"Физика. Базовый и углубленный уровни (в 2 частях) ", Генденштейн Л.Э., Дик Ю.И.
Потенциальная энергия описывает энергию взаимодействия тел, зависящую от их взаимного расположения. Она помогает связать работу силы тяжести или упругости с изменением состояния системы и решать задачи без подробного анализа всего движения. Её значение отсчитывают от выбранного нулевого уровня, поэтому главным физическим смыслом обычно обладает не само значение энергии, а её изменение: оно равно работе консервативной силы с противоположным знаком.
Текст подготовлен нейронной сетью по теме параграфа и не заменяет учебник — важные факты и формулировки сверяйте с ним.
Потенциальная энергия Eп — энергия, связанная с взаимным расположением тел или частей системы. Например, энергия поднятого тела связана с его взаимодействием с Землёй, а энергия растянутой пружины — с её деформацией. Поэтому потенциальную энергию рассматривают для системы взаимодействующих объектов, а не как отдельное свойство одного тела.
Консервативная сила — сила, работа которой при перемещении тела между двумя точками не зависит от траектории. К таким силам относятся сила тяжести и сила упругости идеальной пружины. Именно независимость работы от пути позволяет связать её с изменением состояния системы и ввести потенциальную энергию.
Изменение потенциальной энергии ΔEп равно работе консервативной силы с противоположным знаком: ΔEп = −A. Если сила совершает положительную работу, она передаёт системе энергию движения за счёт уменьшения потенциальной энергии. Минус в формуле как раз показывает противоположность этих изменений.
Нулевой уровень потенциальной энергии — положение или состояние системы, которому условно приписывают Eп = 0. Для тела у Земли это может быть пол или поверхность стола, а для пружины — недеформированное состояние. Выбор нужен для удобства расчётов, а не задаётся природой единственным образом.
Если консервативная сила перемещает тело из одной точки в другую, её работа одинакова при любом пути между этими точками. Причина в том, что для такой силы работа определяется только начальным и конечным состояниями системы. Поэтому можно описать её действие через изменение некоторой величины, зависящей от состояния, — потенциальной энергии. Если бы работа зависела от пути, одной разности энергий для её вычисления было бы недостаточно.
Связь работы и потенциальной энергии записывают так: ΔEп = −A. Знак минус следует из обмена энергией: когда консервативная сила выполняет положительную работу, энергия системы переходит в другие формы, например в кинетическую, и Eп становится меньше. При отрицательной работе сила действует против перемещения, поэтому потенциальная энергия возрастает. Речь идёт именно об изменении энергии между состояниями, а не обязательно о её значении в одной точке.
Значение Eп зависит от того, какое состояние выбрано за нулевое. Если поднять нулевой уровень, значения энергии во всех рассматриваемых точках изменятся на одинаковую величину. При вычитании конечного значения из начального эта добавка сократится, поэтому ΔEп не изменится. По этой причине в механике обычно важны разности потенциальных энергий, а нулевой уровень выбирают так, чтобы вычисления были проще.
У поверхности Земли на небольшом участке ускорение свободного падения g можно считать постоянным. При подъёме тела массой m на высоту h сила тяжести совершает работу A = −mgh: сила направлена вниз, а перемещение — вверх. Тогда ΔEп = −A = mgh, и если в выбранном нулевом положении Eп = 0, получаем Eп = mgh. Между двумя высотами изменение равно mgΔh, где Δh — конечная высота минус начальная.
Упругая сила пружины направлена к недеформированному состоянию, а её модуль при небольших деформациях равен kx. При растяжении эта сила совершает отрицательную работу, потому что направлена противоположно перемещению конца пружины. Работа внешней силы запасается как потенциальная энергия пружины. Если принять энергию недеформированной пружины за ноль и учесть, что сила меняется от 0 до kx, получаем Eп = kx²/2.
| Свойство | Тело в поле тяжести у поверхности Земли | Упруго деформированная пружина |
|---|---|---|
| Взаимодействующие объекты системы | Тело и Земля | Части пружины и тело, вызывающее деформацию |
| Выбор нулевого уровня | Условная высота h = 0 | Недеформированное состояние, x = 0 |
| Формула потенциальной энергии | Eп = mgh | Eп = kx²/2 |
| Физические величины в формуле | m — масса, g — ускорение свободного падения, h — высота | k — жёсткость, x — величина деформации |
| От чего зависит изменение энергии | От изменения высоты: ΔEп = mgΔh | От изменения деформации: ΔEп = k(x₂² − x₁²)/2 |
Сначала определите, какая система рассматривается и какой нулевой уровень принят, затем выберите соответствующую формулу. Для расчёта изменения энергии сравните начальное и конечное состояния, не подменяя разность энергий её значением относительно выбранного уровня.
