§ 31. Абсолютно упругое и абсолютно неупругое соударения тел

Определения и обозначения

Абсолютно упругое соударение — столкновение, при котором сохраняются импульс системы и её кинетическая энергия. После такого столкновения тела могут изменить скорости и направления движения, но суммарная энергия их движения остаётся прежней. Эта модель подходит, когда потерями на деформацию, нагрев и звук можно пренебречь.

Абсолютно неупругое соударение — столкновение, после которого тела движутся вместе с общей скоростью. Импульс системы сохраняется, а кинетическая энергия уменьшается, потому что часть её превращается в другие виды энергии. Модель удобна для расчёта движения сцепившихся после удара тел.

Импульс тела — векторная величина, равная произведению массы тела на его скорость: p = mv. Векторность означает, что импульс направлен так же, как скорость, поэтому при расчёте важно учитывать направление движения. Именно импульс связывает массу и скорость и позволяет записать закон сохранения для столкновения.

Замкнутая система тел — система, для которой внешними силами можно пренебречь. Тогда изменение импульса одного тела компенсируется изменением импульса другого, а полный импульс системы остаётся постоянным. Понятие замкнутой системы нужно, чтобы понять, когда применим закон сохранения импульса.

Как это устроено

Во время столкновения тела действуют друг на друга силами, которые могут быть очень велики. Но эти силы внутренние для системы и направлены противоположно, поэтому их общий импульс взаимно компенсируется. Если за короткое время удара внешние силы не успевают заметно изменить движение системы, полный импульс до и после столкновения одинаков: m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁′ + m₂v₂′. Скорости здесь векторные, а штрихом отмечены значения после удара.

При абсолютно упругом соударении одного уравнения импульса недостаточно, если нужно определить две конечные скорости. Добавляют закон сохранения кинетической энергии: ½m₁v₁² + ½m₂v₂² = ½m₁v₁′² + ½m₂v₂′². Причина в том, что при идеальной упругости энергия движения не уходит на необратимую деформацию или нагрев. Совместное решение двух уравнений даёт скорости тел после столкновения.

При абсолютно неупругом соударении тела сцепляются, поэтому после контакта у них одна и та же скорость V. Это условие позволяет заменить две конечные скорости одной неизвестной и записать m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)V. Отсюда V = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Общая скорость определяется суммарным импульсом до столкновения и общей массой сцепившихся тел.

Кинетическая энергия при неупругом столкновении уменьшается, поскольку часть энергии движения превращается во внутреннюю энергию тел, деформацию, нагрев и звук. При этом энергия не исчезает: меняется её форма, поэтому закон сохранения полной энергии не нарушается. В расчётах движения после удара учитывают именно уменьшение кинетической энергии, а не потерю полной энергии системы.

Чтобы правильно учесть движение навстречу, сначала выберите положительное направление оси. Скорость тела, движущегося вдоль оси, запишите со знаком плюс, а скорость тела, движущегося против неё, — со знаком минус. Например, если ось направлена по движению первого тела, то для встречного второго тела v₂ < 0. Благодаря знакам импульсы складываются алгебраически, а не как просто положительные числа.

Сравнение абсолютно упругого и абсолютно неупругого соударений

Сначала определите, какая модель описывает столкновение: разлетаются ли тела или движутся вместе. Затем выберите соответствующие уравнения из таблицы и проверьте, замкнута ли система. Для импульса не забывайте задавать направления скоростей.

Разбор задач

1. Два тела движутся навстречу

Два тела массами 1 кг и 2 кг движутся навстречу друг другу со скоростями 3 м/с и 1 м/с. После абсолютно неупругого соударения они движутся вместе. Найдём их общую скорость. Так как тела сцепляются, после удара у них одна скорость.

1. Выберем положительное направление по движению тела массой 1 кг. Тогда скорости до удара: v₁ = 3 м/с, v₂ = −1 м/с.
2. Запишем сохранение импульса: 1 · 3 + 2 · (−1) = (1 + 2)V.
3. Получим 1 = 3V, поэтому V = ⅓ м/с. Положительный знак означает движение в выбранную сторону.

