"Физика (базовый и углублённый уровни)", Грачёв А.В., Погожев В.А., Салецкий А.М., Боков П.Ю.
Центр масс помогает описать движение системы тел одной точкой: вместо того чтобы следить за каждой частью отдельно, можно изучать положение и движение этой точки. Её находят как среднее положение частей, причём вклад каждой зависит от её массы. Теорема о движении центра масс связывает ускорение этой точки с равнодействующей внешних сил. Поэтому она упрощает задачи о прыжках, столкновениях и отдаче: внутренние взаимодействия тел не меняют движение центра масс всей системы.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Центр масс системы — точка, положение которой определяют как среднее положение всех частей системы с учётом их масс. Чем массивнее часть, тем сильнее она влияет на результат. Это понятие позволяет описывать движение сложной системы, не рассматривая каждое тело отдельно.
Радиус-вектор центра масс — вектор, задающий положение этой точки относительно выбранного начала координат. Для тел с массами m₁, m₂, …, mₙ и радиус-векторами r₁, r₂, …, rₙ он равен rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ)/M, где M = m₁ + m₂ + … + mₙ. Такая запись нужна, чтобы учитывать одновременно и положение, и массу каждого тела.
Внешняя сила — сила, действующая на систему со стороны тела, которое в неё не входит. Например, сила тяжести на человека и лодку вместе будет внешней, если Земля не включена в систему. Понятие помогает решить, какие силы нужно учитывать при описании движения всей системы.
Теорема о движении центра масс утверждает, что центр масс движется так, будто вся масса системы сосредоточена в этой точке, а к ней приложена равнодействующая внешних сил. Поэтому ускорение центра масс равно aц.м. = Fвнеш/M. Теорема позволяет находить общее движение системы, даже если её части взаимодействуют и перемещаются относительно друг друга.
Координату центра масс находят как среднее, взвешенное по массам, потому что вклад частей системы не должен быть одинаковым, если их массы различаются. Например, более массивное тело заметнее смещает общую точку к себе, чем лёгкое. Для двух тел на одной прямой xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂)/(m₁ + m₂). Если массы равны, формула превращается в обычное среднее координат.
Для дискретной системы, состоящей из отдельных тел, радиус-вектор центра масс записывают как rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ)/M. Здесь M — сумма масс, а умножение массы на радиус-вектор учитывает, насколько далеко и в каком направлении расположено тело. Чтобы перейти к системе из нескольких тел, достаточно включить в сумму радиус-вектор и массу каждого из них. Формула работает для любой выбранной системы координат.
Если тела движутся, их радиус-векторы меняются со временем, поэтому можно продифференцировать формулу центра масс. При постоянных массах скорость центра масс равна vц.м. = (m₁v₁ + m₂v₂ + … + mₙvₙ)/M. Это массово-взвешенная средняя скорость частей системы. Повторное дифференцирование связывает ускорение центра масс с ускорениями отдельных тел.
Для каждого тела второй закон Ньютона связывает его ускорение с суммой действующих на него сил. Если сложить уравнения для всех частей системы, внутренние силы взаимодействия взаимно уничтожатся: по третьему закону Ньютона силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и противоположны по направлению. Поэтому в сумме остаются только внешние силы, а суммарная масса умножается на ускорение центра масс. В результате получаем Fвнеш = M aц.м.
Теорема означает, что для общего движения системы важна именно равнодействующая внешних сил, а не то, как части движутся друг относительно друга. Если внешние силы уравновешены или отсутствуют, aц.м. = 0. Тогда скорость центра масс не меняется: точка либо покоится, либо движется равномерно и прямолинейно. При этом отдельные тела всё ещё могут сталкиваться, разлетаться или перемещаться внутри системы.
| Величина | Формула | Физический смысл | Что определяет |
|---|---|---|---|
| Радиус-вектор центра масс | rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ)/M | Массово-взвешенное положение системы | Положение центра масс |
| Скорость центра масс | vц.м. = (m₁v₁ + m₂v₂ + … + mₙvₙ)/M | Массово-взвешенная средняя скорость частей системы | Изменение положения центра масс |
| Ускорение центра масс | aц.м. = Fвнеш/M | Результат действия внешних сил на систему | Изменение скорости центра масс |
| Равнодействующая внешних сил | Fвнеш = M aц.м. | Сумма сил, действующих на систему извне | Движение центра масс |
Сначала определите, какую величину нужно найти: положение, скорость или ускорение центра масс. Затем выберите строку таблицы и проверьте, что масса M — это масса всей рассматриваемой системы. Для векторных величин учитывайте не только модули, но и направления.
На гладкой горизонтальной поверхности находятся два связанных тела массами 2 кг и 6 кг. Расстояние между ними равно 1,2 м. Определите положение центра масс относительно тела меньшей массы. Удобно направить ось от лёгкого тела к тяжёлому и принять координату первого тела за ноль. Тогда координата второго тела равна 1,2 м.
