"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Потенциальная энергия описывает взаимодействие тел и зависит от их взаимного положения: например, поднятое тело может опуститься, а растянутая пружина — сжаться. Её значение отсчитывают от выбранного нулевого уровня, поэтому отдельно взятое число не всегда имеет самостоятельный смысл. Главное — изменение энергии: работа силы тяжести или упругости равна её убыли. Для тела у поверхности Земли используют формулу mgh, для пружины — kx²/2.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела. Она зависит от того, как они расположены друг относительно друга: например, тело на высоте может упасть, а сжатая пружина — распрямиться. Это понятие помогает описывать запас энергии, который может перейти в другие виды.
Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, которому условно приписывают нулевое значение энергии. Например, за ноль можно принять пол или поверхность стола, если речь идёт о поднятом теле. Такой выбор нужен, чтобы отсчитывать высоту и вычислять энергию; сам уровень можно выбрать по-разному.
Потенциальная энергия тела в поле тяжести Земли — энергия, связанная с положением тела относительно выбранного уровня. В однородном поле тяжести её вычисляют по формуле Eп = mgh, где m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота. Формула позволяет находить энергию поднятого тела и её изменение при перемещении.
Потенциальная энергия упруго деформированного тела — энергия, запасённая при растяжении или сжатии. Для пружины Eп = kx²/2, где k — жёсткость, а x — величина деформации. Эта формула нужна, чтобы определить энергию, которую пружина может передать телу при возвращении к исходной форме.
Потенциальную энергию связывают с взаимодействием, потому что способность совершить работу возникает из совместного расположения взаимодействующих объектов. Поднятое относительно Земли тело взаимодействует с Землёй, а растянутая пружина — с телом, которое её деформировало. Если рассматривать одно тело без поля или другого участника взаимодействия, нельзя определить, с чем именно связано это энергетическое состояние.
Силы тяжести и упругости называют консервативными: их работа при переходе между двумя положениями определяется только этими положениями. Если такая сила совершает положительную работу, энергия взаимодействия убывает; если тело перемещают против силы, потенциальная энергия увеличивается. Поэтому работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп, где ΔEп = Eп конечная − Eп начальная.
Нуль энергии выбирают условно, поскольку в механике непосредственно важны не абсолютные значения, а изменения энергии. При переносе нулевого уровня к каждой энергии прибавится или отнимется одна и та же постоянная. В разности конечного и начального значений эта постоянная сократится, поэтому изменение потенциальной энергии и работа силы останутся прежними.
Для тела, которое поднимают на высоту h вблизи Земли, сила тяжести по модулю равна mg и направлена вниз. При подъёме против неё требуется работа mgh, которая запасается как потенциальная энергия; при опускании энергия убывает на ту же величину. Так получают Eп = mgh, применимую там, где g почти не меняется, то есть на расстояниях, малых по сравнению с размерами Земли.
По закону Гука модуль силы упругости при деформации x равен kx. При растяжении сила, которую нужно преодолевать, постепенно возрастает от нуля до kx, поэтому работа равна площади треугольника на графике силы: A = kx · x / 2 = kx²/2. Эта работа запасается в пружине, а квадрат появляется потому, что с увеличением деформации растёт и путь, и сила.
| Свойство | Тело в поле тяжести Земли | Упруго деформированная пружина |
|---|---|---|
| С чем связана энергия | С положением тела относительно Земли и выбранного уровня | С растяжением или сжатием пружины |
| Формула | Eп = mgh | Eп = kx²/2 |
| Обозначения величин в формуле | m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота | k — жёсткость пружины, x — деформация |
| Выбор нулевого уровня | Выбирают положение, от которого отсчитывают высоту h | Нулю соответствует недеформированная пружина |
| От чего зависит изменение энергии | От начальной и конечной высот, не от траектории | От начальной и конечной деформаций |
Сначала определите, какой вид взаимодействия рассматривается, а затем выберите подходящую формулу и проверьте обозначения. Для гравитационной энергии уточните нулевой уровень; для пружины подставляйте деформацию в метрах. При поиске изменения энергии сравнивайте состояния до и после, а не длину пути.
Тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м над выбранным нулевым уровнем. Найдём его потенциальную энергию, если g = 10 м/с². Здесь заданы масса и высота относительно нуля, поэтому подходит формула Eп = mgh. Результат должен выражаться в джоулях.
Ответ: потенциальная энергия тела равна 60 Дж.
Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,10 м. Нужно найти запасённую потенциальную энергию. Поскольку энергия пружины зависит от квадрата деформации, сначала возведём значение x в квадрат. Деформация уже выражена в метрах, поэтому переводить её не требуется.
Ответ: в пружине запасена энергия 1 Дж.
Тело массой 1,5 кг опустили с высоты 8 м на высоту 3 м над тем же уровнем. Требуется найти работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии при g = 10 м/с². Сначала сравним конечную и начальную энергии, а затем используем связь A = −ΔEп. При движении вниз работа тяжести должна получиться положительной.
Ответ: работа силы тяжести равна 75 Дж, изменение потенциальной энергии — −75 Дж.
Считать потенциальную энергию абсолютной и не уточнять нулевой уровень — значит забыть, что её численное значение зависит от соглашения. Так ошибаются, когда воспринимают энергию как неизменную характеристику одного тела. Проверка: укажите, относительно какого положения отсчитывается высота, и помните, что сравнивать нужно изменения энергии.
Записывать работу силы тяжести как изменение потенциальной энергии с тем же знаком неверно: сила тяжести совершает работу за счёт убыли этой энергии. Ошибка часто возникает из-за смешения понятий «изменение» и «убыль». Проверьте знак по ситуации: при падении A тяжести положительна, а ΔEп отрицательна, поэтому A = −ΔEп.
Применять Eп = mgh без указания уровня отсчёта нельзя, потому что h — не просто расстояние, а высота относительно выбранного нуля. Иногда за h принимают длину пути или расстояние от произвольной точки. Перед вычислением обозначьте уровень, затем убедитесь, что высота измерена вертикально от него.
В формуле пружины Eп = kx²/2 нельзя забывать квадрат деформации или подставлять сантиметры вместо метров. Квадрат легко потерять при спешке, а сантиметры кажутся удобнее для небольших растяжений. Проверьте запись формулы и приведите x к метрам до подстановки; единица энергии тогда получится джоуль.
Для работы с потенциальной энергией нужны понятия механической работы и энергии, сила тяжести и закон Гука. Работа показывает, как сила передаёт энергию, а закон Гука описывает зависимость силы упругости от деформации. Без этих связей формулы Eп = mgh и Eп = kx²/2 останутся просто правилами для подстановки чисел.
Понятие потенциальной энергии понадобится при изучении закона сохранения механической энергии. При движении тела потенциальная энергия может превращаться в кинетическую, например при падении; энергия пружины также может сообщить телу скорость. В задачах важно учитывать начальное и конечное состояния и следить за тем, куда переходит энергия.
Почему потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня?
Энергию отсчитывают относительно условного положения, которому приписывают нулевое значение. Если выбрать другой уровень, все значения потенциальной энергии изменятся на одну и ту же величину, но разность между начальным и конечным состояниями останется прежней.
Может ли потенциальная энергия быть отрицательной?
Да, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня, значение mgh будет отрицательным. Это не означает, что энергия «меньше нуля» сама по себе: знак зависит от условного выбора начала отсчёта.
Почему работа силы тяжести равна убыли потенциальной энергии?
При движении вниз сила тяжести совершает положительную работу, а потенциальная энергия тела уменьшается. Поэтому работа силы тяжести равна разности начальной и конечной энергий: A = −ΔEп.
Когда можно пользоваться формулой Eп = mgh?
Формула подходит для тела вблизи поверхности Земли, где ускорение свободного падения можно считать постоянным. Высоту h нужно измерять относительно выбранного нулевого уровня.
Почему энергия растянутой пружины пропорциональна квадрату удлинения?
При растяжении сила упругости меняется от нуля до kx, поэтому её среднее значение на пути x равно kx/2. Работа, затраченная на растяжение, составляет kx²/2, и именно эта энергия запасается в пружине.
§ 29. Потенциальная энергия
