"Физика (углублённый уровень)", Касьянов В.А.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел, зависящая от их взаимного положения. Она помогает описывать работу силы через начальное и конечное состояния, не прослеживая всю траекторию движения. Вблизи Земли используют формулу Eп = mgh, а для деформированной пружины — Eп = kx²/2. Потенциальная энергия может превращаться в кинетическую, сохраняя вместе с ней механическую энергию при отсутствии потерь.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей одного тела, зависящая от их взаимного положения. Её обозначают Eп, а измеряют в джоулях, как и любую другую энергию. Такое понятие позволяет описывать запас энергии системы через положение тел.
Нулевой уровень потенциальной энергии — положение, которому условно приписывают Eп = 0. Его можно выбрать произвольно, потому что при расчётах важна разность энергий между состояниями. Удобный выбор нуля делает решение короче и понятнее.
Потенциальная энергия тяжести — энергия тела, обусловленная его положением в поле тяжести. Вблизи поверхности Земли она вычисляется по формуле Eп = mgh, где h отсчитывают от выбранного нулевого уровня. Формула показывает, как запас энергии зависит от массы и высоты.
Энергия упругой деформации — энергия деформированного упругого тела. Для пружины с жёсткостью k и деформацией x используют формулу Eп = kx²/2. Она нужна, чтобы находить энергию, запасённую при растяжении или сжатии пружины.
Потенциальную энергию вводят для сил, работа которых определяется только начальным и конечным положением тела. Такие силы называют консервативными: например, сила тяжести и сила упругости. Поэтому при расчёте их работы не нужно знать форму траектории, достаточно сравнить два состояния.
Связь с энергией записывают так: ΔEп = −A, где A — работа консервативной силы. Если тело движется так, что потенциальная энергия уменьшается, ΔEп отрицательно, а работа силы положительна. Значит, сила забирает энергию из потенциального запаса и передаёт её движению.
Выведем формулу для тела около Земли. При перемещении тела с высоты h1 на высоту h2 работа силы тяжести равна A = mg(h1 − h2), поэтому изменение энергии равно mg(h2 − h1). Если за нулевой уровень принять h = 0, получаем Eп = mgh.
У пружины сила упругости зависит от деформации: F = kx, поэтому во время растяжения она меняется от нуля до kx. Нельзя умножить конечную силу на весь путь, как при постоянной силе. Работа внешней силы равна площади треугольника под графиком F(x): Eп = ½ · kx · x = kx²/2.
При падении тела его потенциальная энергия уменьшается, а кинетическая возрастает; при подъёме происходит обратное превращение. Если нет трения и других потерь, сумма Eк + Eп остаётся постоянной. Поэтому начальное состояние можно связать с конечным напрямую, не находя движение в каждый момент времени.
| Свойство | Потенциальная энергия тяжести | Энергия упругой деформации |
|---|---|---|
| Причина возникновения | Положение тела в поле тяжести | Растяжение или сжатие упругого тела |
| Формула в рассматриваемой модели | Eп = mgh | Eп = kx²/2 |
| Выбор нулевого уровня | Любая удобная высота | Недеформированное состояние, обычно x = 0 |
| От каких величин зависит | От m, g и h | От k и модуля деформации x |
| Как изменяется при совершении работы силы | Уменьшается при движении вниз | Уменьшается при возвращении к x = 0 |
| Единица измерения | Джоуль, Дж | Джоуль, Дж |
Сначала определите, какое взаимодействие рассматривается, затем выберите подходящую строку с формулой. При использовании формулы обязательно проверьте, относительно какого нулевого уровня задана высота или деформация. Последняя строка напоминает: результат для энергии всегда выражается в джоулях.
Тело массой 2 кг подняли на высоту 5 м. Нулевым уровнем считают поверхность Земли, поэтому высота тела относительно него равна 5 м. Нужно найти потенциальную энергию при g = 10 Н/кг.
Ответ: Eп = 100 Дж. Если выбрать другой нулевой уровень, само значение изменится, но разность энергий между двумя высотами останется прежней.
