§ 30. Потенциальная энергия

Определения и обозначения

Потенциальная энергия — энергия, связанная с взаимным расположением взаимодействующих тел или частей одного тела. Её относят к системе, потому что положение одного тела имеет смысл только относительно другого: например, высота тела определяется относительно Земли. Эта энергия позволяет учитывать работу сил взаимодействия через изменение состояния системы.

Нулевой уровень потенциальной энергии — выбранное положение или состояние, которому приписывают нулевое значение энергии. Им может быть пол, поверхность стола, нижнее положение груза или ненапряжённое состояние пружины. Такой выбор нужен, чтобы удобно отсчитывать высоты и деформации.

Потенциальная энергия тяжести — энергия тела в поле тяжести. Вблизи поверхности Земли при выбранном нулевом уровне её вычисляют по формуле Eп = mgh, где m — масса тела, g — ускорение свободного падения, h — высота над нулевым уровнем. Формула показывает, что энергия увеличивается при подъёме тела.

Потенциальная энергия упругой деформации — энергия растянутого или сжатого тела. Для пружины в пределах закона Гука она равна Eп = kx²/2, где k — жёсткость пружины, а x — величина удлинения или сжатия. Эта энергия может превратиться в кинетическую при освобождении пружины.

Как это устроено

При перемещении тела сила тяжести или сила упругости совершает работу, а энергия системы меняется. Для консервативной силы, работа которой не зависит от траектории, выполняется A = −ΔEп. Знак «минус» означает: если сила совершает положительную работу, потенциальная энергия убывает, а при отрицательной работе возрастает.

Изменение потенциальной энергии определяется начальным и конечным положениями, потому что работа консервативной силы одинакова по любой траектории между этими положениями. Например, при подъёме на одну и ту же высоту сила тяжести совершит одинаковую работу по вертикали, наклонной плоскости или сложной дороге без учёта сопротивления. Это свойство относится именно к консервативным силам, а работа трения зависит от длины пути.

Пусть тело массой m поднимают на высоту h с постоянной скоростью. Сила тяжести направлена вниз, а перемещение — вверх, поэтому её работа равна Aтяж = −mgh. По связи Aтяж = −ΔEп получаем ΔEп = mgh; если внизу выбран нулевой уровень, то Eп = mgh, причём h отсчитывается от него.

У пружины сила упругости не постоянна: при растяжении на x она изменяется от нуля до значения kx по закону Гука F = kx. Поэтому работу нельзя считать как постоянную силу, умноженную на весь путь; средняя сила равна kx/2. Умножение средней силы на деформацию даёт Eп = kx²/2, поэтому энергия зависит от квадрата x и одинакова при растяжении и сжатии одинаковой величины.

Абсолютное значение потенциальной энергии не является единственным: можно перенести нулевой уровень и прибавить одну и ту же постоянную ко всем значениям. Однако при переходе из состояния 1 в состояние 2 эта постоянная сократится, и ΔEп останется прежним. Именно поэтому в задачах обычно выбирают самый удобный нулевой уровень.

Потенциальная энергия в поле тяжести и при деформации пружины

Сначала определите, с какой системой и какой силой вы работаете: тело — Земля или пружина — груз. Затем выберите нулевой уровень и проверьте, требуется ли абсолютная энергия или только её изменение. Если известны два состояния, удобнее сразу использовать разность энергий.

Разбор задач

1. Подъём тела

Условие: тело массой 2 кг подняли на 3 м относительно пола; g = 10 Н/кг. Найдём изменение потенциальной энергии.

1. Используем изменение высоты: Δh = 3 м.
2. Подставляем данные в формулу ΔEп = mgΔh: ΔEп = 2 · 10 · 3 = 60 Дж.
3. Знак положительный, потому что тело подняли и его энергия увеличилась.

Ответ: ΔEп = 60 Дж. Для изменения энергии не нужно отдельно знать абсолютный нулевой уровень, достаточно разности высот.

2. Растяжение пружины

Условие: пружина жёсткостью 200 Н/м растянута на 0,10 м. Определим запасённую энергию.

1. Деформация уже выражена в метрах: x = 0,10 м.
2. Применяем Eп = kx²/2.
3. Получаем Eп = 200 · 0,10² / 2 = 200 · 0,01 / 2 = 1 Дж.

Ответ: Eп = 1 Дж. Квадрат деформации обязателен: увеличение растяжения в два раза увеличивает энергию в четыре раза.

3. Движение по разным траекториям

Условие: тело массой 1 кг переместили с высоты 2 м на высоту 5 м по двум траекториям. Возьмём g = 10 Н/кг и сравним работу силы тяжести.

1. Изменение высоты равно Δh = 5 − 2 = 3 м.
2. Изменение энергии: ΔEп = mgΔh = 1 · 10 · 3 = 30 Дж.
3. Работа силы тяжести Aтяж = −ΔEп = −30 Дж, поскольку тело перемещается вверх.

Ответ: потенциальная энергия увеличилась на 30 Дж, а работа силы тяжести равна −30 Дж для обеих траекторий. Длина и форма пути результата не меняют.

Типичные ошибки

Потенциальная энергия — свойство отдельного тела. Так говорят, забывая, что энергия связана с взаимодействием: высота имеет смысл относительно Земли, а деформация — относительно частей тела. Проверка: назовите второе тело или части системы, между которыми есть взаимодействие.

Работа силы тяжести равна изменению энергии без знака. Ошибка возникает из-за смешения величины убыли энергии и её изменения: при подъёме энергия растёт, а работа тяжести отрицательна. Проверяйте формулу A = −ΔEп и направление силы относительно перемещения.

Потенциальная энергия всегда положительна и имеет одно значение. Это неверно, потому что нулевой уровень выбирают условно, поэтому энергия может быть отрицательной. Спросите себя, относительно какого положения ведётся отсчёт.

В формуле пружины не возводят деформацию в квадрат или используют высоту вместо x. Такое происходит при смешении формул для тела в поле тяжести и пружины. Проверьте единицы и запишите именно Eп = kx²/2, где x — удлинение или сжатие в метрах.

Связь с другими темами

Для понимания потенциальной энергии нужны понятия работы силы, кинетической энергии и закона сохранения энергии. Также понадобятся сила тяжести и закон Гука, описывающий зависимость силы упругости от деформации. Эти знания помогают выбирать подходящую формулу и правильно определять знак работы.

Потенциальная энергия особенно нужна при изучении закона сохранения механической энергии. С её помощью анализируют падение и подъём тел, движение в поле тяжести, а также превращение энергии пружины в кинетическую энергию и обратно.

Что запомнить

• Потенциальная энергия характеризует взаимодействие и взаимное расположение тел.
• Работа консервативной силы равна убыли потенциальной энергии: A = −ΔEп.
• Изменение потенциальной энергии не зависит от траектории.
• Вблизи поверхности Земли Eп = mgh при выбранном нулевом уровне.
• Для пружины Eп = kx²/2 в пределах закона Гука.
• Нулевой уровень потенциальной энергии выбирают по условию задачи.