"Физика (базовый уровень)", Мякишев Г.Я., Петрова М.А. и др.
Механическая энергия описывает движение тел и их взаимодействие благодаря взаимному расположению. Она складывается из кинетической энергии движения и потенциальной энергии взаимодействия. Если в системе действуют только консервативные силы, например сила тяжести или упругости, сумма этих энергий не меняется: одна форма может переходить в другую. Закон помогает находить скорость, высоту или деформацию в разных состояниях, не рассчитывая движение в каждый момент.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Механическая энергия — сумма кинетической и потенциальной энергий тела или системы тел; её обозначают E. Она показывает, сколько энергии связано с движением и взаимодействием, и позволяет сравнивать разные состояния системы. Полная механическая энергия записывается так: E = Eк + Eп.
Кинетическая энергия — энергия движения тела, зависящая от его массы m и скорости v: Eк = mv²/2. Чем быстрее движется тело, тем больше его кинетическая энергия; зависимость от скорости квадратичная. Эта формула нужна, чтобы связать скорость тела с его движением и работой сил.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. Для тела у поверхности Земли относительно выбранного нулевого уровня Eп = mgh, где h — высота. Она помогает учитывать возможность совершения работы, например при падении тела.
Закон сохранения механической энергии утверждает: если в системе действуют только консервативные силы, Eк + Eп = const. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от формы пути, например сила тяжести и сила упругости. Закон нужен, чтобы находить параметры движения между состояниями без подробного описания всего пути.
Когда результирующая сила действует на тело, она совершает работу и изменяет его скорость. Согласно теореме о кинетической энергии работа результирующей силы равна изменению кинетической энергии: A = ΔEк. Это следует из второго закона Ньютона: сила сообщает телу ускорение, а её работа связана с изменением скорости. Положительная работа увеличивает кинетическую энергию, отрицательная — уменьшает.
Потенциальную энергию вводят для консервативных сил, потому что их работу можно определить через положения тела в начале и конце движения. Изменение потенциальной энергии равно работе такой силы с противоположным знаком: ΔEп = −A. Например, сила тяжести при падении совершает положительную работу, а потенциальная энергия уменьшается. Так удобнее описывать взаимодействие, не вычисляя работу на каждом участке пути.
При падении тела высота уменьшается, поэтому уменьшается и Eп = mgh. Одновременно тело разгоняется, а его кинетическая энергия возрастает. Если сопротивления нет, потеря потенциальной энергии равна приросту кинетической. При движении вверх происходит обратное превращение: скорость и Eк уменьшаются, а Eп увеличивается.
Сумма Eк и Eп сохраняется, когда работу совершают только консервативные силы — например, сила тяжести или упругости. Неподвижная гладкая опора может менять направление движения, но не совершает работу, если сила опоры перпендикулярна перемещению. Поэтому в задачах важно проверить, какие силы действуют и совершают ли они работу. При выполнении этих условий начальную энергию можно приравнять конечной.
Трение и сопротивление воздуха — неконсервативные силы: их работа зависит от пройденного пути и обычно уменьшает механическую энергию. Она не исчезает, а переходит во внутреннюю энергию тел и окружающей среды, например нагревая их. Поэтому при трении нельзя без поправок писать Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂. В общем балансе учитывают работу неконсервативных сил: изменение механической энергии равно этой работе; либо включают изменение внутренней энергии в полную энергию системы.
| Вид энергии | Формула | От чего зависит | Как изменяется при движении |
|---|---|---|---|
| Кинетическая энергия | Eк = mv²/2 | От массы и квадрата скорости | Растёт при разгоне, убывает при торможении |
| Потенциальная энергия тяжести | Eп = mgh | От массы, ускорения свободного падения и высоты относительно выбранного уровня | Растёт при подъёме, убывает при опускании |
| Потенциальная энергия упругой деформации | Eп = kx²/2 | От жёсткости пружины k и величины деформации x | Растёт при растяжении или сжатии пружины |
| Полная механическая энергия | E = Eк + Eп | От движения и взаимодействия в системе | Перераспределяется между формами; при консервативных силах постоянна |
| Условия сохранения механической энергии | Eк₁ + Eп₁ = Eк₂ + Eп₂ | От отсутствия работы неконсервативных сил | Сохраняется при действии только консервативных сил |
Сначала определите, какие формы энергии есть в начальном и конечном состояниях, затем выберите подходящие формулы. Если в системе есть пружина, учитывайте её деформацию, а для тяжести — высоту относительно одного и того же уровня. Равенство энергий применяйте только после проверки условий сохранения.
Камень свободно падает с высоты 20 м без начальной скорости. Нужно найти скорость перед ударом о землю, сопротивлением воздуха пренебречь. Выберем землю за нулевой уровень потенциальной энергии. Поскольку сопротивления нет, механическая энергия сохраняется.
