Закон сохранения энергии в механике: объяснение и примеры

Коротко

Закон сохранения энергии в механике — это фундаментальный физический закон, который гласит: если на тело или систему тел действуют только консервативные силы (например, сила тяжести, сила упругости), то полная механическая энергия этой системы остаётся постоянной. Этот закон позволяет предсказывать движение тел без детального анализа всех сил, что очень удобно для решения многих задач, например, при движении маятника или брошенного тела.

Определение

Закон сохранения энергии в механике утверждает, что полная механическая энергия замкнутой системы тел, взаимодействующих только посредством консервативных сил, остаётся постоянной.

Формула

E_полная = E_потенциальная + E_кинетическая = const

E_полная — Полная механическая энергия системы
E_потенциальная — Потенциальная энергия системы
E_кинетическая — Кинетическая энергия системы
const — Постоянная величина

Единицы измерения: джоуль (Дж)

Что такое механическая энергия

Механическая энергия — это сумма кинетической и потенциальной энергии тела или системы тел. Кинетическая энергия связана с движением тела: чем быстрее тело движется и чем больше его масса, тем больше кинетическая энергия. Потенциальная энергия связана с положением тела в поле консервативных сил (например, на определённой высоте над Землёй или сжатая пружина). Закон сохранения энергии показывает, что эти два вида энергии могут переходить друг в друга, но их общая сумма остаётся неизменной, если нет потерь на трение или работы других сил.

Консервативные и неконсервативные силы

Ключевое условие для применения закона сохранения энергии в механике — это действие только консервативных сил. Консервативные силы — это такие силы, работа которых не зависит от траектории движения тела, а определяется только начальным и конечным положениями (примеры: сила тяжести, сила упругости). Если же на систему действуют неконсервативные силы, такие как сила трения или сопротивления воздуха, то часть механической энергии переходит в другие виды энергии (например, тепловую), и полная механическая энергия системы не сохраняется.

Как работает закон

Закон сохранения энергии означает, что энергия не появляется из ниоткуда и не исчезает в никуда, а лишь превращается из одного вида в другой. Например, когда мяч подбрасывают вверх, его кинетическая энергия превращается в потенциальную. В верхней точке траектории вся кинетическая энергия становится потенциальной (скорость равна нулю). При падении мяча вниз потенциальная энергия снова переходит в кинетическую. Если нет сопротивления воздуха, сумма кинетической и потенциальной энергии остаётся одной и той же на протяжении всего полёта.

Практическая польза закона

Этот закон значительно упрощает решение многих задач в физике. Вместо того чтобы рассчитывать силы, ускорения и время на каждом этапе движения, можно просто сравнить полную механическую энергию системы в начальном и конечном состояниях. Это особенно удобно для систем, где силы меняются по величине или направлению в процессе движения, например, для маятников или тел, движущихся по сложным траекториям.

Как найти и применять

Определите начальное состояние системы (скорость, высота, деформация пружины).
Определите конечное состояние системы, которое нужно найти.
Вычислите полную механическую энергию в начальном состоянии (E_начальное = E_кинетическая_начальная + E_потенциальная_начальная).
Вычислите полную механическую энергию в конечном состоянии (E_конечное = E_кинетическая_конечная + E_потенциальная_конечная).
Приравняйте начальную и конечную энергии: E_начальное = E_конечное.
Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины.

Разбор задач

Задача 1

Мяч массой 0,5 кг брошен вертикально вверх со скоростью 10 м/с. На какую максимальную высоту поднимется мяч, если сопротивлением воздуха пренебречь? (g = 10 м/с²)

1. Начальное состояние: мяч на земле, V₀ = 10 м/с, h₀ = 0 м. E_кинетическая_начальная = ½mV₀² = ½ * 0,5 кг * (10 м/с)² = 25 Дж. E_потенциальная_начальная = mgh₀ = 0,5 кг * 10 м/с² * 0 м = 0 Дж. Полная начальная энергия E_начальная = 25 Дж + 0 Дж = 25 Дж. 2. Конечное состояние: мяч на максимальной высоте h_max, V = 0 м/с. E_кинетическая_конечная = ½mV² = ½ * 0,5 кг * (0 м/с)² = 0 Дж. E_потенциальная_конечная = mgh_max = 0,5 кг * 10 м/с² * h_max = 5 * h_max Дж. Полная конечная энергия E_конечная = 0 Дж + 5 * h_max Дж = 5 * h_max Дж. 3. Приравниваем энергии: E_начальная = E_конечная => 25 Дж = 5 * h_max Дж. 4. Находим h_max: h_max = 25 / 5 = 5 м.

Ответ: Мяч поднимется на максимальную высоту 5 метров.

Где это встречается

Аттракционы «американские горки» — При подъёме на вершину вагончик набирает потенциальную энергию, которая затем переходит в кинетическую при спуске, позволяя набрать высокую скорость для прохождения петель и поворотов. Без трения и сопротивления воздуха, высота, которую может набрать вагончик, не может превысить начальную.
Маятниковые часы — Маятник постоянно обменивается кинетической и потенциальной энергией. В крайних точках траектории вся энергия потенциальная (скорость равна нулю), в нижней точке — кинетическая (максимальная скорость). Так маятник качается, почти не теряя энергию (если нет трения).
Гидроэлектростанции — Вода, находящаяся высоко в водохранилище, обладает большой потенциальной энергией. При падении эта энергия превращается в кинетическую энергию потока воды, которая вращает турбины, вырабатывающие электричество. Энергия воды сохраняется, лишь меняя свой вид.
Прыжки с шестом — Спортсмен разгоняется (кинетическая энергия), затем с помощью шеста поднимает центр масс своего тела (превращает кинетическую энергию в потенциальную). Эластичность шеста помогает эффективно передать и преобразовать энергию.

