§ 31. Закон сохранения энергии в механике

Определения и обозначения

Кинетическая энергия Eк = mv²/2 — энергия движения тела, где m — масса, а v — скорость. Она пропорциональна массе и квадрату скорости: при увеличении скорости в два раза энергия возрастает в четыре раза. Эта величина позволяет связать работу сил с изменением движения.

Потенциальная энергия — энергия взаимодействия тел или частей системы, зависящая от их взаимного положения. Её значение отсчитывают от выбранного нулевого уровня, которому условно приписывают нулевую энергию. Для расчётов обычно важна не сама величина, а её изменение при переходе системы между положениями.

Механическая энергия Eмех = Eк + Eп — сумма кинетической и потенциальной энергий системы. Она объединяет энергию движения и энергию взаимодействия. Такое представление помогает проследить, как одна форма механической энергии переходит в другую.

Закон сохранения механической энергии утверждает: если действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергий остаётся постоянной. Консервативными называют силы, работа которых не зависит от формы пути. Закон позволяет находить скорость или положение тела, сравнив два состояния системы.

Как это устроено

Работа силы изменяет кинетическую энергию тела: положительная работа увеличивает её, а отрицательная уменьшает. Это следует из теоремы о кинетической энергии, связывающей работу равнодействующей силы с изменением Eк. Например, при падении сила тяжести разгоняет тело, поэтому его кинетическая энергия растёт. Одновременно уменьшается потенциальная энергия тела относительно поверхности Земли, и без потерь её уменьшение равно приросту кинетической.

Вблизи поверхности Земли потенциальную энергию в поле тяжести считают по формуле Eп = mgh, где g — ускорение свободного падения, а h — высота над выбранным уровнем. Формула показывает, что при подъёме тела энергия увеличивается, а при спуске — уменьшается. Для деформированной пружины используют Eупр = kx²/2: чем больше растяжение или сжатие x, тем больше запасённая энергия. При освобождении пружины эта энергия может перейти в кинетическую энергию груза.

Консервативная сила — сила, работа которой зависит только от начального и конечного положений тела, а не от пройденного между ними пути. Поэтому при возвращении тела в исходное положение работа такой силы за весь замкнутый путь равна нулю. Сила тяжести и сила упругости являются консервативными. Если тело движется под действием таких сил, потеря потенциальной энергии компенсируется изменением кинетической.

Пусть система переходит из состояния 1 в состояние 2 и на неё действуют только консервативные силы. Работа этих сил равна убыли потенциальной энергии, а по теореме о кинетической энергии — изменению кинетической. Приравнивая эти изменения, получаем Eк1 + Eп1 = Eк2 + Eп2. Чтобы применить равенство, выбери начальное и конечное состояния, запиши для каждого скорость и положение, затем подставь соответствующие энергии. Если неизвестных несколько, дополни уравнение связями из условия задачи.

При трении часть энергии упорядоченного движения переходит во внутреннюю энергию тел и поверхностей: они нагреваются. Поэтому сумма Eк + Eп обычно уменьшается, и записывать её неизменной нельзя. Для расчёта учитывают работу силы трения: механическая энергия в начале равна механической энергии в конце плюс энергия, перешедшая во внутреннюю. Полная энергия системы при этом не пропадает, а лишь меняет форму.

Энергии и условия их сохранения в механике

Сначала выбери строку, соответствующую взаимодействию в задаче, и проверь, какие величины известны. Затем реши, можно ли считать механическую энергию сохраняющейся или нужно добавить потери на трение. Высоту и деформацию отсчитывай согласно выбранным нулевым положениям.

Разбор задач

Свободное падение

Тело падает с высоты h без начальной скорости, сопротивлением воздуха пренебрегаем. Нужно найти скорость у поверхности Земли. Поскольку действует сила тяжести, а потерь нет, механическая энергия сохраняется. В начальном состоянии энергия потенциальная, а у поверхности — кинетическая.

1. Выберем нулевой уровень потенциальной энергии на поверхности Земли.
2. В начале Eк1 = 0, Eп1 = mgh; в конце Eп2 = 0, Eк2 = mv²/2.
3. Запишем сохранение энергии: mgh = mv²/2. Сократим массу m и выразим скорость: v = √(2gh).

Ответ: v = √(2gh). Масса сокращается, потому что одинаково входит в начальную потенциальную и конечную кинетическую энергию. Результат относится к падению без сопротивления воздуха.

