§ 30. Потенциальная энергия

Определения и обозначения

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного расположения. Например, энергия поднятого тела связана с взаимодействием тела и Земли, а энергия растянутой пружины — с взаимодействием её частей. Это понятие позволяет учитывать запас энергии, который может перейти в кинетическую энергию или другие виды энергии.

Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение, которому условно приписывают нулевое значение энергии. Для тела в поле тяжести таким уровнем может быть пол, поверхность стола или другое удобное место. Выбор нужен, чтобы отсчитывать высоту и вычислять энергию; сам по себе он не меняет физических процессов.

Консервативная сила — сила, работа которой при перемещении между двумя точками не зависит от траектории. К таким силам относятся сила тяжести и сила упругости идеальной пружины. Благодаря этому можно найти работу, зная только начальное и конечное положения, не разбирая движение по всему пути.

Изменение потенциальной энергии связано с работой консервативной силы формулой ΔEп = −A. Здесь ΔEп — разность конечной и начальной энергий, а A — работа силы при перемещении. Минус показывает: если сила совершает положительную работу, потенциальная энергия уменьшается, и наоборот.

Как это устроено

Поднимая тело, мы прикладываем силу против силы тяжести и совершаем работу. В идеальном случае эта работа не теряется, а запасается в системе «тело — Земля» в виде потенциальной энергии. Когда тело опускается, сила тяжести совершает работу, запас энергии уменьшается и может перейти, например, в кинетическую энергию движущегося тела.

Выберем нулевой уровень и поднимем тело массой m на высоту h над ним. При равномерном подъёме приложенная сила по модулю равна mg, поэтому работа равна произведению силы на высоту: A = mgh. Эта работа увеличивает потенциальную энергию на ту же величину, откуда Eп = mgh; высота h измеряется именно от выбранного нулевого уровня.

Если перенести нулевой уровень, изменится высота тела относительно него, а значит, изменится и вычисленное значение Eп. Однако при перемещении между двумя точками разность высот остаётся прежней: ΔEп = mg(h₂ − h₁). Поэтому изменение энергии не зависит от того, где условно приняли Eп равной нулю, и позволяет сравнивать состояния системы.

Чтобы растянуть или сжать пружину, нужно преодолеть силу упругости. По закону Гука её модуль равен kx и растёт по мере увеличения деформации x; для растяжения от нуля до x средняя сила равна kx/2. Работа, запасённая в пружине, поэтому равна Eп = kx²/2: при одинаковой деформации более жёсткая пружина запасает больше энергии, а при удвоении деформации энергия возрастает в четыре раза.

Сила тяжести и сила упругости консервативны, поэтому для них A = −ΔEп. Например, при падении тела работа силы тяжести положительна, а его потенциальная энергия уменьшается; при растяжении пружины сила упругости направлена против перемещения и её работа отрицательна. Эта связь позволяет находить работу по начальной и конечной энергиям, не описывая траекторию между точками.

Потенциальная энергия в поле тяжести и у деформированной пружины

В таблице сопоставлены две системы, в которых можно запасать потенциальную энергию. Используй её, чтобы определить нужную формулу и выяснить, какие величины следует подставить. Перед вычислением проверь, что высота отсчитывается от заданного нулевого уровня, а деформация пружины выражена в метрах.

Разбор задач

Задача 1. Тело массой 2 кг подняли на высоту 3 м над выбранным нулевым уровнем. Найдите его потенциальную энергию, приняв g = 10 м/с². Здесь важна высота именно над тем уровнем, где Eп условно равна нулю. Используем формулу для поля тяжести.

1. Запишем данные: m = 2 кг, h = 3 м, g = 10 м/с².
2. Подставим величины: Eп = mgh = 2 · 10 · 3 = 60 Дж.
3. Единицы согласованы: кг · м/с² · м = Н · м = Дж.

Ответ: 60 Дж.

Задача 2. Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,10 м. Найдите запасённую потенциальную энергию. Энергия зависит от квадрата деформации, поэтому сначала внимательно возводим x в квадрат. Деформация уже выражена в метрах, и её можно подставлять в формулу.

1. Запишем данные: k = 200 Н/м, x = 0,10 м.
2. Используем формулу: Eп = kx²/2 = 200 · (0,10)²/2.
3. Вычислим: (0,10)² = 0,01, поэтому Eп = 1 Дж.

Ответ: 1 Дж.

Задача 3. Тело массой 1,5 кг переместили с высоты 2 м на высоту 7 м. Найдите работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии при g = 10 м/с². Тело переместилось вверх, поэтому сила тяжести направлена против перемещения и должна совершить отрицательную работу. Форма траектории не нужна: достаточно начальной и конечной высот.

1. Найдём изменение энергии: ΔEп = mg(h₂ − h₁) = 1,5 · 10 · (7 − 2) = 75 Дж.
2. Применим связь работы силы тяжести с энергией: A = −ΔEп.
3. Следовательно, A = −75 Дж, а энергия увеличилась на 75 Дж.

Ответ: работа силы тяжести −75 Дж; изменение потенциальной энергии +75 Дж.

Типичные ошибки

Первая ошибка — считать, что у тела есть единственное абсолютное значение потенциальной энергии. Её допускают, забывая об условности нулевого уровня: при другом выборе отсчёта численное значение Eп изменится. Проверка: уточни, где принято Eп = 0, и помни, что физический смысл имеет также изменение энергии.

Вторая ошибка — подставлять в Eп = mgh высоту относительно произвольной точки, не объявив её нулевым уровнем. Так теряется смысл h, из-за чего ответ может не соответствовать условию. Перед вычислением запиши, от какого положения отсчитываешь высоту, и проверь, что оно выбрано согласованно для обеих точек.

Третья ошибка — путать работу силы тяжести с изменением потенциальной энергии. Их модули равны, но знаки противоположны, поскольку A = −ΔEп; при подъёме энергия растёт, а работа силы тяжести отрицательна. Проверь направление силы относительно перемещения и отдельно укажи знак каждой величины.

Четвёртая ошибка — забывать квадрат деформации в формуле Eп = kx²/2 или подставлять сантиметры как метры. Это меняет результат, причём ошибка в единицах для x особенно заметна из-за возведения в квадрат. Переведи сантиметры в метры, вычисли x² и проверь, что единица энергии — джоуль.

Связь с другими темами

Для изучения темы понадобятся понятия работы силы, массы и высоты, а также закон Гука, связывающий силу упругости с деформацией. Потенциальная энергия применяется при изучении закона сохранения механической энергии и помогает решать задачи о движении тел и пружин. Связь A = −ΔEп позволяет находить работу силы тяжести или упругости по изменению состояния системы.

Что запомнить

• Потенциальная энергия характеризует взаимодействие частей системы.
• Значение потенциальной энергии задают относительно выбранного нулевого уровня.
• В поле тяжести Земли Eп = mgh.
• Для деформированной пружины Eп = kx²/2.
• Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп.
• Изменение потенциальной энергии не зависит от траектории перемещения.