§ 26. Центр масс. Теорема о движении центра масс

Определения и обозначения

Центр масс — точка, положение которой относительно выбранного начала координат задаётся радиус-вектором, равным среднему радиус-вектору тел системы с учётом их масс. Более массивное тело сильнее влияет на положение этой точки. Понятие нужно, чтобы описывать движение сложной системы как движение одной особой точки.

Система тел — совокупность тел, рассматриваемых как единое целое. Силы между телами системы называют внутренними, а силы со стороны окружающих объектов — внешними. Такое разделение позволяет понять, какие силы определяют движение всей системы.

Радиус-вектор центра масс задаётся формулой rц.м. = (m₁r₁ + m₂r₂ + … + mₙrₙ) / M, где M — суммарная масса системы. Здесь mᵢ и rᵢ — масса и радиус-вектор отдельного тела. Формула позволяет вычислить точное положение центра масс.

Теорема о движении центра масс утверждает: ускорение центра масс определяется равнодействующей внешних сил, то есть Mа⃗ц.м. = F⃗внеш. Внутренние силы в правую часть не входят. Благодаря этому движение всей системы можно исследовать без подробного расчёта каждого внутреннего взаимодействия.

Как это устроено

Положение центра масс зависит от того, как распределена масса. Если два тела имеют одинаковые массы, центр масс находится посередине отрезка между ними. Если одно тело тяжелее, оно сильнее «перетягивает» центр масс к себе, поэтому для двух тел точка делит расстояние в отношении, обратном массам.

Чтобы получить формулу центра масс, каждую координату тела умножают на его массу, складывают такие произведения и делят на общую массу. Для координаты x получается xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂ + … + mₙxₙ) / M. Аналогично находят yц.м. и zц.м., поэтому расчёт можно выполнять независимо по каждой оси.

Связь центра масс с импульсом следует из определения скорости этой точки. Если продифференцировать формулу радиус-вектора по времени, получим скорость центра масс как среднюю скорость с весами-массами. Поэтому полный импульс системы равен pсист. = m₁v₁ + … + mₙvₙ = Mvц.м.

При выводе теоремы силы в каждом теле разделяют на внешние и внутренние. Внутреннее взаимодействие двух тел создаёт пару сил, равных по модулю и противоположных по направлению согласно третьему закону Ньютона. При сложении уравнений движения всех тел такие пары взаимно уничтожаются, поэтому внутренние силы не меняют импульс всей системы.

После компенсации внутренних сил остаётся равнодействующая внешних сил, и именно она определяет ускорение центра масс: Mа⃗ц.м. = F⃗внеш. Если внешняя равнодействующая равна нулю, ускорение центра масс равно нулю, а его скорость сохраняется. При этом части системы могут сталкиваться, разлетаться или вращаться относительно центра масс.

Основные характеристики центра масс и его движения

Сначала определите, какая величина требуется: положение, импульс или ускорение. Затем выберите соответствующую строку и проверьте, все ли массы и силы относятся к одной системе тел.

При координатных расчётах заранее задайте положительное направление оси. Тогда координаты, скорости и силы, направленные противоположно этой оси, автоматически получают отрицательные знаки.

Разбор задач

Задача 1. Положение центра масс

Два тела массами 2 кг и 6 кг находятся на одной прямой на расстоянии 4 м друг от друга. Требуется найти положение центра масс относительно тела массой 2 кг. Начало координат удобно выбрать в точке, где находится тело массой 2 кг.

1. Запишем координаты тел: x₁ = 0, x₂ = 4 м. Это позволяет искать расстояние от первого тела непосредственно как координату центра масс.
2. Применим формулу: xц.м. = (m₁x₁ + m₂x₂) / (m₁ + m₂) = (2 · 0 + 6 · 4) / (2 + 6) = 3 м. Большая масса действительно смещает точку к шестикилограммовому телу.
3. Проверим результат по отношению расстояний: центр масс должен быть в 3 м от тела массой 2 кг и в 1 м от тела массой 6 кг. Отрезки относятся как 3 : 1, то есть обратно массам 2 : 6.