Груз и пружина

Груз массой m прикреплён к пружине жёсткости k и отпускается из положения максимального растяжения x. Найдём его максимальную скорость, считая потери энергии отсутствующими. В момент отпускания скорость равна нулю, а энергия запасена в деформированной пружине. При прохождении положения равновесия деформация и потенциальная энергия пружины минимальны, а скорость груза максимальна.

1. Сравним состояние максимального растяжения с прохождением положения равновесия.
2. В начальном состоянии Eупр = kx²/2 и Eк = 0; в конечном пружина не деформирована, поэтому Eупр = 0, а Eк = mv²/2.
3. Приравняем энергии: kx²/2 = mv²/2. Отсюда v = x√(k/m).

Ответ: v = x√(k/m). Здесь x — величина начального растяжения, а не координата груза в произвольный момент. Максимальная скорость достигается там, где запас упругой энергии полностью перешёл в кинетическую.

Скольжение по наклонной плоскости

Брусок начинает движение из состояния покоя и соскальзывает по плоскости длиной l, наклонённой под углом α; коэффициент трения равен μ. Нужно найти скорость внизу. Падение по высоте уменьшает потенциальную энергию, но трение совершает отрицательную работу и превращает часть энергии во внутреннюю. Поэтому простое равенство начальной потенциальной и конечной кинетической энергий здесь неверно.

1. Перепад высот равен h = l sin α, поэтому уменьшение потенциальной энергии составляет mgl sin α.
2. Сила трения равна μmg cos α: нормальная реакция плоскости равна mg cos α. Работа трения по модулю равна μmg l cos α.
3. Составим баланс: mgl sin α = mv²/2 + μmg l cos α. После сокращения m получаем v = √(2gl(sin α − μ cos α)).

Ответ: v = √(2gl(sin α − μ cos α)), если брусок действительно скользит вниз и выражение под корнем неотрицательно. Первый член баланса — потеря потенциальной энергии, второй — конечная кинетическая, третий — энергия, рассеянная трением. Масса сокращается, так как и сила тяжести, и сила трения пропорциональны массе.

Типичные ошибки

Считать механическую энергию сохраняющейся при трении — значит не учитывать переход энергии во внутреннюю. Ошибку допускают, потому что в задачах без трения достаточно уравнять начальную и конечную механические энергии. Проверь условие: если трение или сопротивление существенны, добавь работу этих сил либо потери энергии.

Подставлять Eп = mgh, не определив, откуда отсчитывается высота, опасно: h зависит от выбранного нулевого уровня. При этом сам уровень можно выбрать удобно, так как на результат влияет разность потенциальных энергий. Проверь себя: одна и та же точка должна иметь согласованное значение h в обоих состояниях.

В формуле Eп = mgh используют массу m, а не вес тела. Вес — сила, с которой тело действует на опору или подвес, тогда как сила тяжести вблизи Земли равна mg. Путаница появляется из-за того, что обе величины связаны с тяжестью; проверь единицы: в формуле энергии результат должен измеряться в джоулях.

Записывать закон сохранения для одного состояния или смешивать начальные и конечные величины нельзя: равенство связывает две конфигурации системы. Ошибка часто возникает, когда обозначения состояний не записаны заранее. Проверь, что слева стоят энергии одного состояния, справа — другого, а каждому значению скорости и высоты соответствует свой индекс.

Связь с другими темами

Для применения закона нужны понятия работы силы и теорема о кинетической энергии: именно они объясняют изменение энергии движения. Также пригодятся формулы сил тяжести и упругости, поскольку их работа связана с потенциальной энергией. Закон помогает решать задачи о свободном падении, движении по наклонной плоскости, колебаниях и пружинах. В более сложных процессах энергетический баланс учитывает также внутреннюю энергию и другие превращения.

Что запомнить

• Кинетическая энергия тела равна Eк = mv²/2.
• Механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергий.
• Потенциальная энергия зависит от выбранного нулевого уровня, но её изменение от выбора уровня не зависит.
• При отсутствии трения и сопротивления Eк + Eп сохраняется.
• При движении потенциальная энергия может превращаться в кинетическую и обратно.
• Трение переводит часть механической энергии во внутреннюю энергию.
• Для решения задачи выбери два состояния системы и запиши баланс энергии между ними.