§ 27. Работа силы. Мощность. КПД механизма

Определения и обозначения

Механическая работа — произведение модуля силы на перемещение и косинус угла между ними: A = Fs cos α. Её обозначают A, измеряют в джоулях (Дж). Формула помогает определить, сколько энергии сила передала телу или отняла у него при перемещении.

Мощность характеризует быстроту совершения работы: P = A/t, где t — время. Мощность обозначают P, её единица — ватт (Вт), равный одному джоулю в секунду. Эта величина позволяет сравнить, как быстро одинаковую работу выполняют разные механизмы.

Коэффициент полезного действия механизма — отношение полезной работы к затраченной, выраженное долей или процентами: η = Aпол/Aзат · 100%. Его обозначают КПД или греческой буквой η. По этой величине судят, какая часть затраченной работы пошла на нужный результат.

Полезная работа — работа, ради которой используют механизм, а затраченная работа включает полезную и потери. Обозначения этих величин — Aпол и Aзат, единица обеих — джоуль. Их сравнение показывает, сколько энергии потребовалось ради заданного результата.

Как это устроено

Работа связана с перемещением, потому что сила может изменить движение тела только через взаимодействие на некотором пути. Но не вся сила способствует этому перемещению: вклад даёт лишь её составляющая вдоль направления движения. Поэтому в формуле появляется cos α, который позволяет выделить эту составляющую: A = Fs cos α. Если тело не переместилось, механическая работа силы равна нулю, даже если сила действовала.

Угол между силой и перемещением определяет знак работы через значение косинуса. При остром угле сила направлена хотя бы частично вдоль пути, поэтому передаёт телу энергию и совершает положительную работу. При прямом угле проекция силы на перемещение исчезает, а при тупом сила частично направлена против движения. В последнем случае работа отрицательна: такая сила, например трение, уменьшает энергию движения.

Мощность показывает быстроту работы, потому что сравнивает её величину с затраченным временем. Если два механизма выполнили одинаковую работу, тот, которому потребовалось меньше времени, развил большую среднюю мощность: P = A/t. При равномерном движении за время t тело проходит путь s = vt. Подстановка этого пути в формулу работы даёт P = Fv cos α.

Механизм может изменить силу, с которой действуют на груз, или направление этой силы, но не создать дополнительную работу. В идеальном случае выигрыш в силе компенсируется большим перемещением точки приложения силы: чтобы поднять груз на небольшую высоту, приходится тянуть верёвку на больший путь. Это следует из сохранения энергии: полученная работа не может быть больше затраченной. В реальном механизме часть работы дополнительно расходуется на трение и другие потери.

КПД реального механизма меньше 100%, потому что затраченная работа превышает полезную: часть энергии рассеивается, например, превращаясь в тепло. Доля, оставшаяся для нужного результата, находится отношением Aпол к Aзат. Умножение на 100% выражает эту долю в процентах: η = Aпол/Aзат · 100%. Чем меньше потери, тем ближе КПД к 100%, но в реальном устройстве они не исчезают полностью.

Работа силы, мощность и КПД механизма

Сначала определите, какую величину требуется найти, и выберите соответствующую строку таблицы. Проверьте, известны ли все величины в формуле и согласованы ли их единицы. Для КПД важно не перепутать полезную работу с затраченной: первая стоит в числителе.

Разбор задач

Работа силы под углом

На тело действует сила 30 Н, перемещающая его на 4 м под углом 60° к направлению перемещения. Требуется определить работу силы. Так как сила направлена не вдоль пути, нельзя подставлять в расчёт всю её величину без поправки на угол. Используем формулу A = Fs cos α.

1. Записываем данные: F = 30 Н, s = 4 м, α = 60°.
2. Находим составляющую силы вдоль перемещения: F cos α = 30 · cos 60° = 15 Н.
3. Вычисляем работу: A = 15 · 4 = 60 Дж.

Половина силы направлена вдоль перемещения, поскольку cos 60° = 0,5. Умножение этой составляющей на путь даёт работу в джоулях. Ответ: 60 Дж.