Центр масс находится между телами, но ближе к телу массой 6 кг, поскольку его вклад в среднее больше. Это также служит проверкой: расстояние 0,9 м от лёгкого тела меньше полного расстояния 1,2 м, а до тяжёлого остаётся 0,3 м. Ответ: 0,9 м от тела массой 2 кг в сторону тела массой 6 кг.
Система состоит из двух тел общей массой 10 кг. Равнодействующая внешних сил равна 25 Н и направлена горизонтально. Требуется найти ускорение центра масс. Поскольку направление силы задано, ускорение будет горизонтальным и направленным туда же. Внутренние силы между телами искать не нужно: они не входят в равнодействующую внешних сил системы.
Полученное значение относится к центру масс всей системы, а не обязательно к каждому телу по отдельности. Части системы могут иметь разные ускорения из-за взаимодействия между собой, но их суммарное движение описывается найденным ускорением центра масс. Ответ: 2,5 м/с² горизонтально в направлении внешней силы.
Человек массой 60 кг прыгает с неподвижной лодки массой 240 кг. После прыжка скорость человека относительно берега равна 4 м/с; сопротивлением воды пренебрегаем. Рассмотрим человека и лодку как одну систему: внешняя горизонтальная сила отсутствует, поэтому горизонтальная скорость центра масс сохраняется. До прыжка система покоилась, значит, её суммарный импульс был равен нулю. После прыжка импульсы человека и лодки должны компенсировать друг друга.
Лодка получает меньшую по модулю скорость, чем человек, потому что её масса в четыре раза больше. При этом импульсы направлены противоположно и равны по модулю, поэтому суммарный импульс остаётся нулевым. Ответ: скорость лодки равна 1 м/с в направлении, противоположном прыжку.
Обычное среднее вместо среднего по массам. Так поступают, когда мысленно делят расстояние между телами пополам, не проверив, равны ли их массы. Обычное среднее подходит только для равных масс. Проверьте себя: центр масс должен быть ближе к более массивному телу.
Смешение внешних и внутренних сил. Силы взаимодействия частей системы иногда включают в Fвнеш, хотя они действуют между телами, уже входящими в систему. Ошибка возникает, если не обозначить границы системы. Проверьте для каждой силы: источник находится внутри выбранной системы или за её пределами?
Неподвижный центр масс принимают за неподвижность всех тел. Это неверно, потому что части могут перемещаться относительно друг друга, сохраняя неизменное общее положение центра масс. Такая ошибка появляется, когда движение системы отождествляют с движением каждого её тела. Проверьте, описывает ли вопрос всю систему или отдельную часть.
Из системы исключают взаимодействующие тела. Тогда силы между оставшимся телом и исключённым ошибочно выглядят внешними, хотя для полной системы они внутренние. Так может исказиться равнодействующая и ускорение центра масс. Перед расчётом явно перечислите все тела системы и заново классифицируйте действующие силы.
Для применения теоремы нужны второй и третий законы Ньютона: первый связывает силу с ускорением, а второй объясняет сокращение внутренних взаимодействий. Также пригодятся импульс, равнодействующая сил, векторные координаты и дифференцирование по времени. Центр масс помогает решать задачи о столкновениях, взрывах, отдаче и движении ракет. Это понятие используют и при изучении твёрдого тела, вращения и движения небесных тел.
Где находится центр масс тела неправильной формы?
Его положение находят по распределению массы: мысленно разбивают тело на небольшие части и усредняют их координаты с учётом масс. Для однородного тела центр масс совпадает с центром тяжести, который можно определить экспериментально, например уравновесив плоскую фигуру на опоре.
Может ли центр масс находиться вне самого тела?
Да. Например, у однородного кольца центр масс находится в центре отверстия, где вещества нет. Центр масс — это расчётная точка, а не обязательно часть материала тела.
Почему внутренние силы не влияют на движение центра масс?
Внутренние силы возникают при взаимодействии частей одной системы и по третьему закону Ньютона попарно равны и противоположны. При сложении уравнений движения их общий вклад сокращается, поэтому ускорение центра масс задают внешние силы.
Чем центр масс отличается от геометрического центра тела?
Геометрический центр определяется формой и размерами, а центр масс — распределением массы. Они совпадают у тела с симметричной формой и однородным распределением массы, но могут не совпадать, если плотность неодинакова.
Можно ли применять теорему о движении центра масс к системе, на которую действует сопротивление среды?
Да. Сопротивление среды нужно учесть как внешнюю силу, если сама среда не входит в выбранную систему. Затем равнодействующую всех внешних сил подставляют в формулу aц.м. = Fвнеш/M.
§ 30. Центр масс. Теорема о движении центра масс