Ответ: скорость камня перед ударом — 20 м/с. Сокращение массы показывает, что при свободном падении без сопротивления скорость не зависит от массы камня.
Груз массой 0,5 кг прикреплён к пружине жёсткостью 200 Н/м, сжатой на 0,1 м. Требуется найти максимальную скорость груза после освобождения. Считаем, что потерь энергии нет и движение происходит горизонтально. Максимальная скорость достигается, когда пружина проходит положение равновесия: её деформация и потенциальная энергия равны нулю.
Ответ: максимальная скорость груза равна 2 м/с. Важно сравнивать энергию пружины именно с кинетической энергией в положении равновесия, а не в произвольной точке.
Тело массой 2 кг движется со скоростью 4 м/с и поднимается по гладкой наклонной плоскости. Найдём максимальную высоту подъёма относительно начального положения. Плоскость гладкая, поэтому трением можно пренебречь, а реакция опоры работы не совершает. В верхней точке скорость на мгновение становится равной нулю.
Ответ: тело поднимется на 0,8 м. Масса снова сокращается, потому что и начальная кинетическая, и конечная потенциальная энергии пропорциональны ей.
Считать, что механическая энергия сохраняется всегда, — значит не проверять силы, действующие в задаче. Так ошибаются, потому что путают сохранение полной энергии с сохранением только механической. При трении часть механической энергии превращается во внутреннюю. Проверьте, есть ли трение или сопротивление воздуха и совершают ли они работу.
Потенциальную энергию иногда принимают только за mgh и забывают об энергии деформированной пружины. Кроме того, значение mgh зависит от выбранного нулевого уровня высоты. Сначала определите, какое взаимодействие рассматривается, затем выберите нужную формулу и последовательно задайте уровень отсчёта. Проверка проста: одинаковое изменение высоты должно давать одинаковое изменение энергии при одном и том же m.
Запись Eк = mv² вместо mv²/2 или без квадрата скорости меняет и размер, и численное значение результата. Ошибка возникает при поспешной подстановке формулы. Перед вычислениями выпишите её полностью и проверьте, что скорость возведена в квадрат, а дробный множитель не потерян. Единица кинетической энергии — джоуль.
Приравнивать энергии начального и конечного состояний можно только после учёта всех исходных условий. Например, начальная скорость означает ненулевую кинетическую энергию, а сжатая пружина — потенциальную энергию упругой деформации. Работа трения также меняет баланс. Составьте перечень энергий в обоих состояниях и проверьте, не совершали ли неконсервативные силы работу.
Для применения закона нужны понятия работы силы и мощности, второй закон Ньютона, формула кинетической энергии и представление о потенциальной энергии. Работа связывает действие сил с изменением движения, а закон Ньютона помогает выяснить, какие силы действуют. Закон сохранения энергии используют в задачах о падении, наклонных плоскостях, маятниках и пружинных системах. Он также подготавливает к изучению общего закона сохранения энергии, где учитываются превращения механической энергии во внутреннюю.
Почему потенциальная энергия зависит от выбора нулевого уровня?
Потенциальная энергия определяется относительно выбранного положения, которому приписывают нулевое значение. Если изменить этот уровень, численное значение энергии изменится, но разность энергий между двумя состояниями останется прежней. Именно эта разность связана с работой силы.
Можно ли применять закон сохранения механической энергии при наличии трения?
Если трение совершает работу, механическая энергия сама по себе не сохраняется: часть её переходит во внутреннюю энергию тел. Тогда в балансе учитывают работу силы трения или изменение внутренней энергии. Если трение отсутствует либо его влиянием можно пренебречь, применяют обычное равенство механических энергий.
Почему при падении тела его механическая энергия не увеличивается?
При падении уменьшается потенциальная энергия тяжести, а кинетическая энергия возрастает. Без сопротивления воздуха потеря одной формы энергии ровно компенсируется увеличением другой. Поэтому их сумма остаётся постоянной.
Как понять, какую потенциальную энергию нужно использовать в задаче?
Выясните, какие тела или части системы взаимодействуют и какая сила совершает работу. Для взаимодействия с Землёй используют Eп = mgh, а для деформированной пружины — Eп = kx²/2. Нулевой уровень выбирают удобным образом и затем используют последовательно.
Чем закон сохранения механической энергии отличается от общего закона сохранения энергии?
Закон сохранения механической энергии относится к сумме кинетической и потенциальной энергий и выполняется, когда действуют только консервативные силы. Общий закон сохранения энергии охватывает также внутреннюю энергию и другие формы. Поэтому при трении механическая энергия может уменьшаться, а полная энергия системы с учётом нагревания сохраняется.
§ 30. Закон сохранения механической энергии