Ответ: общая скорость равна ⅓ м/с в направлении движения тела массой 1 кг до столкновения.

2. Упругое соударение тел равной массы

Тело массой 2 кг со скоростью 4 м/с сталкивается с покоящимся телом массой 2 кг. После абсолютно упругого соударения нужно найти скорости обоих тел. Массы равны, поэтому удобно проверить, не обмениваются ли тела скоростями. Обозначим конечные скорости через v₁′ и v₂′.

1. По закону сохранения импульса: 2 · 4 + 2 · 0 = 2v₁′ + 2v₂′, откуда v₁′ + v₂′ = 4.
2. По закону сохранения кинетической энергии: ½ · 2 · 4² = ½ · 2v₁′² + ½ · 2v₂′², то есть v₁′² + v₂′² = 16.
3. Подходит пара v₁′ = 0 и v₂′ = 4: она удовлетворяет обоим уравнениям. Значит, первое тело останавливается, а второе получает его скорость.

Ответ: скорости после столкновения — 0 м/с и 4 м/с соответственно.

3. Сцепившиеся тела и изменение энергии

Тело массой 1 кг движется со скоростью 6 м/с и догоняет покоящееся тело массой 2 кг. После абсолютно неупругого соударения тела сцепляются. Найдём общую скорость, а затем уменьшение кинетической энергии. Оба тела движутся в одном направлении, поэтому их начальные скорости не имеют противоположных знаков.

1. Из закона сохранения импульса: 1 · 6 + 2 · 0 = (1 + 2)V, откуда V = 2 м/с.
2. До столкновения кинетическая энергия равна E₁ = ½ · 1 · 6² = 18 Дж, поскольку второе тело покоилось.
3. После столкновения E₂ = ½ · 3 · 2² = 6 Дж. Уменьшение кинетической энергии: ΔE = E₁ − E₂ = 12 Дж.

Ответ: общая скорость равна 2 м/с, кинетическая энергия уменьшилась на 12 Дж.

Типичные ошибки

Считать, что кинетическая энергия сохраняется при любом столкновении, — значит смешивать свойства двух моделей. Эту ошибку допускают, потому что закон сохранения энергии часто переносят на одну только кинетическую энергию. Проверьте условие: равенство кинетических энергий применяют для абсолютно упругого соударения.

При неупругом столкновении нельзя записывать равенство кинетических энергий до и после. Часть энергии движения становится внутренней энергией, поэтому такое уравнение даст неверный результат. Проверка проста: если тела сцепились, найдите их скорость по импульсу, а кинетические энергии сравните уже после.

Складывать скорости без учёта направлений — ошибка, особенно когда тела движутся навстречу. Её причина — привычка считать скорость только положительным числом, хотя в уравнении импульса нужна проекция на выбранную ось. Перед вычислениями обозначьте ось и проверьте: встречные скорости должны иметь разные знаки.

После абсолютно неупругого соударения нельзя приписывать сцепившимся телам разные скорости. Иногда так делают, продолжая использовать их скорости до столкновения. Проверьте условие задачи: если тела движутся как одно целое, в уравнении после удара у них одна общая скорость.

Связь с другими темами

Для разбора соударений нужно знать импульс тела и закон сохранения импульса, а также уметь находить кинетическую энергию по формуле Eₖ = mv²/2. При решении задач пригодятся векторное сложение и выбор знаков на оси. Эти знания позволяют перейти от столкновений к более сложным случаям взаимодействия тел. Тема встречается при изучении реактивного движения и столкновений частиц, а также в задачах на изменение скорости при взаимодействии.

Что запомнить

• В замкнутой системе полный импульс сохраняется при обоих видах соударения.
• При абсолютно упругом соударении сохраняются импульс и кинетическая энергия.
• При абсолютно неупругом соударении тела после столкновения движутся вместе.
• При неупругом соударении кинетическая энергия системы уменьшается.
• Закон сохранения энергии не нарушается: часть кинетической энергии переходит во внутреннюю энергию, деформацию и другие виды.
• В задачах на импульс направление движения учитывают знаками скоростей.