устроено

Сначала выделяют систему тел, потому что один и тот же объект в разных задачах может быть внутренним или внешним. Например, при столкновении двух тел их силы взаимодействия являются внутренними, если оба тела включены в систему. Если взять только одно тело, сила второго станет внешней и его импульс обычно не сохранится.

Внутренние силы взаимно компенсируются при подсчёте изменения импульса всей системы. По третьему закону Ньютона тела действуют друг на друга с силами, равными по модулю и противоположными по направлению: F⃗₁₂ = −F⃗₂₁. Поэтому импульс, переданный одним телом другому, равен по модулю и противоположен импульсу, полученному первым телом.

Изменение полного импульса определяется равнодействующей внешних сил: ΔP⃗ = F⃗внешн·Δt. Если эта сила равна нулю, то ΔP⃗ = 0 и P⃗ = const. Даже при наличии внешней силы закон можно приблизительно использовать, если за короткое время взаимодействия внешний импульс намного меньше импульсов, которыми обмениваются тела.

Для двух тел закон до и после взаимодействия записывают так: m₁v⃗₁ + m₂v⃗₂ = m₁u⃗₁ + m₂u⃗₂. При столкновении, отдаче или разрыве нужно выбрать оси и разложить это равенство на проекции. В неупругом столкновении тела после удара движутся вместе, а при выстреле или разрыве части системы получают противоположно направленные импульсы, если начальный импульс равен нулю.

Система тел и закон сохранения импульса

Таблица помогает выбрать подходящую форму закона и понять, какую величину искать. Сначала проверьте внешние силы, затем определите, движутся ли тела после взаимодействия вместе или раздельно. Векторное равенство при необходимости заменяют несколькими уравнениями проекций.

Разбор задач

1. Импульс двух тел

Два тела массами m₁ и m₂ движутся вдоль одной прямой со скоростями v₁ и v₂. Направления движения известны, но могут быть одинаковыми или противоположными. Требуется найти импульс системы.

1. Выберем положительное направление вдоль движения первого тела.
2. Запишем проекции импульсов: p₁ = m₁v₁, а для второго тела p₂ = m₂v₂ или p₂ = −m₂v₂, если оно движется навстречу.
3. Сложим проекции: P = p₁ + p₂.

Ответ: импульс системы равен алгебраической сумме импульсов с учётом направлений; его направление определяется знаком результата.

2. Сцепившиеся тележки

Тележка массой m₁ движется со скоростью v₁ и сталкивается с неподвижной тележкой массой m₂. После удара тележки сцепляются и движутся с общей скоростью u. Внешним воздействием за короткое время удара пренебрегаем.

1. Системой считаем обе тележки, поэтому столкновение является внутренним взаимодействием.
2. Запишем закон: m₁v₁ + m₂·0 = (m₁ + m₂)u.
3. Выразим скорость: u = m₁v₁/(m₁ + m₂).

Ответ: общая скорость после удара равна u = m₁v₁/(m₁ + m₂) и направлена как скорость первой тележки.

3. Разрыв снаряда

Снаряд летит горизонтально и разрывается на два осколка. Масса и скорость одного осколка известны, а скорость второго нужно определить. Длительностью взрыва пренебрегаем, поэтому внешним импульсом можно считать пренебрежимо малым.

1. Запишем векторный закон: m₀v⃗₀ = m₁u⃗₁ + m₂u⃗₂.
2. Выберем оси и отдельно запишем проекции на горизонталь и вертикаль.
3. Из полученных уравнений найдём неизвестные проекции скорости второго осколка, затем определим её модуль и направление.

Ответ: скорость второго осколка находят из разности начального импульса снаряда и импульса первого осколка, делённой на массу второго осколка: u⃗₂ = (m₀v⃗₀ − m₁u⃗₁)/m₂.

Типичные ошибки

Складывают модули импульсов без направлений. Так делают, забывая, что импульс является вектором; встречные движения нельзя считать сонаправленными. Выберите ось и поставьте перед противоположными проекциями знак «минус».

Сохраняют импульс отдельного тела. При взаимодействии его импульс меняется под действием силы другого тела. Проверьте, включены ли все взаимодействующие тела в выбранную систему.

Применяют закон при заметных внешних силах. Это даёт неверный результат, если за время процесса внешний импульс велик. Составьте список внешних сил и оцените, можно ли ими пренебречь.

Путают импульс с кинетической энергией. При неупругом столкновении импульс сохраняется, но часть кинетической энергии уходит на деформацию, нагрев и звук. После решения отдельно проверьте, не сделали ли вы вывод о сохранении обеих величин.

Связь с другими темами

Для понимания закона нужны второй и третий законы Ньютона, понятия силы, массы, скорости и правила сложения векторов. Эти знания объясняют изменение импульса и компенсацию внутренних сил.

Закон применяется при изучении столкновений, отдачи оружия, реактивного движения, ракет и механической энергии. Он особенно полезен в коротких процессах, где силы взаимодействия велики.

В задачах необходимо уметь выбирать систему отсчёта и составлять проекции векторных уравнений на координатные оси. Удачный выбор направления часто упрощает вычисления.

Что запомнить

• Импульс тела равен произведению массы на скорость и является вектором.
• Импульс системы равен векторной сумме импульсов входящих в неё тел.
• Внутренние силы не изменяют полный импульс системы.
• В замкнутой системе полный импульс сохраняется.
• Перед применением закона нужно определить систему тел и проверить действие внешних сил.
• При столкновениях необходимо учитывать направления скоростей.
• Сохранение импульса не означает обязательного сохранения кинетической энергии.