Типичные ошибки

Неверно	Верно	Почему
Забывать про трение или сопротивление воздуха, когда они есть.	Учитывать, что при наличии неконсервативных сил полная механическая энергия не сохраняется, а уменьшается (или увеличивается, если внешние силы совершают работу над системой).	Часто закон применяют автоматически, не проверяя условия его применимости. Трение и сопротивление воздуха всегда переводят часть механической энергии в тепловую.
Считать, что сохраняется только кинетическая или только потенциальная энергия.	Помнить, что отдельные виды механической энергии (кинетическая и потенциальная) могут меняться, но их сумма остаётся постоянной.	Путают сохранение каждого вида энергии с сохранением их суммы. Они взаимопревращаются, как две стороны одной медали.
Выбирать неправильный нулевой уровень для потенциальной энергии.	Нулевой уровень для потенциальной энергии можно выбрать произвольно, но важно использовать его одинаково для всех расчётов в одной задаче.	Непонимание, что важна не абсолютная высота, а изменение высоты. Неправильный выбор нулевого уровня или его изменение внутри задачи приводит к ошибкам.

Не путать

Закон сохранения импульса — Закон сохранения импульса говорит о том, что суммарный импульс системы сохраняется, если на неё не действуют внешние силы. Он связан с движением и массой. Закон сохранения энергии говорит о сохранении механической энергии (кинетической и потенциальной) при отсутствии работы неконсервативных сил. Импульс — векторная величина, энергия — скалярная.
Закон сохранения полной энергии (в термодинамике) — Закон сохранения полной энергии (первое начало термодинамики) гораздо шире. Он утверждает, что энергия не возникает из ниоткуда и не исчезает в никуда, а лишь переходит из одной формы в другую (механическая, тепловая, электрическая, химическая и т.д.). Закон сохранения энергии в механике — это частный случай, применимый только к механической энергии при определённых условиях.

Откуда взялось понятие

Основные идеи сохранения энергии были сформулированы в XVII веке Готфридом Лейбницем и Кристианом Гюйгенсом. Окончательное же признание и формулировку закон получил в середине XIX века благодаря работам таких учёных, как Юлиус Роберт Майер, Джеймс Джоуль и Герман фон Гельмгольц.

Как запомнить

Энергия никуда не девается, а только меняет форму, если нет внешних помех!

Проверь себя

3 задания

Мяч массой 0,1 кг брошен с высоты 5 м и ударился о землю со скоростью 10 м/с. Какова была начальная скорость мяча, если пренебречь сопротивлением воздуха? (g = 10 м/с²)

Ответ

Начальная полная энергия равна конечной. mgh + ½mV₀² = ½mV². 0,1*10*5 + ½*0,1*V₀² = ½*0,1*10². 5 + 0,05V₀² = 5. 0,05V₀² = 0. V₀ = 0 м/с.
Пружина жёсткостью 100 Н/м сжата на 0,1 м. Какую максимальную скорость приобретёт шарик массой 0,01 кг, вытолкнутый этой пружиной? (Трение отсутствует)

Ответ

Потенциальная энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шарика. ½kx² = ½mV². ½ * 100 * (0,1)² = ½ * 0,01 * V². 0,5 = 0,005V². V² = 100. V = 10 м/с.
Камень падает с высоты 20 м. На какой высоте его кинетическая энергия будет равна потенциальной? (Сопротивлением воздуха пренебречь)

Ответ

Полная энергия E = mgh_max = mg * 20. Когда E_к = E_п, то E_п + E_п = E, то есть 2E_п = E. 2mgh = mg * 20. Отсюда 2h = 20, h = 10 м.

Частые вопросы

Всегда ли сохраняется механическая энергия?

Нет, механическая энергия сохраняется только в замкнутых системах, где действуют только консервативные силы. Если есть трение, сопротивление воздуха или другие неконсервативные силы, механическая энергия не сохраняется, а переходит в другие виды энергии, например, в теплоту.

Что такое консервативные силы?

Консервативные силы — это силы, работа которых не зависит от пути, по которому движется тело, а определяется только начальным и конечным положением. Примеры: сила тяжести, сила упругости. Работа этих сил может быть выражена через изменение потенциальной энергии.

Можно ли создать вечный двигатель, используя закон сохранения энергии?

Нет, закон сохранения энергии запрещает создание вечного двигателя первого рода. Он гласит, что невозможно создать машину, которая будет совершать работу без потребления энергии извне. Энергия всегда должна откуда-то браться или преобразовываться из других форм.

Применим ли этот закон к движению планет?

Да, закон сохранения энергии очень хорошо описывает движение планет вокруг Солнца. Гравитационные силы между планетами и Солнцем являются консервативными. Поэтому полная механическая энергия каждой планеты (сумма её кинетической энергии и потенциальной энергии в гравитационном поле Солнца) остаётся постоянной на её орбите.

Спросить про это понятие

Закон сохранения энергии в механике

Где это изучается

10 параграфов

Одна и та же тема разложена по разным учебникам — можно сравнить формулировки и выбрать более понятную.