Задача 1. Тело массой 2 кг подняли на 3 м над выбранным нулевым уровнем. Нужно найти изменение потенциальной энергии. Используем зависимость ΔEп = mgΔh, поскольку известна разность высот.
Ответ: потенциальная энергия увеличилась на 58,8 Дж, или примерно на 60 Дж при g = 10 м/с². Выбор нулевого уровня мог бы изменить начальное и конечное значения Eп. Но он не изменил бы найденную разность.
Задача 2. Пружину жёсткостью 200 Н/м растянули на 0,10 м. Найдём её потенциальную энергию и работу силы упругости при растяжении из недеформированного состояния. За нулевое примем состояние, при котором пружина не растянута.
Ответ: потенциальная энергия пружины равна 1 Дж, а работа силы упругости при растяжении — −1 Дж. Отрицательный знак показывает, что сила упругости препятствует растяжению. Работа внешней силы при медленном растяжении была бы положительной.
Задача 3. Тело переместили из точки A в точку B по двум различным траекториям. Высота B на 4 м больше высоты A; требуется сравнить работу силы тяжести и изменение потенциальной энергии. Для решения достаточно разности высот: длины и формы путей не нужны.
Ответ: работа силы тяжести на обеих траекториях одинакова и равна −4mg, а изменение потенциальной энергии равно +4mg. Тело поднялось, поэтому его потенциальная энергия возросла. Независимость работы от траектории позволяет сравнить пути без вычисления их длины.
Считать потенциальную энергию свойством одного тела — значит забыть об источнике взаимодействия. Такую ошибку допускают, потому что в формулах часто указана масса только рассматриваемого тела, например Eп = mgh. Проверяйте, с чем именно оно взаимодействует: в случае тяжести система включает тело и Землю, а у пружины учитывается деформированная система.
Полагать, что нулевой уровень задан единственным образом, неверно: его выбирают по удобству. Часто за ноль принимают привычное положение и перестают замечать условность этого выбора. Проверьте рассуждение, сравнив два способа отсчёта: значения Eп могут отличаться, но ΔEп между теми же состояниями должна совпасть.
Путать знак работы и изменения потенциальной энергии легко, если механически подставлять числа. Из формулы ΔEп = −A следует, что положительная работа консервативной силы уменьшает Eп, а отрицательная увеличивает её. Перед расчётом определите направления силы и перемещения, а затем проверьте, согласуется ли знак результата с изменением состояния.
Считать работу консервативной силы зависящей от траектории — значит учитывать путь там, где важны только его начало и конец. Это заблуждение возникает из общего опыта: чем длиннее путь, тем часто больше работа. Для проверки сравните два пути между одними точками: при действии силы тяжести итоговая работа одинакова, если начальная и конечная высоты совпадают.
Для изучения потенциальной энергии нужны понятия работы силы, механической энергии и взаимодействия тел. Работа связывает силу с передачей энергии, а представление о системе помогает понять, почему энергия зависит от взаимного расположения объектов. Без этих идей формулы потенциальной энергии выглядели бы набором правил.
Потенциальная энергия понадобится при изучении закона сохранения механической энергии и превращений энергии. Связь ΔEп = −A также упрощает задачи о движении в гравитационном поле и работе упругой силы. В таких задачах можно сравнивать состояния системы, не описывая каждый участок траектории.
Почему потенциальную энергию нельзя приписать только одному телу?
Она связана с взаимодействием, а взаимодействуют как минимум два объекта: например, Земля и поднятое тело или пружина и прикреплённое к ней тело. Энергия зависит от их взаимного расположения или состояния системы, поэтому относится к системе, а не к одному её участнику.
Почему потенциальную энергию можно считать относительно разных нулевых уровней?
Нулевой уровень выбирают условно, чтобы было удобно отсчитывать энергию. При смене уровня значения потенциальной энергии изменятся на одну и ту же постоянную, но разность энергий двух состояний останется прежней.
Почему работа силы тяжести не зависит от траектории?
У поверхности Земли сила тяжести направлена вертикально вниз, поэтому её работа определяется только изменением высоты тела. На одном и том же перепаде высот подъём по разным путям даёт одинаковую работу силы тяжести.
Что означает знак минус в формуле ΔEп = −A?
Он показывает, что работа консервативной силы и изменение потенциальной энергии имеют противоположные знаки. Если сила совершает положительную работу, потенциальная энергия системы уменьшается; если работа отрицательна, энергия увеличивается.
Как определить потенциальную энергию пружины?
Для пружины с жёсткостью k, растянутой или сжатой на величину x от недеформированного состояния, используют формулу Eп = kx²/2. Эта формула предполагает, что потенциальную энергию недеформированной пружины приняли равной нулю.
1. Определение потенциальной энергии