Подъём груза и мощность

Подъёмник равномерно поднимает груз массой 200 кг на высоту 6 м за 12 с; g = 10 Н/кг. Нужно найти полезную работу и среднюю мощность. При равномерном подъёме энергия груза увеличивается на mgh, и эту величину принимаем за полезную работу подъёмника. Затем работу делим на время подъёма.

1. Записываем данные: m = 200 кг, h = 6 м, t = 12 с, g = 10 Н/кг.
2. Вычисляем полезную работу: Aпол = mgh = 200 · 10 · 6 = 12 000 Дж.
3. Находим среднюю мощность: P = Aпол/t = 12 000/12 = 1000 Вт.

Значение работы показывает, сколько энергии передано грузу при подъёме. Мощность 1000 Вт означает, что в среднем за каждую секунду подъёмник совершал работу 1000 Дж. Ответ: Aпол = 12 000 Дж, P = 1000 Вт.

Полезная работа и КПД

Механизм поднимает груз массой 300 кг на высоту 2 м, а двигатель совершает работу 8000 Дж; g = 10 Н/кг. Требуется определить полезную работу и КПД механизма. Полезная работа равна увеличению потенциальной энергии груза, а затраченная уже дана в условии. Сравним эти значения по формуле КПД.

1. Записываем данные: m = 300 кг, h = 2 м, Aзат = 8000 Дж, g = 10 Н/кг.
2. Вычисляем полезную работу: Aпол = mgh = 300 · 10 · 2 = 6000 Дж.
3. Рассчитываем КПД: η = Aпол/Aзат · 100% = 6000/8000 · 100% = 75%.

Из затраченных 8000 Дж полезный результат составил 6000 Дж, а оставшаяся часть приходится на потери. Полученный КПД меньше 100%, как и должно быть у реального механизма. Ответ: Aпол = 6000 Дж, η = 75%.

Типичные ошибки

Первая ошибка — подставлять в формулу всю силу, не учитывая угол. Так поступают, когда забывают, что работу совершает только составляющая силы вдоль перемещения. Проверьте себя: если сила перпендикулярна пути, формула должна дать ноль; если угол не равен нулю, используйте множитель cos α.

Вторая ошибка — считать работу положительной при любом перемещении. Её допускают, ориентируясь только на наличие движения и не сравнивая направления силы и пути. Найдите угол: тупой угол означает отрицательную работу, прямой — нулевую, острый — положительную.

Третья ошибка — путать мощность с работой и указывать джоули вместо ваттов. Работа характеризует передачу энергии, а мощность — работу за единицу времени, поэтому эти величины отвечают на разные вопросы. Проверьте формулу и единицы: P = A/t, а 1 Вт = 1 Дж/с.

Четвёртая ошибка — делить затраченную работу на полезную и получать КПД больше 100%. Это происходит из-за перестановки величин в отношении или неверного определения полезного результата. Используйте η = Aпол/Aзат · 100% и проверьте, что полезная работа не превышает затраченную.

Связь с другими темами

Для изучения темы нужно знать, что такое сила и перемещение, уметь находить угол между векторами и применять второй закон Ньютона. Работа силы тяжести связана с изменением потенциальной энергии: при подъёме груза полезную работу находят как mgh. Эти знания позволяют объяснить, откуда берётся работа в задачах о подъёме и движении.

Понятие КПД опирается на закон сохранения энергии: энергия не исчезает, но часть её может перейти в нежелательные формы. Работа и мощность понадобятся при изучении механической энергии, простых механизмов, двигателей и энергетических установок. С их помощью сравнивают не только силы и перемещения, но и эффективность устройств.

Что запомнить

• Работа силы равна A = Fs cos α.
• Работу совершает составляющая силы вдоль перемещения.
• Единица работы — джоуль, единица мощности — ватт.
• Мощность показывает, как быстро совершается работа.
• КПД равен отношению полезной работы к затраченной.
• В реальном механизме КПД всегда меньше 100 процентов.
• Выигрыш в силе сопровождается проигрышем в перемещении.