§ 28. Механическая энергия. Кинетическая энергия

Определения и обозначения

Механическая энергия — скалярная физическая величина, характеризующая способность тела или системы совершать работу. Она складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии взаимодействия: Eмех = Eк + Eп. Такое разделение помогает понять, за счёт чего система может совершить работу.

Кинетическая энергия — энергия механического движения тела. Для тела массой m, движущегося со скоростью v, Eк = mv²/2, где m измеряется в килограммах, v — в метрах в секунду, а Eк — в джоулях. Формула позволяет связать движение тела с запасом энергии, который может перейти в работу.

Теорема о кинетической энергии утверждает: работа равнодействующей всех сил, действующих на тело, равна изменению его кинетической энергии. Запись теоремы: A = ΔEк = Eк₂ − Eк₁. Она нужна, чтобы находить работу или скорость по состояниям тела в начале и конце движения.

Работа равнодействующей силы — суммарная работа сил, действие которых определяет изменение скорости тела. Если силы постоянны, их можно сложить как векторы, а затем найти работу равнодействующей. Учитывать именно все силы необходимо, чтобы верно связать их действие с изменением кинетической энергии.

Как это устроено

Движущееся тело может действовать на другие тела: например, летящий мяч приводит в движение предмет при ударе. Для такого изменения требуется работа, а значит, движущееся тело обладает энергией, способной передаваться при взаимодействии. Энергия описывает возможность совершить работу, а не саму работу, уже выполненную телом.

Связь формулы кинетической энергии с законами движения можно получить из второго закона Ньютона и определения работы. Для постоянной равнодействующей F работа на пути s равна A = Fs, а из второго закона F = ma. При равноускоренном движении v₂² − v₁² = 2as, поэтому A = m(v₂² − v₁²)/2. Значит, работа равна изменению величины mv²/2; при выборе нулевой энергии для покоя получаем Eк = mv²/2.

Кинетическая энергия зависит от массы, потому что для изменения движения более массивного тела требуется большая работа. Квадрат скорости появляется из связи между скоростью и пройденным путём при разгоне: удвоение скорости означает увеличение энергии в четыре раза. Если тело покоится относительно системы отсчёта, v = 0, поэтому его кинетическая энергия в этой системе равна нулю.

Скорость измеряется относительно системы отсчёта, поэтому пассажир, неподвижный в вагоне, движется относительно земли. Его кинетическая энергия в этих системах будет разной, поскольку различаются значения v. При этом Eк не может быть отрицательной: масса положительна, а квадрат любой скорости неотрицателен, даже если скорость направлена против выбранной оси.

Работа равнодействующей изменяет кинетическую энергию: положительная работа передаёт телу энергию и увеличивает её, а отрицательная отнимает энергию и уменьшает её. Например, при торможении сила направлена против движения, поэтому её работа отрицательна. Механическая энергия системы шире кинетической: она включает и энергию движения, и потенциальную энергию взаимодействия, а трение может преобразовывать механическую энергию во внутреннюю.

Механическая и кинетическая энергия

Сначала найдите нужную величину и проверьте, относится ли задача к одному телу или ко всей системе. Затем используйте соответствующую строку: кинетическую энергию рассчитывают по массе и скорости, а работу равнодействующей связывают с изменением Eк. Знак работы показывает, увеличилась энергия или уменьшилась; знак потенциальной энергии зависит от выбранного нулевого уровня.

Разбор задач

Автомобиль массой 1,5 т движется со скоростью 20 м/с. Чтобы найти энергию движения, достаточно подставить массу и скорость в формулу Eк = mv²/2, но сначала массу нужно выразить в килограммах. Иначе вычисление будет выполнено не в единицах СИ и результат окажется неверным.

1. Переведём массу: 1,5 т = 1500 кг.
2. Запишем формулу: Eк = mv²/2.
3. Подставим данные: Eк = 1500 · 20²/2 = 1500 · 400/2 = 300 000 Дж.