Ответ: центр масс находится на расстоянии 3 м от тела массой 2 кг, в направлении второго тела.

Задача 2. Скорость центра масс

Два груза массами 1 кг и 3 кг движутся вдоль одной прямой со скоростями 4 м/с и −2 м/с. Нужно найти скорость центра масс. Отрицательная скорость означает, что второй груз движется противоположно выбранному положительному направлению.

1. Найдём суммарный импульс: pсист. = m₁v₁ + m₂v₂ = 1 · 4 + 3 · (−2) = −2 кг·м/с. Знак показывает направление движения центра масс.
2. Сложим массы: M = 1 + 3 = 4 кг. Затем используем связь импульса со скоростью: vц.м. = pсист. / M = −2 / 4 = −0,5 м/с.
3. Проверим смысл результата: более массивный груз движется со скоростью в отрицательную сторону, поэтому центр масс также движется туда, хотя скорость первого груза положительна.

Ответ: скорость центра масс равна −0,5 м/с, то есть 0,5 м/с в отрицательном направлении.

Задача 3. Ускорение центра масс

Система общей массой 5 кг движется по горизонтали. На неё действуют внешние силы 12 Н вправо и 7 Н влево; внутренние силы между частями системы не заданы. Требуется найти ускорение центра масс и объяснить, почему внутренние силы не нужны.

1. Выберем направление вправо положительным и найдём внешнюю равнодействующую: Fвнеш = 12 − 7 = 5 Н. Она направлена вправо.
2. По теореме о движении центра масс Mа⃗ц.м. = F⃗внеш, поэтому aц.м. = 5 / 5 = 1 м/с². Направление ускорения совпадает с направлением равнодействующей.
3. Внутренние силы можно не знать, потому что при сложении уравнений движения всех частей системы они входят парами с противоположными направлениями и сокращаются. Для центра масс остаётся только внешняя равнодействующая.

Ответ: ускорение центра масс равно 1 м/с² вправо; внутренние силы для расчёта не нужны.

Типичные ошибки

Ошибка 1. Центр масс считают серединой отрезка при любых массах. Так происходит из-за привычки к симметричным задачам, но середина верна только для равных масс. Проверьте себя: точка должна быть ближе к телу с большей массой.

Ошибка 2. Скорости тел складывают или усредняют без учёта масс. Это неверно, потому что скорость центра масс определяется суммарным импульсом pсист. = Σmᵢvᵢ. Перед вычислением умножьте каждую скорость на соответствующую массу и учтите её знак.

Ошибка 3. В равнодействующую включают внутренние силы. Их допускают к расчёту, когда рассматривают отдельное тело, но для всей системы пары внутренних сил компенсируются. Уточните границы системы и складывайте только силы со стороны внешних объектов.

Ошибка 4. При нулевой внешней равнодействующей считают, что все тела обязаны покоиться. На самом деле постоянной остаётся скорость центра масс, а части системы могут двигаться относительно него. Проверьте, о какой скорости говорится в условии: всей системы или отдельного тела.

Связь с другими темами

Для изучения центра масс нужны понятия массы, радиус-вектора, скорости, ускорения, импульса и законы Ньютона. Без них нельзя записать формулу положения или связать силы с движением центра масс.

Центр масс используется при изучении закона сохранения импульса, реактивного движения и движения тел переменной конфигурации. Во всех этих случаях удобно следить за общей системой, а не за каждой её частью отдельно.

Теорема о движении центра масс позволяет заменить сложную систему одной точкой, на которую действует внешняя равнодействующая. Это упрощает анализ столкновений, разлёта частей и движения связанных тел.

Что запомнить

• Центр масс определяется распределением масс системы.
• Радиус-вектор центра масс равен сумме произведений масс тел на их радиус-векторы, делённой на общую массу.
• Для двух тел центр масс расположен ближе к телу с большей массой.
• Импульс системы равен произведению общей массы на скорость центра масс.
• Ускорение центра масс определяется только равнодействующей внешних сил.
• Если равнодействующая внешних сил равна нулю, скорость центра масс постоянна.