Пружину жёсткостью 400 Н/м сжали на 0,1 м. За нулевое состояние примем недеформированную пружину, а значит, x = 0 соответствует нулевой энергии. Требуется найти запасённую энергию деформации.
Ответ: энергия пружины равна 2 Дж. Силу упругости kx = 40 Н нельзя принять за энергию: сила измеряется в ньютонах, а энергия — в джоулях.
Тело начинает скользить без трения с высоты h и опускается до высоты h/3. Начальная скорость равна нулю, поэтому в начале есть только потенциальная энергия. Нужно найти скорость в конечной точке и проверить независимость результата от нулевого уровня.
Ответ: v = √(4gh/3). В уравнении фактически используется разность высот h − h/3, поэтому добавление одинаковой постоянной к обеим потенциальным энергиям не влияет на скорость.
Потенциальную энергию иногда считают абсолютной и не указывают нулевой уровень. Такая ошибка возникает из-за привычки воспринимать Eп как единственное значение, хотя его можно изменить добавлением постоянной. Проверьте себя: назван ли уровень, относительно которого измерена высота, и используете ли вы разность энергий там, где сравниваются состояния.
Нельзя записывать для энергии тяжести Eп = mg без высоты. Масса и ускорение свободного падения определяют силу, а не запас энергии; энергия появляется только после умножения на перемещение по высоте. Проверьте размерность: mg даёт ньютоны, а mg h — джоули.
Формулу kx²/2 ошибочно применяют к постоянной силе или записывают без квадрата деформации. Причина в том, что сила пружины меняется во время растяжения или сжатия и равна kx только в конкретной точке. Проверьте, есть ли квадрат x и учитывается ли изменение силы от нуля до конечного значения.
Потенциальная энергия сама по себе не обязана сохраняться. Сохраняется механическая энергия, то есть сумма кинетической и потенциальной, если нет трения и работы неконсервативных сил. Проверьте условие задачи: при потерях нужно добавить работу сопротивления или изменение внутренней энергии.
Для понимания потенциальной энергии нужны работа силы, мощность, кинетическая энергия, сила тяжести и закон Гука. Работа объясняет, как энергия передаётся при перемещении, а закон Гука задаёт силу пружины. Без этих понятий трудно вывести основные формулы.
Потенциальная энергия особенно полезна в задачах на закон сохранения механической энергии. С её помощью можно находить скорость, высоту или деформацию без подробного описания движения. Это часто сокращает решение до одного уравнения для начального и конечного состояний.
Далее понятие используется при изучении колебаний, гравитационного поля и движения в центральном поле. В колебаниях энергия переходит между потенциальной и кинетической. В поле тяготения потенциальная энергия помогает сравнивать разные положения тел и орбитальные движения.
Почему нулевой уровень потенциальной энергии можно выбирать произвольно?
Потенциальная энергия определяется с точностью до постоянной величины: к ней можно прибавить одно и то же число для всех положений. При этом разность энергий и результаты расчётов не изменятся. Поэтому нулём выбирают удобный уровень, например поверхность Земли.
Может ли потенциальная энергия быть отрицательной?
Да, если тело находится ниже выбранного нулевого уровня или если так принято в конкретной модели. Отрицательное значение не означает отсутствие энергии. Физический смысл обычно имеет изменение потенциальной энергии между состояниями.
Почему в формуле энергии пружины деформация возводится в квадрат?
При растяжении или сжатии пружины сила упругости не постоянна: она увеличивается от нуля до kx. Работа такой силы равна площади треугольника под графиком силы, то есть ½kx². Поэтому деформация входит в формулу во второй степени.
Чем потенциальная энергия отличается от работы силы?
Потенциальная энергия характеризует состояние системы и зависит от положения тел. Работа описывает передачу энергии при перемещении и зависит от начального и конечного состояний, а иногда и от траектории. Для консервативной силы работа равна уменьшению потенциальной энергии.
Когда можно применять закон сохранения механической энергии?
Его применяют, когда действуют только консервативные силы, например сила тяжести или сила упругости, и нет потерь на трение. Тогда сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной. Если есть трение, его работу нужно учитывать отдельно.
§ 29. Потенциальная энергия