Ответ: кинетическая энергия автомобиля равна 300 000 Дж, или 300 кДж. Единица джоуль получается при подстановке килограммов и метров в секунду.

Тело массой 2 кг увеличило скорость с 3 до 7 м/с. Требуется найти работу равнодействующей, поэтому используем теорему о кинетической энергии, а не формулу работы отдельной силы. Поскольку конечная скорость больше начальной, ожидаем положительную работу.

1. Запишем теорему: A = Eк₂ − Eк₁ = m(v₂² − v₁²)/2.
2. Подставим значения: A = 2 · (7² − 3²)/2.
3. Вычислим: A = 49 − 9 = 40 Дж.

Ответ: работа равнодействующей силы равна 40 Дж. Положительный знак согласуется с увеличением скорости и кинетической энергии.

Брусок соскальзывает с высоты h и испытывает трение; известны его начальная скорость v₀ и работа трения Aтр. Нужно определить скорость у основания. Сила тяжести совершает работу mgh, а работа трения отрицательна, поэтому обе работы учитываются в изменении кинетической энергии.

1. Запишем теорему для движения от верхней точки до основания: Eк₂ − Eк₁ = mgh + Aтр.
2. Подставим выражения Eк₁ = mv₀²/2 и Eк₂ = mv²/2: mv²/2 = mv₀²/2 + mgh + Aтр.
3. Выразим скорость: v = √(v₀² + 2gh + 2Aтр/m). Подставлять нужно Aтр со знаком; для трения он отрицателен.

Ответ: скорость у основания равна √(v₀² + 2gh + 2Aтр/m), если выражение под корнем неотрицательно. Отрицательная работа трения уменьшает скорость по сравнению с движением без трения.

Типичные ошибки

Иногда в формулу Eк = mv²/2 подставляют просто v, забывая квадрат. Так происходит, когда формулу запоминают как набор букв, а не связывают с зависимостью энергии от скорости. Проверьте себя: при удвоении скорости энергия должна вырасти в четыре раза, а размерность выражения должна соответствовать джоулю.

Отрицательную скорость иногда считают признаком отрицательной кинетической энергии. Знак скорости показывает направление движения относительно выбранной оси, но в формуле стоит квадрат скорости, поэтому результат неотрицателен. Чтобы проверить ответ, возведите скорость в квадрат и убедитесь, что при m > 0 значение Eк не меньше нуля.

Работу одной силы могут ошибочно приравнять к изменению кинетической энергии тела. Теорема относится к работе равнодействующей, то есть суммарному действию всех сил; например, при скольжении нужно учитывать и тяжесть, и нормальную реакцию, и трение. Составьте перечень действующих сил и сложите их работы с учётом знаков.

Результат будет неверным, если оставить массу в тоннах или смешать метры в секунду с километрами в час. Ещё одна путаница — считать кинетическую энергию всего системы полной механической энергией: в неё может входить потенциальная энергия. Перед расчётом переведите данные в СИ и уточните, какую именно энергию спрашивают.

Связь с другими темами

Для изучения кинетической энергии нужны второй закон Ньютона, определение механической работы и формула работы постоянной силы. Эти понятия позволяют вывести связь A = ΔEк и понять, почему в ней учитывается равнодействующая. Знание теоремы пригодится при изучении закона сохранения механической энергии, движения под действием силы тяжести, столкновений и колебаний.

Энергетический подход особенно полезен, когда требуется сравнить начальное и конечное состояния тела, но не нужны время движения и подробная траектория. Он помогает решать задачи короче, чем последовательный расчёт ускорения и времени. При этом для системы с трением необходимо учитывать работу неконсервативных сил.

Что запомнить

• Механическая энергия характеризует способность системы совершать работу.
• Кинетическая энергия — энергия движения тела.
• Eк = mv²/2.
• Кинетическая энергия зависит от выбранной системы отсчёта.
• Кинетическая энергия не бывает отрицательной.
• Работа равнодействующей силы равна изменению кинетической энергии.
• При положительной работе скорость и кинетическая энергия увеличиваются, при отрицательной — уменьшаются.